Subgroups — #17421

Order 256.

673 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 292 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#546	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2974	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#1471	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#1469	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1466	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1462	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1460	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×#323	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂²×#41	C₄	1	1	yes	characteristic
10	C₂³×D₄	C₄	1	1	yes	characteristic
11	#546	—	2	2	no	—
12	#546	—	2	4	no	—
13	#546	—	2	2	no	—
14	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#123	C₄	1	2	yes	—
16	C₂×C₂²⋊Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#121	C₄	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#120	C₄	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	#436	—	2	2	no	—
24	#435	—	2	4	no	—
25	C₈×D₄	—	2	2	no	—
26	#432	C₂²	1	2	yes	complemented
27	#431	C₂²	1	2	yes	complemented
28	#407	C₂²	1	4	yes	complemented
29	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	complemented
30	#323	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#323	C₂²	1	2	yes	—
32	#323	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#323	C₂²	1	4	yes	complemented
34	#323	C₂²	1	2	yes	complemented
35	#323	C₂²	1	4	yes	complemented
36	#323	C₂²	1	2	yes	complemented
37	C₂⁵	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂×#41	—	2	1	no	—
39	C₂×#41	—	2	2	no	—
40	C₂×#41	—	2	1	no	—
41	C₂×#41	—	4	4	no	—
42	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
44	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
45	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
46	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
47	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
58	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
59	#124	—	2	2	no	—
60	#124	—	2	2	no	—
61	#123	—	2	4	no	—
62	#123	—	2	4	no	—
63	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
64	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
65	#121	—	2	4	no	—
66	#121	—	2	4	no	—
67	#121	—	2	2	no	—
68	#121	—	2	2	no	—
69	#120	—	2	4	no	—
70	#120	—	2	4	no	—
71	C₄×D₄	—	2	2	no	—
72	C₄×D₄	—	2	2	no	—
73	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
74	C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
75	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
76	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
80	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
81	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
90	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
91	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
92	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
93	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
96	#97	—	2	2	no	—
97	C₄×C₈	—	2	2	no	—
98	C₂⁴	—	2	2	no	—
99	C₂⁴	—	2	2	no	—
100	C₂⁴	—	2	4	no	—
101	C₂⁴	—	4	2	no	—
102	C₂⁴	—	4	4	no	—
103	C₂⁴	—	8	2	no	—
104	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
108	#41	—	4	8	no	—
109	#41	—	4	4	no	—
110	#41	—	4	4	no	—
111	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
112	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
113	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
114	C₂×D₄	—	2	4	no	—
115	C₂×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂×D₄	—	2	2	no	—
117	C₂×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂×D₄	—	2	2	no	—
119	C₂×D₄	—	2	2	no	—
120	C₂×D₄	—	2	2	no	—
121	C₂×D₄	—	2	1	no	—
122	C₂×D₄	—	2	1	no	—
123	C₂×D₄	—	2	4	no	—
124	C₂×D₄	—	4	1	no	—
125	C₂×D₄	—	4	2	no	—
126	C₂×D₄	—	4	8	no	—
127	C₂×D₄	—	4	4	no	—
128	C₂×D₄	—	4	4	no	—
129	C₂×D₄	—	4	4	no	—
130	C₂×D₄	—	4	4	no	—
131	C₂×D₄	—	8	2	no	—
132	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
133	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
138	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
140	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
141	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
142	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
143	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
144	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
145	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
149	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
151	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
152	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
153	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
154	M₁₆	—	8	4	no	—
155	C₂×C₈	—	2	2	no	—
156	C₂×C₈	—	2	2	no	—
157	C₂×C₈	—	2	4	no	—
158	C₂×C₈	—	8	4	no	—
159	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
162	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
163	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
164	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
165	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
166	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
168	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
170	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
171	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₂³	—	2	1	no	—
174	C₂³	—	2	2	no	—
175	C₂³	—	2	1	no	—
176	C₂³	—	2	2	no	—
177	C₂³	—	2	4	no	—
178	C₂³	—	2	2	no	—
179	C₂³	—	2	1	no	—
180	C₂³	—	2	1	no	—
181	C₂³	—	2	2	no	—
182	C₂³	—	2	1	no	—
183	C₂³	—	2	2	no	—
184	C₂³	—	4	2	no	—
185	C₂³	—	4	4	no	—
186	C₂³	—	4	4	no	—
187	C₂³	—	4	1	no	—
188	C₂³	—	4	1	no	—
189	C₂³	—	4	4	no	—
190	C₂³	—	4	1	no	—
191	C₂³	—	4	2	no	—
192	C₂³	—	4	1	no	—
193	C₂³	—	4	2	no	—
194	C₂³	—	4	4	no	—
195	C₂³	—	8	2	no	—
196	C₂³	—	8	2	no	—
197	C₂³	—	8	8	no	—
198	C₂³	—	8	8	no	—
199	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
200	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
201	C₂³	#131	1	2	yes	—
202	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
203	Q₈	—	4	2	no	—
204	Q₈	—	4	2	no	—
205	D₄	—	2	4	no	—
206	D₄	—	2	2	no	—
207	D₄	—	4	4	no	—
208	D₄	—	4	2	no	—
209	D₄	—	4	4	no	—
210	D₄	—	4	4	no	—
211	D₄	—	4	4	no	—
212	D₄	—	4	4	no	—
213	D₄	—	4	2	no	—
214	D₄	—	8	4	no	—
215	D₄	#100	1	4	yes	—
216	C₂×C₄	—	2	1	no	—
217	C₂×C₄	—	2	1	no	—
218	C₂×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂×C₄	—	2	1	no	—
220	C₂×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂×C₄	—	2	1	no	—
222	C₂×C₄	—	4	4	no	—
223	C₂×C₄	—	4	4	no	—
224	C₂×C₄	—	4	1	no	—
225	C₂×C₄	—	4	2	no	—
226	C₂×C₄	—	4	2	no	—
227	C₂×C₄	—	4	2	no	—
228	C₂×C₄	—	4	4	no	—
229	C₂×C₄	—	4	4	no	—
230	C₂×C₄	—	4	2	no	—
231	C₂×C₄	—	4	2	no	—
232	C₂×C₄	—	4	1	no	—
233	C₂×C₄	—	4	1	no	—
234	C₂×C₄	—	4	2	no	—
235	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
236	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
238	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
240	C₈	—	4	2	no	—
241	C₈	—	4	4	no	—
242	C₈	—	4	2	no	—
243	C₂²	—	2	2	no	—
244	C₂²	—	2	1	no	—
245	C₂²	—	2	2	no	—
246	C₂²	—	2	1	no	—
247	C₂²	—	2	2	no	—
248	C₂²	—	2	2	no	—
249	C₂²	—	2	2	no	—
250	C₂²	—	2	2	no	—
251	C₂²	—	4	4	no	—
252	C₂²	—	4	4	no	—
253	C₂²	—	4	2	no	—
254	C₂²	—	4	2	no	—
255	C₂²	—	4	1	no	—
256	C₂²	—	4	1	no	—
257	C₂²	—	4	1	no	—
258	C₂²	—	4	2	no	—
259	C₂²	—	4	1	no	—
260	C₂²	—	4	2	no	—
261	C₂²	—	4	1	no	—
262	C₂²	—	4	2	no	—
263	C₂²	—	8	8	no	—
264	C₂²	—	8	1	no	—
265	C₂²	—	8	1	no	—
266	C₂²	—	8	2	no	—
267	C₂²	—	8	2	no	—
268	C₂²	—	8	8	no	—
269	C₂²	C₂×#100	1	4	yes	—
270	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
271	C₂²	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
272	C₂²	#568	1	1	yes	characteristic
273	C₄	—	2	2	no	—
274	C₄	—	2	2	no	—
275	C₄	—	2	4	no	—
276	C₄	—	2	1	no	—
277	C₄	—	4	1	no	—
278	C₄	—	4	1	no	—
279	C₄	—	4	2	no	—
280	C₄	C₂×#100	1	2	yes	—
281	C₂	—	2	1	no	—
282	C₂	—	2	1	no	—
283	C₂	—	2	4	no	—
284	C₂	—	4	2	no	—
285	C₂	—	4	2	no	—
286	C₂	—	8	1	no	—
287	C₂	—	8	2	no	—
288	C₂	#2880	1	1	yes	characteristic
289	C₂	#2883	1	1	yes	characteristic
290	C₂	C₂²×#100	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#546	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2974	C₂	semidirect
3. #1471	C₂	semidirect
4. #1469	C₂	semidirect
5. #1466	C₂	semidirect
6. #1462	C₂	semidirect
7. #1460	C₂	semidirect
8. C₂×#323	C₂	semidirect
26. #432	C₂²	semidirect
27. #431	C₂²	semidirect
28. #407	C₂²	semidirect
29. C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	semidirect
33. #323	C₂²	semidirect
34. #323	C₂²	semidirect
35. #323	C₂²	semidirect
36. #323	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#546	2
#2974	2
#1471	2
#1469	2
#1466	2
#1462	2
#1460	2
C₂×#323	2