Subgroups — #17517

Order 256.

548 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 326 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3481	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2990	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₄×#131	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#1494	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1492	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1490	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1489	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#1484	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1483	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#1476	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×D₄⋊C₈	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂×#131	—	2	1	no	—
13	#559	C₄	1	1	yes	characteristic
14	#554	C₄	1	1	yes	characteristic
15	#554	C₄	1	1	yes	characteristic
16	#553	—	2	1	no	—
17	#553	C₄	1	2	yes	—
18	#551	—	2	2	no	—
19	#546	—	2	1	no	—
20	#546	C₄	1	2	yes	—
21	D₄²	C₄	1	1	yes	characteristic
22	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#529	—	2	1	no	—
24	#529	C₂²	1	2	yes	—
25	#525	—	2	2	no	—
26	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
29	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
30	#446	—	2	1	no	—
31	#435	—	2	2	no	—
32	C₈×D₄	—	2	1	no	—
33	#432	C₂²	1	2	yes	complemented
34	#431	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
35	#423	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
36	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
37	#405	—	2	2	no	—
38	#405	—	2	1	no	—
39	C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
40	C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
41	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
42	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
43	Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
44	Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
45	Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
46	D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
48	D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
49	D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
50	D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
51	D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
52	D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
53	C₂×#41	—	2	1	no	—
54	C₂×#41	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
57	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
59	#131	—	2	8	no	—
60	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
61	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
62	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
63	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
64	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
65	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
66	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	#126	—	2	2	no	—
69	#126	—	2	2	no	—
70	#125	—	2	1	no	—
71	#125	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	#124	—	2	1	no	—
73	#124	—	2	1	no	—
74	#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	#123	—	2	2	no	—
76	#123	—	2	2	no	—
77	#123	—	2	2	no	—
78	#123	—	2	2	no	—
79	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
80	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
81	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
82	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	#121	—	2	2	no	—
84	#121	—	2	1	no	—
85	#121	—	2	1	no	—
86	#121	—	2	2	no	—
87	#121	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	#121	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	#120	—	2	2	no	—
90	#120	—	2	2	no	—
91	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
92	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
93	C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₄×D₄	—	2	1	no	—
96	C₄×D₄	—	2	2	no	—
97	C₄×D₄	—	2	1	no	—
98	C₄×D₄	—	2	1	no	—
99	C₄×D₄	—	2	1	no	—
100	C₄×D₄	—	2	2	no	—
101	C₄×D₄	—	2	1	no	—
102	C₄×D₄	—	2	2	no	—
103	C₄×D₄	—	2	2	no	—
104	C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
105	C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
106	C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
108	C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
109	C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
110	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
111	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
113	#117	—	2	1	no	—
114	#117	—	2	2	no	—
115	#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
116	#117	D₄	1	2	yes	—
117	#117	D₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
123	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
124	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
125	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
126	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
127	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
128	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
129	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
130	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
131	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
132	#97	—	2	1	no	—
133	#97	—	2	2	no	—
134	#97	—	2	2	no	—
135	C₄×C₈	—	2	1	no	—
136	C₄×C₈	—	2	2	no	—
137	C₄×C₈	—	2	1	no	—
138	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
139	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
140	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
141	C₂⁴	—	2	2	no	—
142	#41	—	2	4	no	—
143	#41	—	2	2	no	—
144	#41	—	4	1	no	—
145	#41	—	8	1	no	—
146	#41	—	8	1	no	—
147	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
148	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×D₄	—	2	4	no	—
151	C₂×D₄	—	2	1	no	—
152	C₂×D₄	—	2	2	no	—
153	C₂×D₄	—	2	2	no	—
154	C₂×D₄	—	2	2	no	—
155	C₂×D₄	—	2	1	no	—
156	C₂×D₄	—	2	1	no	—
157	C₂×D₄	—	4	2	no	—
158	C₂×D₄	—	4	4	no	—
159	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
160	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
162	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
170	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
171	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
172	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
173	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
178	M₁₆	—	2	8	no	—
179	M₁₆	—	2	4	no	—
180	M₁₆	—	8	1	no	—
181	C₂×C₈	—	2	8	no	—
182	C₂×C₈	—	2	4	no	—
183	C₂×C₈	—	2	1	no	—
184	C₂×C₈	—	2	1	no	—
185	C₂×C₈	—	2	2	no	—
186	C₂×C₈	—	2	1	no	—
187	C₂×C₈	—	2	1	no	—
188	C₂×C₈	—	2	2	no	—
189	C₂×C₈	—	8	2	no	—
190	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
191	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
192	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
193	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
194	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
195	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
196	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
197	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
198	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
199	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
200	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
201	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
202	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
203	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
206	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
211	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
214	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
216	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
217	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
218	C₄²	—	2	1	no	—
219	C₄²	—	2	1	no	—
220	C₄²	—	2	1	no	—
221	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
222	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
223	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
224	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
225	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
227	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
228	C₂³	—	2	1	no	—
229	C₂³	—	2	2	no	—
230	C₂³	—	4	4	no	—
231	C₂³	—	4	4	no	—
232	C₂³	—	8	2	no	—
233	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
235	Q₈	—	2	2	no	—
236	Q₈	—	2	1	no	—
237	Q₈	—	2	1	no	—
238	Q₈	—	8	1	no	—
239	D₄	—	2	4	no	—
240	D₄	—	2	2	no	—
241	D₄	—	2	1	no	—
242	D₄	—	2	2	no	—
243	D₄	—	4	4	no	—
244	D₄	—	4	2	no	—
245	D₄	—	4	4	no	—
246	D₄	—	4	2	no	—
247	D₄	—	8	1	no	—
248	D₄	—	8	2	no	—
249	D₄	#104	1	4	yes	—
250	D₄	#131	1	2	yes	complemented
251	C₂×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂×C₄	—	2	1	no	—
254	C₂×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂×C₄	—	2	1	no	—
256	C₂×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂×C₄	—	2	1	no	—
258	C₂×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂×C₄	—	2	1	no	—
260	C₂×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂×C₄	—	2	1	no	—
262	C₂×C₄	—	2	1	no	—
263	C₂×C₄	—	2	1	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	4	2	no	—
266	C₂×C₄	—	4	1	no	—
267	C₂×C₄	—	4	2	no	—
268	C₂×C₄	—	4	1	no	—
269	C₂×C₄	—	4	2	no	—
270	C₂×C₄	—	4	2	no	—
271	C₂×C₄	—	8	2	no	—
272	C₂×C₄	—	8	2	no	—
273	C₂×C₄	—	8	2	no	—
274	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
276	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
277	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
279	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
280	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₈	—	2	2	no	—
284	C₈	—	2	4	no	—
285	C₈	—	2	2	no	—
286	C₈	—	4	1	no	—
287	C₈	—	4	2	no	—
288	C₈	—	4	1	no	—
289	C₂²	—	2	2	no	—
290	C₂²	—	2	2	no	—
291	C₂²	—	2	1	no	—
292	C₂²	—	2	2	no	—
293	C₂²	—	2	1	no	—
294	C₂²	—	2	1	no	—
295	C₂²	—	4	1	no	—
296	C₂²	—	4	1	no	—
297	C₂²	—	4	2	no	—
298	C₂²	—	4	2	no	—
299	C₂²	—	4	2	no	—
300	C₂²	—	8	8	no	—
301	C₂²	C₂×#104	1	4	yes	—
302	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
303	C₄	—	2	1	no	—
304	C₄	—	2	2	no	—
305	C₄	—	2	2	no	—
306	C₄	—	2	1	no	—
307	C₄	—	2	1	no	—
308	C₄	—	2	2	no	—
309	C₄	—	4	1	no	—
310	C₄	—	4	1	no	—
311	C₄	—	4	2	no	—
312	C₄	—	4	1	no	—
313	C₄	C₂×#104	1	2	yes	—
314	C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
315	C₄	#568	1	1	yes	characteristic
316	C₄	#576	1	1	yes	characteristic
317	C₄	#577	1	1	yes	characteristic
318	C₂	—	2	4	no	—
319	C₂	—	4	1	no	—
320	C₂	—	4	2	no	—
321	C₂	—	8	2	no	—
322	C₂	#2880	1	1	yes	characteristic
323	C₂	#2897	1	1	yes	characteristic
324	C₂	C₂²×#104	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	#3481	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2990	C₂	semidirect
3. C₄×#131	C₂	semidirect
4. #1494	C₂	semidirect
5. #1492	C₂	semidirect
6. #1490	C₂	semidirect
7. #1489	C₂	semidirect
8. #1484	C₂	semidirect
9. #1483	C₂	semidirect
10. #1476	C₂	semidirect
11. C₂×D₄⋊C₈	C₂	semidirect
33. #432	C₂²	semidirect
34. #431	C₂²	semidirect
35. #423	C₂²	semidirect
36. C₂×C₄⋊C₈	C₂²	semidirect
39. C₄×M₁₆	C₂²	semidirect
40. C₄×M₁₆	C₂²	semidirect
41. C₂×C₄×C₈	C₂²	semidirect
42. C₂×C₄×C₈	C₂²	semidirect
43. Q₈⋊C₈	C₂²	semidirect
44. Q₈⋊C₈	C₂²	semidirect
45. Q₈⋊C₈	C₂²	semidirect
49. D₄⋊C₈	C₂²	semidirect
50. D₄⋊C₈	C₂²	semidirect
51. D₄⋊C₈	C₂²	semidirect
52. D₄⋊C₈	C₂²	semidirect
250. D₄	#131	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3481	2
#2990	2
C₄×#131	2
#1494	2
#1492	2
#1490	2
#1489	2
#1484	2
#1483	2
#1476	2
C₂×D₄⋊C₈	2