Subgroups — #17508

Order 256.

490 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 318 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3475	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₈×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2925	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#1494	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1493	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1488	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1486	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#1482	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#1481	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1476	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₂×D₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#556	C₄	1	1	yes	characteristic
13	#555	C₄	1	1	yes	characteristic
14	#554	C₄	1	1	yes	characteristic
15	#553	—	2	1	no	—
16	#552	—	2	1	no	—
17	#552	C₄	1	2	yes	—
18	#551	—	2	2	no	—
19	#547	C₄	1	1	yes	characteristic
20	#546	C₄	1	2	yes	—
21	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#529	—	2	2	no	—
23	#529	C₂²	1	2	yes	—
24	#525	—	2	1	no	—
25	C₄×#41	C₂²	1	2	yes	—
26	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#117	—	2	1	no	—
29	C₈×Q₈	—	2	1	no	—
30	C₈×D₄	—	2	1	no	—
31	C₈×D₄	—	2	2	no	—
32	#433	—	2	2	no	—
33	#432	C₂²	1	2	yes	complemented
34	#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#431	C₂²	1	2	yes	complemented
36	#431	C₂²	1	2	yes	complemented
37	#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#408	—	2	1	no	—
40	#405	—	2	1	no	—
41	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
43	Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
44	Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
45	Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
46	Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
47	D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
49	D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
50	D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
52	D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
53	C₂×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
57	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
58	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
59	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
60	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
61	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
62	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
63	#126	—	2	2	no	—
64	#126	—	2	2	no	—
65	#126	—	2	2	no	—
66	#125	—	2	2	no	—
67	#125	—	2	1	no	—
68	#125	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	#124	—	2	2	no	—
70	#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	#123	—	2	2	no	—
72	#123	—	2	2	no	—
73	#123	—	2	2	no	—
74	#123	—	2	2	no	—
75	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
76	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
77	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
78	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
79	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	#121	—	2	1	no	—
82	#121	—	2	1	no	—
83	#121	—	2	2	no	—
84	#121	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	#120	—	2	2	no	—
86	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
87	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
89	C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
90	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
91	C₄×D₄	—	2	2	no	—
92	C₄×D₄	—	2	2	no	—
93	C₄×D₄	—	2	2	no	—
94	C₄×D₄	—	2	1	no	—
95	C₄×D₄	—	2	1	no	—
96	C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
97	C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
98	C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
99	C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
100	C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
101	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
102	C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	#117	—	2	1	no	—
106	#117	—	2	1	no	—
107	#117	—	2	1	no	—
108	#117	—	2	2	no	—
109	#117	—	2	2	no	—
110	#117	—	2	2	no	—
111	#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
112	#117	D₄	1	1	yes	characteristic
113	#117	D₄	1	2	yes	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
119	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
122	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
123	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
124	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
125	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
126	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
127	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
128	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
129	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
130	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
131	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
132	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
133	#97	—	2	2	no	—
134	C₄×C₈	—	2	1	no	—
135	C₄×C₈	—	2	2	no	—
136	C₄×C₈	—	2	2	no	—
137	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
138	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
139	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
140	C₂⁴	—	2	1	no	—
141	#41	—	2	2	no	—
142	#41	—	2	2	no	—
143	#41	—	2	4	no	—
144	#41	—	4	2	no	—
145	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
146	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	C₂×D₄	—	2	2	no	—
149	C₂×D₄	—	2	2	no	—
150	C₂×D₄	—	2	2	no	—
151	C₂×D₄	—	2	1	no	—
152	C₂×D₄	—	4	1	no	—
153	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
154	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
165	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
166	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
168	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
172	M₁₆	—	4	2	no	—
173	C₂×C₈	—	2	1	no	—
174	C₂×C₈	—	2	1	no	—
175	C₂×C₈	—	2	2	no	—
176	C₂×C₈	—	2	1	no	—
177	C₂×C₈	—	2	2	no	—
178	C₂×C₈	—	2	1	no	—
179	C₂×C₈	—	4	2	no	—
180	C₂×C₈	—	4	4	no	—
181	C₂×C₈	—	4	2	no	—
182	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
183	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
184	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
187	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
188	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
191	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
192	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
193	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
194	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
195	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
196	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
197	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
198	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
199	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
201	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
205	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
206	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
209	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
210	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
211	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
212	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
213	C₄²	—	2	2	no	—
214	C₄²	—	2	2	no	—
215	C₄²	—	2	2	no	—
216	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
217	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
218	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
219	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
220	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
221	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
223	C₂³	—	2	1	no	—
224	C₂³	—	2	1	no	—
225	C₂³	—	4	2	no	—
226	C₂³	—	4	2	no	—
227	C₂³	—	8	1	no	—
228	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
229	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
230	Q₈	—	2	2	no	—
231	Q₈	—	2	2	no	—
232	Q₈	—	2	2	no	—
233	Q₈	—	8	1	no	—
234	D₄	—	2	4	no	—
235	D₄	—	2	1	no	—
236	D₄	—	2	1	no	—
237	D₄	—	2	1	no	—
238	D₄	—	2	2	no	—
239	D₄	—	4	2	no	—
240	D₄	—	4	4	no	—
241	D₄	—	8	2	no	—
242	D₄	#131	1	2	yes	—
243	C₂×C₄	—	2	1	no	—
244	C₂×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂×C₄	—	2	1	no	—
246	C₂×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂×C₄	—	2	1	no	—
250	C₂×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂×C₄	—	2	1	no	—
253	C₂×C₄	—	4	2	no	—
254	C₂×C₄	—	4	1	no	—
255	C₂×C₄	—	4	4	no	—
256	C₂×C₄	—	4	2	no	—
257	C₂×C₄	—	4	1	no	—
258	C₂×C₄	—	4	1	no	—
259	C₂×C₄	—	4	1	no	—
260	C₂×C₄	—	4	1	no	—
261	C₂×C₄	—	4	2	no	—
262	C₂×C₄	—	4	2	no	—
263	C₂×C₄	—	8	2	no	—
264	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
265	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
266	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
268	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂×C₄	#135	1	2	yes	—
271	C₂×C₄	#135	1	2	yes	—
272	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
274	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
275	C₈	—	2	2	no	—
276	C₈	—	4	1	no	—
277	C₈	—	4	2	no	—
278	C₈	—	4	1	no	—
279	C₈	—	4	1	no	—
280	C₈	—	4	2	no	—
281	C₂²	—	2	1	no	—
282	C₂²	—	2	1	no	—
283	C₂²	—	2	2	no	—
284	C₂²	—	2	2	no	—
285	C₂²	—	2	2	no	—
286	C₂²	—	2	2	no	—
287	C₂²	—	4	1	no	—
288	C₂²	—	4	1	no	—
289	C₂²	—	4	1	no	—
290	C₂²	—	4	1	no	—
291	C₂²	—	4	1	no	—
292	C₂²	—	8	4	no	—
293	C₂²	#416	1	2	yes	—
294	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
295	C₄	—	2	2	no	—
296	C₄	—	2	1	no	—
297	C₄	—	2	2	no	—
298	C₄	—	2	1	no	—
299	C₄	—	2	2	no	—
300	C₄	—	2	1	no	—
301	C₄	—	4	2	no	—
302	C₄	—	4	1	no	—
303	C₄	—	4	1	no	—
304	C₄	—	4	2	no	—
305	C₄	#416	1	2	yes	—
306	C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
307	C₄	#568	1	1	yes	characteristic
308	C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
309	C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
310	C₂	—	2	2	no	—
311	C₂	—	4	2	no	—
312	C₂	—	4	2	no	—
313	C₂	—	8	1	no	—
314	C₂	#2880	1	1	yes	characteristic
315	C₂	C₂×#416	1	1	yes	characteristic
316	C₂	#2901	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	#3475	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₈×#41	C₂	semidirect
3. #2925	C₂	semidirect
4. #1494	C₂	semidirect
5. #1493	C₂	semidirect
6. #1488	C₂	semidirect
7. #1486	C₂	semidirect
8. #1482	C₂	semidirect
9. #1481	C₂	semidirect
10. #1476	C₂	semidirect
11. C₂×D₄⋊C₈	C₂	semidirect
33. #432	C₂²	semidirect
35. #431	C₂²	semidirect
36. #431	C₂²	semidirect
42. C₂×C₄×C₈	C₂²	semidirect
43. Q₈⋊C₈	C₂²	semidirect
44. Q₈⋊C₈	C₂²	semidirect
45. Q₈⋊C₈	C₂²	semidirect
46. Q₈⋊C₈	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3475	2
C₈×#41	2
#2925	2
#1494	2
#1493	2
#1488	2
#1486	2
#1482	2
#1481	2
#1476	2
C₂×D₄⋊C₈	2