Subgroups — #17515

Order 256.

497 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 314 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3480	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2965	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2906	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#1495	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1492	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1489	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1487	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#1483	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#1480	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1477	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₂×Q₈⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#131	—	2	1	no	—
13	#559	—	2	1	no	—
14	#559	C₄	1	1	yes	characteristic
15	#557	C₄	1	1	yes	characteristic
16	#556	—	2	1	no	—
17	#556	C₄	1	1	yes	characteristic
18	#553	—	2	2	no	—
19	#553	C₄	1	2	yes	—
20	#550	C₄	1	1	yes	characteristic
21	#548	C₄	1	2	yes	—
22	#532	—	2	1	no	—
23	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#529	—	2	2	no	—
25	#529	C₂²	1	2	yes	—
26	C₄×#41	—	2	1	no	—
27	C₄×#41	C₂²	1	2	yes	—
28	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#446	—	2	1	no	—
31	#436	—	2	1	no	—
32	#435	—	2	2	no	—
33	#431	C₂²	1	2	yes	—
34	#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#424	—	2	1	no	—
36	#424	—	2	2	no	—
37	#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#423	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
41	C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
48	Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
49	D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
50	D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
51	D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
52	D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
53	C₂×#41	—	2	1	no	—
54	C₂×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
57	#131	—	4	4	no	—
58	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
59	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
60	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
61	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
62	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
63	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
64	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
65	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
66	#127	—	2	1	no	—
67	#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	#126	—	2	2	no	—
69	#126	—	2	2	no	—
70	#126	—	2	2	no	—
71	#125	—	2	2	no	—
72	#125	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	#124	—	2	1	no	—
74	#124	—	2	1	no	—
75	#124	—	2	2	no	—
76	#124	—	2	1	no	—
77	#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	#123	—	2	2	no	—
79	#123	—	2	2	no	—
80	#123	—	2	2	no	—
81	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
82	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	#121	—	2	2	no	—
84	#121	—	2	2	no	—
85	#121	—	2	1	no	—
86	#121	—	2	2	no	—
87	#121	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	#121	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
90	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
91	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
92	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
93	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
94	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
95	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
96	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
97	C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₄×D₄	—	2	2	no	—
101	C₄×D₄	—	2	2	no	—
102	C₄×D₄	—	2	2	no	—
103	C₄×D₄	—	2	1	no	—
104	C₄×D₄	—	2	1	no	—
105	C₄×D₄	—	2	2	no	—
106	C₄×D₄	—	2	2	no	—
107	C₄×D₄	—	2	1	no	—
108	C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
109	C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
110	C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
112	C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
114	#117	—	2	2	no	—
115	#117	—	2	2	no	—
116	#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
117	#117	D₄	1	1	yes	characteristic
118	#117	D₄	1	2	yes	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
122	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
125	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
126	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
127	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
128	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
129	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
130	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
131	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
132	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
133	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
134	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
135	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
136	#97	—	2	2	no	—
137	C₄×C₈	—	2	1	no	—
138	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
139	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
140	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
141	#41	—	2	2	no	—
142	#41	—	2	2	no	—
143	#41	—	2	4	no	—
144	#41	—	4	2	no	—
145	#41	—	4	2	no	—
146	#41	—	4	2	no	—
147	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
148	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
149	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
150	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
151	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂×D₄	—	2	2	no	—
155	C₂×D₄	—	2	2	no	—
156	C₂×D₄	—	2	2	no	—
157	C₂×D₄	—	2	1	no	—
158	C₂×D₄	—	2	1	no	—
159	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
160	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
162	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
169	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
173	M₁₆	—	4	4	no	—
174	M₁₆	—	4	4	no	—
175	M₁₆	—	4	2	no	—
176	C₂×C₈	—	2	1	no	—
177	C₂×C₈	—	2	1	no	—
178	C₂×C₈	—	2	2	no	—
179	C₂×C₈	—	2	1	no	—
180	C₂×C₈	—	2	2	no	—
181	C₂×C₈	—	2	1	no	—
182	C₂×C₈	—	4	2	no	—
183	C₂×C₈	—	4	4	no	—
184	C₂×C₈	—	4	2	no	—
185	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
186	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
187	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
188	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
191	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
192	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
193	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
194	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
195	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
196	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
197	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
198	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
199	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
200	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
201	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
202	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
211	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
212	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
213	C₄²	—	2	2	no	—
214	C₄²	—	2	2	no	—
215	C₄²	—	2	1	no	—
216	C₄²	—	2	1	no	—
217	C₄²	—	2	1	no	—
218	C₄²	—	2	1	no	—
219	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
220	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
221	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
223	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
224	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
226	C₂³	—	2	2	no	—
227	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
228	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
229	Q₈	—	2	1	no	—
230	Q₈	—	2	2	no	—
231	Q₈	—	2	1	no	—
232	Q₈	—	2	1	no	—
233	Q₈	—	4	2	no	—
234	Q₈	—	4	2	no	—
235	Q₈	#131	1	2	yes	complemented
236	D₄	—	2	4	no	—
237	D₄	—	2	2	no	—
238	D₄	—	2	2	no	—
239	D₄	—	2	2	no	—
240	D₄	—	4	4	no	—
241	D₄	—	4	4	no	—
242	D₄	—	4	2	no	—
243	D₄	—	8	1	no	—
244	D₄	—	8	2	no	—
245	C₂×C₄	—	2	1	no	—
246	C₂×C₄	—	2	1	no	—
247	C₂×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂×C₄	—	2	1	no	—
249	C₂×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂×C₄	—	2	1	no	—
253	C₂×C₄	—	2	1	no	—
254	C₂×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂×C₄	—	2	1	no	—
256	C₂×C₄	—	4	1	no	—
257	C₂×C₄	—	4	2	no	—
258	C₂×C₄	—	4	4	no	—
259	C₂×C₄	—	4	2	no	—
260	C₂×C₄	—	4	2	no	—
261	C₂×C₄	—	4	2	no	—
262	C₂×C₄	—	8	2	no	—
263	C₂×C₄	—	8	1	no	—
264	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
265	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
266	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
267	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
271	C₂×C₄	#137	1	2	yes	—
272	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
274	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
275	C₈	—	2	2	no	—
276	C₈	—	4	1	no	—
277	C₈	—	4	2	no	—
278	C₈	—	4	1	no	—
279	C₈	—	4	2	no	—
280	C₈	—	4	1	no	—
281	C₂²	—	2	1	no	—
282	C₂²	—	2	1	no	—
283	C₂²	—	2	2	no	—
284	C₂²	—	2	2	no	—
285	C₂²	—	2	2	no	—
286	C₂²	—	4	2	no	—
287	C₂²	—	4	2	no	—
288	C₂²	—	4	2	no	—
289	C₂²	#417	1	2	yes	—
290	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
291	C₄	—	2	2	no	—
292	C₄	—	2	1	no	—
293	C₄	—	2	2	no	—
294	C₄	—	2	2	no	—
295	C₄	—	2	1	no	—
296	C₄	—	2	2	no	—
297	C₄	—	2	1	no	—
298	C₄	—	4	1	no	—
299	C₄	—	4	2	no	—
300	C₄	—	4	1	no	—
301	C₄	—	4	1	no	—
302	C₄	#417	1	2	yes	—
303	C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
304	C₄	#568	1	1	yes	characteristic
305	C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
306	C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
307	C₂	—	2	2	no	—
308	C₂	—	4	2	no	—
309	C₂	—	8	2	no	—
310	C₂	#2880	1	1	yes	characteristic
311	C₂	C₂×#417	1	1	yes	characteristic
312	C₂	#2901	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	#3480	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2965	C₂	semidirect
3. #2906	C₂	semidirect
4. #1495	C₂	semidirect
5. #1492	C₂	semidirect
6. #1489	C₂	semidirect
7. #1487	C₂	semidirect
8. #1483	C₂	semidirect
9. #1480	C₂	semidirect
10. #1477	C₂	semidirect
11. C₂×Q₈⋊C₈	C₂	semidirect
235. Q₈	#131	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3480	2
#2965	2
#2906	2
#1495	2
#1492	2
#1489	2
#1487	2
#1483	2
#1480	2
#1477	2
C₂×Q₈⋊C₈	2