Subgroups — #17426

Order 256.

498 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 235 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#554	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2974	C₂	1	2	yes	maximal
3	#1472	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#1470	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1467	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1463	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1461	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×#324	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#554	—	2	2	no	—
10	#554	—	2	4	no	—
11	#554	—	2	2	no	—
12	C₂×C₄⋊Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#125	C₄	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₂²⋊Q₈	C₄	1	2	yes	—
16	C₂×C₂²⋊Q₈	C₄	1	2	yes	—
17	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄×D₄	C₄	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄×D₄	C₄	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	#436	—	2	2	no	—
24	#435	—	2	4	no	—
25	C₈×D₄	—	2	2	no	—
26	#432	C₂²	1	2	yes	—
27	#431	C₂²	1	2	yes	—
28	#407	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
30	#324	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#324	C₂²	1	2	yes	—
32	#324	C₂²	1	4	yes	—
33	#324	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#324	C₂²	1	2	yes	—
35	#324	C₂²	1	4	yes	—
36	#324	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
44	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
45	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
46	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
47	#125	—	2	2	no	—
48	#125	—	2	2	no	—
49	#125	—	2	2	no	—
50	#125	—	2	2	no	—
51	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
52	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
53	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
54	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
55	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
56	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
57	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
58	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
59	C₄×D₄	—	2	2	no	—
60	C₄×D₄	—	2	1	no	—
61	C₄×D₄	—	2	1	no	—
62	C₄×D₄	—	2	2	no	—
63	C₄×D₄	—	2	1	no	—
64	C₄×D₄	—	2	1	no	—
65	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
66	C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
67	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
68	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
69	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
70	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
88	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
89	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
90	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
91	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
93	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
94	#97	—	2	2	no	—
95	C₄×C₈	—	2	2	no	—
96	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
97	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
98	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
99	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
100	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
101	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
102	C₂×D₄	—	2	4	no	—
103	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
104	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
109	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
110	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
111	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
112	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
113	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
114	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
116	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
122	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
123	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
124	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
125	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
126	M₁₆	—	8	4	no	—
127	C₂×C₈	—	2	2	no	—
128	C₂×C₈	—	2	2	no	—
129	C₂×C₈	—	2	4	no	—
130	C₂×C₈	—	8	4	no	—
131	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
132	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
133	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
134	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
135	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
136	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
137	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
138	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
139	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
142	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
144	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
145	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
146	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
148	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
149	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
150	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
151	C₄²	—	2	1	no	—
152	C₄²	—	2	1	no	—
153	C₄²	—	2	1	no	—
154	C₄²	—	2	1	no	—
155	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
157	C₂³	—	2	2	no	—
158	C₂³	—	2	2	no	—
159	C₂³	—	2	4	no	—
160	C₂³	—	4	2	no	—
161	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
162	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
163	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
164	Q₈	—	4	4	no	—
165	Q₈	—	8	4	no	—
166	D₄	—	2	4	no	—
167	D₄	—	2	2	no	—
168	D₄	#101	1	4	yes	—
169	C₂×C₄	—	2	1	no	—
170	C₂×C₄	—	2	1	no	—
171	C₂×C₄	—	2	1	no	—
172	C₂×C₄	—	2	1	no	—
173	C₂×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄	—	2	1	no	—
175	C₂×C₄	—	2	1	no	—
176	C₂×C₄	—	2	1	no	—
177	C₂×C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄	—	2	1	no	—
181	C₂×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄	—	2	1	no	—
183	C₂×C₄	—	4	4	no	—
184	C₂×C₄	—	4	4	no	—
185	C₂×C₄	—	4	1	no	—
186	C₂×C₄	—	4	2	no	—
187	C₂×C₄	—	4	4	no	—
188	C₂×C₄	—	4	4	no	—
189	C₂×C₄	—	4	1	no	—
190	C₂×C₄	—	4	2	no	—
191	C₂×C₄	—	4	1	no	—
192	C₂×C₄	—	8	2	no	—
193	C₂×C₄	—	8	2	no	—
194	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
196	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
197	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₄	#131	1	2	yes	—
199	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
200	C₈	—	4	2	no	—
201	C₈	—	4	4	no	—
202	C₈	—	4	2	no	—
203	C₂²	—	2	2	no	—
204	C₂²	—	2	1	no	—
205	C₂²	—	2	2	no	—
206	C₂²	—	2	1	no	—
207	C₂²	—	2	2	no	—
208	C₂²	—	2	2	no	—
209	C₂²	—	2	2	no	—
210	C₂²	—	4	4	no	—
211	C₂²	—	4	4	no	—
212	C₂²	C₂×#101	1	4	yes	—
213	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂²	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
215	C₂²	#568	1	1	yes	characteristic
216	C₄	—	2	2	no	—
217	C₄	—	2	2	no	—
218	C₄	—	2	2	no	—
219	C₄	—	2	4	no	—
220	C₄	—	2	1	no	—
221	C₄	—	4	2	no	—
222	C₄	—	4	1	no	—
223	C₄	—	4	1	no	—
224	C₄	—	4	2	no	—
225	C₄	—	4	1	no	—
226	C₄	C₂×#101	1	2	yes	—
227	C₂	—	2	1	no	—
228	C₂	—	2	1	no	—
229	C₂	—	2	4	no	—
230	C₂	—	4	2	no	—
231	C₂	#2880	1	1	yes	characteristic
232	C₂	#2883	1	1	yes	characteristic
233	C₂	C₂²×#101	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×D₄	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #1472	C₂	semidirect
4. #1470	C₂	semidirect
5. #1467	C₂	semidirect
6. #1463	C₂	semidirect
7. #1461	C₂	semidirect
8. C₂×#324	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#554	2
#2974	2
#1472	2
#1470	2
#1467	2
#1463	2
#1461	2
C₂×#324	2