Subgroups — #17403

Order 256.

620 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 277 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#532	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2920	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#432	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#1471	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#1469	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#1466	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂²×#41	C₄	1	2	yes	—
8	#532	—	2	1	no	—
9	#532	—	2	1	no	—
10	#532	—	2	1	no	—
11	#532	—	2	1	no	—
12	#532	—	2	1	no	—
13	#532	—	2	1	no	—
14	#532	—	2	1	no	—
15	#532	—	2	1	no	—
16	C₂×C₄⋊Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#127	C₄	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#121	C₄	1	2	yes	—
20	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄×D₄	C₄	1	2	yes	—
22	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#432	—	2	1	no	—
25	#432	—	2	1	no	—
26	#432	—	2	1	no	—
27	#432	C₂²	1	2	yes	—
28	#432	C₂²	1	2	yes	—
29	#432	C₂²	1	2	yes	—
30	#431	—	2	1	no	—
31	#431	C₂²	1	2	yes	—
32	#423	—	2	1	no	—
33	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
34	#407	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
36	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
37	C₂×#97	—	2	1	no	—
38	#323	C₂²	1	16	yes	—
39	C₂×#41	—	2	2	no	—
40	C₂×#41	—	2	2	no	—
41	C₂×#41	—	2	2	no	—
42	C₂×#41	—	2	2	no	—
43	C₂×#41	—	4	8	no	—
44	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
54	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
55	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
56	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
57	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
58	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
59	#127	—	2	1	no	—
60	#127	—	2	1	no	—
61	#127	—	2	1	no	—
62	#127	—	2	1	no	—
63	#124	—	2	2	no	—
64	#124	—	2	2	no	—
65	#124	—	2	2	no	—
66	#124	—	2	2	no	—
67	#121	—	2	2	no	—
68	#121	—	2	2	no	—
69	#121	—	2	2	no	—
70	#121	—	2	2	no	—
71	#121	—	2	2	no	—
72	#121	—	2	2	no	—
73	#121	—	2	2	no	—
74	#121	—	2	2	no	—
75	C₄×D₄	—	2	2	no	—
76	C₄×D₄	—	2	2	no	—
77	C₄×D₄	—	2	2	no	—
78	C₄×D₄	—	2	2	no	—
79	C₄×D₄	—	2	2	no	—
80	C₄×D₄	—	2	2	no	—
81	C₄×D₄	—	2	2	no	—
82	C₄×D₄	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
86	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
87	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
100	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
101	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
102	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
103	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
104	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
105	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
107	#97	—	2	2	no	—
108	#97	—	2	2	no	—
109	#97	—	2	2	no	—
110	C₄×C₈	—	2	2	no	—
111	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂⁴	C₂²×C₄	1	4	yes	—
113	#41	—	4	8	no	—
114	#41	—	4	8	no	—
115	#41	—	4	8	no	—
116	#41	—	4	8	no	—
117	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
118	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
119	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
120	C₂×D₄	—	2	4	no	—
121	C₂×D₄	—	2	4	no	—
122	C₂×D₄	—	2	2	no	—
123	C₂×D₄	—	2	2	no	—
124	C₂×D₄	—	2	2	no	—
125	C₂×D₄	—	2	2	no	—
126	C₂×D₄	—	2	2	no	—
127	C₂×D₄	—	2	2	no	—
128	C₂×D₄	—	4	4	no	—
129	C₂×D₄	—	4	4	no	—
130	C₂×D₄	—	4	4	no	—
131	C₂×D₄	—	4	8	no	—
132	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
133	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
134	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
135	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
136	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
137	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
138	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
152	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
157	M₁₆	—	4	4	no	—
158	C₂×C₈	—	2	4	no	—
159	C₂×C₈	—	2	4	no	—
160	C₂×C₈	—	4	4	no	—
161	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
166	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
168	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
170	C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
171	C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
172	C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
173	C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
174	C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
175	C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
176	C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
177	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
178	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
179	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
180	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
181	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
184	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂³	—	2	2	no	—
186	C₂³	—	2	2	no	—
187	C₂³	—	2	4	no	—
188	C₂³	—	2	8	no	—
189	C₂³	—	4	1	no	—
190	C₂³	—	4	4	no	—
191	C₂³	—	4	4	no	—
192	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
195	Q₈	—	4	4	no	—
196	Q₈	—	4	4	no	—
197	D₄	—	4	4	no	—
198	D₄	—	4	4	no	—
199	D₄	—	4	4	no	—
200	D₄	—	4	4	no	—
201	D₄	—	4	8	no	—
202	D₄	—	4	8	no	—
203	D₄	—	4	4	no	—
204	D₄	—	4	4	no	—
205	C₂×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂×C₄	—	4	1	no	—
217	C₂×C₄	—	4	1	no	—
218	C₂×C₄	—	4	1	no	—
219	C₂×C₄	—	4	1	no	—
220	C₂×C₄	—	4	1	no	—
221	C₂×C₄	—	4	1	no	—
222	C₂×C₄	—	4	1	no	—
223	C₂×C₄	—	4	8	no	—
224	C₂×C₄	—	4	8	no	—
225	C₂×C₄	—	4	4	no	—
226	C₂×C₄	#100	1	4	yes	—
227	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₈	—	4	4	no	—
240	C₈	—	4	4	no	—
241	C₂²	—	2	1	no	—
242	C₂²	—	2	1	no	—
243	C₂²	—	2	1	no	—
244	C₂²	—	2	1	no	—
245	C₂²	—	2	1	no	—
246	C₂²	—	2	1	no	—
247	C₂²	—	2	1	no	—
248	C₂²	—	4	4	no	—
249	C₂²	—	4	4	no	—
250	C₂²	—	4	4	no	—
251	C₂²	—	4	4	no	—
252	C₂²	—	8	8	no	—
253	C₂²	C₂×#100	1	2	yes	—
254	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
255	C₂²	#568	1	2	yes	—
256	C₄	—	2	1	no	—
257	C₄	—	2	1	no	—
258	C₄	—	2	1	no	—
259	C₄	—	2	1	no	—
260	C₄	—	2	1	no	—
261	C₄	—	2	1	no	—
262	C₄	—	2	1	no	—
263	C₄	—	2	1	no	—
264	C₄	—	2	1	no	—
265	C₄	—	4	4	no	—
266	C₄	#410	1	2	yes	—
267	C₄	C₂×#100	1	2	yes	—
268	C₄	C₂×#100	1	2	yes	—
269	C₂	—	2	2	no	—
270	C₂	—	2	2	no	—
271	C₂	—	4	1	no	—
272	C₂	—	8	4	no	—
273	C₂	#2879	1	1	yes	characteristic
274	C₂	C₂×#410	1	1	yes	characteristic
275	C₂	C₂²×#100	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#532	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2920	C₂	semidirect
3. C₂×#432	C₂	semidirect
4. #1471	C₂	semidirect
5. #1469	C₂	semidirect
6. #1466	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#532	2
#2920	2
C₂×#432	2
#1471	2
#1469	2
#1466	2