Subgroups — #17447

Order 256.

666 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 322 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2920	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×C₄×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#1491	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1490	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1489	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#1476	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#41	C₄	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
10	C₄×#41	—	2	1	no	—
11	C₄×#41	—	2	1	no	—
12	C₄×#41	—	2	1	no	—
13	C₄×#41	—	2	1	no	—
14	C₄×#41	C₄	1	2	yes	—
15	C₄×#41	C₄	1	2	yes	—
16	C₄×#41	C₂²	1	2	yes	—
17	C₄×#41	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₄×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
21	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
22	C₂×C₄×D₄	C₄	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#117	—	2	1	no	—
25	C₂×#117	C₄	1	1	yes	characteristic
26	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
27	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#432	—	2	1	no	—
29	#432	C₂²	1	2	yes	—
30	#431	—	2	1	no	—
31	#431	C₂²	1	2	yes	complemented
32	#423	C₂²	1	2	yes	complemented
33	#407	—	2	1	no	—
34	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
35	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
36	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
37	C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
38	C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
39	C₂×#97	—	2	1	no	—
40	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
41	Q₈⋊C₈	C₂²	1	8	yes	complemented
42	D₄⋊C₈	C₂²	1	8	yes	complemented
43	C₂×#41	—	2	8	no	—
44	C₂×#41	—	2	1	no	—
45	C₂×#41	—	2	1	no	—
46	C₂×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
50	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
52	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
53	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
54	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
58	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
59	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
60	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
61	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
62	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
63	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
64	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
65	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
66	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
70	C₄×D₄	—	2	2	no	—
71	C₄×D₄	—	2	2	no	—
72	C₄×D₄	—	2	2	no	—
73	C₄×D₄	—	2	2	no	—
74	C₄×D₄	—	2	2	no	—
75	C₄×D₄	—	2	2	no	—
76	C₄×D₄	—	2	2	no	—
77	C₄×D₄	—	2	2	no	—
78	C₄×D₄	—	2	1	no	—
79	C₄×D₄	—	2	1	no	—
80	C₄×D₄	—	2	1	no	—
81	C₄×D₄	—	2	1	no	—
82	C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
86	#117	—	2	1	no	—
87	#117	—	2	1	no	—
88	#117	—	2	2	no	—
89	#117	—	2	2	no	—
90	#117	—	2	2	no	—
91	#117	—	2	2	no	—
92	#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
95	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
96	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
99	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
100	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
101	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
102	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
103	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
104	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
105	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
106	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
107	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
108	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
118	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
119	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
120	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
121	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
122	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
123	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
124	#97	—	2	2	no	—
125	#97	—	2	2	no	—
126	#97	—	2	2	no	—
127	C₄×C₈	—	2	2	no	—
128	C₄×C₈	—	2	2	no	—
129	C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
130	C₂⁴	—	2	1	no	—
131	C₂⁴	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
132	#41	—	2	8	no	—
133	#41	—	2	8	no	—
134	#41	—	2	4	no	—
135	#41	—	2	4	no	—
136	#41	—	2	4	no	—
137	#41	M₁₆	1	8	yes	complemented
138	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
139	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
140	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
141	C₂×D₄	—	2	8	no	—
142	C₂×D₄	—	2	2	no	—
143	C₂×D₄	—	2	2	no	—
144	C₂×D₄	—	2	4	no	—
145	C₂×D₄	—	2	1	no	—
146	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
147	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
160	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
161	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
162	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
180	M₁₆	—	2	8	no	—
181	M₁₆	—	2	8	no	—
182	M₁₆	—	4	4	no	—
183	C₂×C₈	—	2	8	no	—
184	C₂×C₈	—	2	4	no	—
185	C₂×C₈	—	2	4	no	—
186	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
187	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
188	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
190	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
191	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
192	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
193	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
194	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
200	C₄²	—	2	2	no	—
201	C₄²	—	2	2	no	—
202	C₄²	—	2	2	no	—
203	C₄²	—	2	2	no	—
204	C₄²	—	2	2	no	—
205	C₄²	—	2	2	no	—
206	C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
207	C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
208	C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
209	C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
210	C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
211	C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
212	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
213	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
214	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
215	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
216	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
217	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
218	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
220	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
221	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
222	C₂³	—	2	4	no	—
223	C₂³	—	2	2	no	—
224	C₂³	—	2	2	no	—
225	C₂³	—	2	2	no	—
226	C₂³	—	4	1	no	—
227	C₂³	—	4	2	no	—
228	C₂³	—	4	2	no	—
229	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
232	Q₈	—	2	4	no	—
233	Q₈	—	2	2	no	—
234	Q₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	complemented
235	D₄	—	2	8	no	—
236	D₄	—	2	4	no	—
237	D₄	—	2	8	no	—
238	D₄	—	2	2	no	—
239	D₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	complemented
240	C₂×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂×C₄	—	2	8	no	—
242	C₂×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂×C₄	—	2	8	no	—
252	C₂×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂×C₄	—	4	1	no	—
260	C₂×C₄	—	4	1	no	—
261	C₂×C₄	—	4	1	no	—
262	C₂×C₄	—	4	4	no	—
263	C₂×C₄	—	4	2	no	—
264	C₂×C₄	—	4	2	no	—
265	C₂×C₄	—	4	4	no	—
266	C₂×C₄	—	4	4	no	—
267	C₂×C₄	—	4	4	no	—
268	C₂×C₄	#104	1	4	yes	—
269	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
272	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
274	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
276	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
277	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
279	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
280	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
282	C₈	—	2	8	no	—
283	C₈	—	4	4	no	—
284	C₂²	—	2	1	no	—
285	C₂²	—	2	1	no	—
286	C₂²	—	2	1	no	—
287	C₂²	—	2	1	no	—
288	C₂²	—	2	1	no	—
289	C₂²	—	2	4	no	—
290	C₂²	—	2	1	no	—
291	C₂²	—	2	1	no	—
292	C₂²	—	4	4	no	—
293	C₂²	—	4	8	no	—
294	C₂²	—	4	2	no	—
295	C₂²	—	4	2	no	—
296	C₂²	#407	1	2	yes	—
297	C₂²	C₂×#104	1	2	yes	—
298	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
299	C₄	—	2	1	no	—
300	C₄	—	2	4	no	—
301	C₄	—	2	1	no	—
302	C₄	—	2	1	no	—
303	C₄	—	2	1	no	—
304	C₄	—	2	1	no	—
305	C₄	—	2	1	no	—
306	C₄	—	2	1	no	—
307	C₄	—	4	2	no	—
308	C₄	—	4	2	no	—
309	C₄	#407	1	2	yes	—
310	C₄	C₂×#104	1	2	yes	—
311	C₄	C₂×#104	1	2	yes	—
312	C₄	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
313	C₄	#575	1	2	yes	—
314	C₂	—	2	2	no	—
315	C₂	—	2	2	no	—
316	C₂	—	4	1	no	—
317	C₂	—	4	4	no	—
318	C₂	C₂×#407	1	1	yes	characteristic
319	C₂	#2896	1	1	yes	characteristic
320	C₂	C₂²×#104	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₄²	C₂×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂²×#41	C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₄² ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2920	C₂	semidirect
3. C₂×C₄×M₁₆	C₂	semidirect
4. #1491	C₂	semidirect
5. #1490	C₂	semidirect
6. #1489	C₂	semidirect
7. #1476	C₂	semidirect
31. #431	C₂²	semidirect
32. #423	C₂²	semidirect
38. C₄×M₁₆	C₂²	semidirect
40. C₂×C₄×C₈	C₂²	semidirect
41. Q₈⋊C₈	C₂²	semidirect
42. D₄⋊C₈	C₂²	semidirect
137. #41	M₁₆	semidirect
234. Q₈	C₂×M₁₆	semidirect
239. D₄	C₂×M₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#41	2
#2920	2
C₂×C₄×M₁₆	2
#1491	2
#1490	2
#1489	2
#1476	2