Subgroups — #17416

Order 256.

645 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 276 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#547	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2880	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#1472	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#1468	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#1465	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1463	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1459	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×#324	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂²×#41	C₄	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#131	—	2	2	no	—
12	#547	—	2	2	no	—
13	#547	—	2	4	no	—
14	#547	—	2	2	no	—
15	C₂×C₄⋊Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#123	C₄	1	2	yes	—
17	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₂²⋊Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#121	C₄	1	2	yes	—
21	C₂×C₄×D₄	C₄	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
24	#408	—	2	2	no	—
25	#408	—	2	4	no	—
26	#407	C₂²	1	4	yes	—
27	#407	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
30	#324	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#324	C₂²	1	2	yes	—
32	#324	C₂²	1	4	yes	—
33	#324	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#324	C₂²	1	4	yes	—
35	#323	C₂²	1	2	yes	—
36	#323	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#41	—	2	1	no	—
38	C₂×#41	—	2	2	no	—
39	C₂×#41	—	2	1	no	—
40	C₂×#41	—	4	4	no	—
41	C₂×#41	—	4	4	no	—
42	C₂×#41	D₄	1	2	yes	—
43	C₂×#41	D₄	1	4	yes	—
44	C₂×#41	D₄	1	2	yes	—
45	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	#131	—	4	8	no	—
57	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
58	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
59	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
60	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
61	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
62	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
63	#123	—	2	4	no	—
64	#123	—	2	4	no	—
65	#123	—	2	4	no	—
66	#123	—	2	4	no	—
67	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
68	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
69	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
70	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
71	#121	—	2	4	no	—
72	#121	—	2	4	no	—
73	C₄×D₄	—	2	2	no	—
74	C₄×D₄	—	2	1	no	—
75	C₄×D₄	—	2	1	no	—
76	C₄×D₄	—	2	2	no	—
77	C₄×D₄	—	2	2	no	—
78	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
79	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
80	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
90	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
93	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
94	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
95	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
96	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
100	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
102	#41	—	2	8	no	—
103	#41	—	4	8	no	—
104	#41	—	4	4	no	—
105	#41	—	4	8	no	—
106	#41	—	4	4	no	—
107	#41	—	4	4	no	—
108	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
109	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
110	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
111	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
112	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
113	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
114	C₂×D₄	—	2	4	no	—
115	C₂×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂×D₄	—	2	2	no	—
117	C₂×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂×D₄	—	2	2	no	—
119	C₂×D₄	—	4	1	no	—
120	C₂×D₄	—	4	4	no	—
121	C₂×D₄	—	4	4	no	—
122	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
123	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
125	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
126	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
132	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
133	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
134	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
135	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
136	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
137	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
138	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
139	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
140	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
145	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
146	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
147	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
149	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
151	M₁₆	—	4	8	no	—
152	M₁₆	—	4	4	no	—
153	C₂×C₈	—	2	2	no	—
154	C₂×C₈	—	2	4	no	—
155	C₂×C₈	—	2	2	no	—
156	C₂×C₈	—	4	8	no	—
157	C₂×C₈	—	4	4	no	—
158	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
159	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
160	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
161	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
162	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
163	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
165	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
170	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₄²	—	2	1	no	—
172	C₄²	—	2	1	no	—
173	C₂³	—	2	2	no	—
174	C₂³	—	2	2	no	—
175	C₂³	—	2	4	no	—
176	C₂³	—	2	1	no	—
177	C₂³	—	2	1	no	—
178	C₂³	—	2	1	no	—
179	C₂³	—	2	1	no	—
180	C₂³	—	2	1	no	—
181	C₂³	—	4	2	no	—
182	C₂³	—	4	1	no	—
183	C₂³	—	4	1	no	—
184	C₂³	—	4	1	no	—
185	C₂³	—	4	1	no	—
186	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
187	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
188	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
189	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
190	Q₈	—	2	4	no	—
191	Q₈	—	4	2	no	—
192	Q₈	—	4	2	no	—
193	Q₈	—	4	2	no	—
194	D₄	—	2	4	no	—
195	D₄	—	2	8	no	—
196	D₄	—	2	2	no	—
197	D₄	—	4	4	no	—
198	D₄	—	4	4	no	—
199	D₄	—	4	4	no	—
200	D₄	—	4	4	no	—
201	D₄	#99	1	4	yes	—
202	C₂×C₄	—	2	1	no	—
203	C₂×C₄	—	2	1	no	—
204	C₂×C₄	—	2	8	no	—
205	C₂×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂×C₄	—	2	1	no	—
208	C₂×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂×C₄	—	2	1	no	—
210	C₂×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂×C₄	—	4	1	no	—
214	C₂×C₄	—	4	2	no	—
215	C₂×C₄	—	4	2	no	—
216	C₂×C₄	—	4	4	no	—
217	C₂×C₄	—	4	4	no	—
218	C₂×C₄	—	4	4	no	—
219	C₂×C₄	—	4	2	no	—
220	C₂×C₄	—	4	4	no	—
221	C₂×C₄	—	4	4	no	—
222	C₂×C₄	—	4	2	no	—
223	C₂×C₄	—	4	1	no	—
224	C₂×C₄	—	4	2	no	—
225	C₂×C₄	—	4	1	no	—
226	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
228	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂×C₄	#131	1	2	yes	complemented
230	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
231	C₈	—	4	2	no	—
232	C₈	—	4	4	no	—
233	C₈	—	4	2	no	—
234	C₂²	—	2	2	no	—
235	C₂²	—	2	1	no	—
236	C₂²	—	2	1	no	—
237	C₂²	—	2	2	no	—
238	C₂²	—	2	2	no	—
239	C₂²	—	2	2	no	—
240	C₂²	—	2	2	no	—
241	C₂²	—	2	2	no	—
242	C₂²	—	2	2	no	—
243	C₂²	—	2	2	no	—
244	C₂²	—	4	4	no	—
245	C₂²	—	4	4	no	—
246	C₂²	—	4	1	no	—
247	C₂²	—	4	1	no	—
248	C₂²	—	4	1	no	—
249	C₂²	—	8	1	no	—
250	C₂²	—	8	1	no	—
251	C₂²	—	8	1	no	—
252	C₂²	—	8	1	no	—
253	C₂²	C₂×#99	1	4	yes	—
254	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
255	C₂²	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
256	C₂²	#568	1	1	yes	characteristic
257	C₄	—	2	2	no	—
258	C₄	—	2	2	no	—
259	C₄	—	2	1	no	—
260	C₄	—	2	4	no	—
261	C₄	—	4	2	no	—
262	C₄	—	4	1	no	—
263	C₄	—	4	2	no	—
264	C₄	—	4	1	no	—
265	C₄	C₂×#99	1	2	yes	—
266	C₂	—	2	1	no	—
267	C₂	—	2	1	no	—
268	C₂	—	2	4	no	—
269	C₂	—	4	2	no	—
270	C₂	—	4	2	no	—
271	C₂	—	8	1	no	—
272	C₂	#2880	1	1	yes	characteristic
273	C₂	C₂²×#99	1	1	yes	characteristic
274	C₂	#2889	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#547	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2880	C₂	semidirect
3. #1472	C₂	semidirect
4. #1468	C₂	semidirect
5. #1465	C₂	semidirect
6. #1463	C₂	semidirect
7. #1459	C₂	semidirect
8. C₂×#324	C₂	semidirect
229. C₂×C₄	#131	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#547	2
#2880	2
#1472	2
#1468	2
#1465	2
#1463	2
#1459	2
C₂×#324	2