Subgroups — #17519

Order 256.

511 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 309 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3482	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2990	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₄×#131	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#1494	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1493	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1491	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1489	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#1485	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1483	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#1476	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×Q₈⋊C₈	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂×#131	—	2	1	no	—
13	#557	C₄	1	1	yes	characteristic
14	#556	—	2	1	no	—
15	#556	C₄	1	1	yes	characteristic
16	#552	—	2	2	no	—
17	#552	C₄	1	2	yes	—
18	D₄×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
19	#548	C₄	1	2	yes	—
20	#547	—	2	1	no	—
21	#547	C₄	1	1	yes	characteristic
22	#533	—	2	1	no	—
23	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#529	—	2	2	no	—
25	#529	C₂²	1	2	yes	—
26	C₄×#41	—	2	1	no	—
27	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
30	#446	—	2	1	no	—
31	#435	—	2	2	no	—
32	C₈×D₄	—	2	1	no	—
33	#432	C₂²	1	2	yes	—
34	#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
37	#405	—	2	2	no	—
38	#405	—	2	1	no	—
39	C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
40	C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
45	Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
46	Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
47	Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
49	Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
50	D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
52	D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
53	C₂×#41	—	2	1	no	—
54	C₂×#41	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	#131	—	2	8	no	—
58	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
59	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
60	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
61	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
62	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
63	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
64	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
65	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
66	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	#126	—	2	2	no	—
69	#126	—	2	2	no	—
70	#126	—	2	2	no	—
71	#125	—	2	2	no	—
72	#125	—	2	2	no	—
73	#125	—	2	1	no	—
74	#125	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	#124	—	2	2	no	—
76	#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	#123	—	2	2	no	—
78	#123	—	2	2	no	—
79	#123	—	2	2	no	—
80	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
81	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
82	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
83	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
84	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
85	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	#121	—	2	2	no	—
88	#121	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
90	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
91	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
92	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
93	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
96	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
97	C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
100	C₄×D₄	—	2	1	no	—
101	C₄×D₄	—	2	2	no	—
102	C₄×D₄	—	2	1	no	—
103	C₄×D₄	—	2	1	no	—
104	C₄×D₄	—	2	2	no	—
105	C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
106	C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
108	C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
109	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
110	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	#117	—	2	1	no	—
112	#117	—	2	1	no	—
113	#117	—	2	2	no	—
114	#117	—	2	1	no	—
115	#117	—	2	2	no	—
116	#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
117	#117	D₄	1	2	yes	—
118	#117	D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
121	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
123	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
124	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
125	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
126	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
127	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
128	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
129	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
130	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
131	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
132	#97	—	2	1	no	—
133	#97	—	2	2	no	—
134	#97	—	2	2	no	—
135	C₄×C₈	—	2	1	no	—
136	C₄×C₈	—	2	2	no	—
137	C₄×C₈	—	2	1	no	—
138	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
139	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
140	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
141	#41	—	2	4	no	—
142	#41	—	2	2	no	—
143	#41	—	4	1	no	—
144	#41	—	4	4	no	—
145	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
146	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
147	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
148	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
149	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
151	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂×D₄	—	2	1	no	—
153	C₂×D₄	—	2	2	no	—
154	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
155	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
162	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
163	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
168	M₁₆	—	2	8	no	—
169	M₁₆	—	2	4	no	—
170	M₁₆	—	8	1	no	—
171	C₂×C₈	—	2	8	no	—
172	C₂×C₈	—	2	4	no	—
173	C₂×C₈	—	2	1	no	—
174	C₂×C₈	—	2	1	no	—
175	C₂×C₈	—	2	2	no	—
176	C₂×C₈	—	2	1	no	—
177	C₂×C₈	—	2	1	no	—
178	C₂×C₈	—	2	2	no	—
179	C₂×C₈	—	8	2	no	—
180	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
184	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
187	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
188	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
190	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
191	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
192	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
193	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
194	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
195	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
196	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
197	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
198	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
199	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
201	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
203	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
205	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
208	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
209	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
210	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
211	C₄²	—	2	1	no	—
212	C₄²	—	2	2	no	—
213	C₄²	—	2	1	no	—
214	C₄²	—	2	2	no	—
215	C₄²	—	2	1	no	—
216	C₄²	—	2	2	no	—
217	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
218	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
219	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
220	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
221	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
223	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
224	C₂³	—	2	1	no	—
225	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
227	Q₈	—	2	1	no	—
228	Q₈	—	2	2	no	—
229	Q₈	—	2	2	no	—
230	Q₈	—	2	2	no	—
231	Q₈	—	4	4	no	—
232	Q₈	—	4	2	no	—
233	Q₈	#131	1	2	yes	complemented
234	D₄	—	2	4	no	—
235	D₄	—	2	1	no	—
236	D₄	—	2	1	no	—
237	D₄	—	4	2	no	—
238	D₄	—	4	4	no	—
239	D₄	#104	1	4	yes	—
240	C₂×C₄	—	2	1	no	—
241	C₂×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂×C₄	—	2	1	no	—
244	C₂×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂×C₄	—	2	1	no	—
246	C₂×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂×C₄	—	2	1	no	—
248	C₂×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂×C₄	—	2	1	no	—
250	C₂×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂×C₄	—	2	1	no	—
252	C₂×C₄	—	2	1	no	—
253	C₂×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂×C₄	—	4	2	no	—
256	C₂×C₄	—	4	4	no	—
257	C₂×C₄	—	4	4	no	—
258	C₂×C₄	—	4	1	no	—
259	C₂×C₄	—	4	1	no	—
260	C₂×C₄	—	4	2	no	—
261	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
262	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
265	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
266	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₈	—	2	2	no	—
271	C₈	—	2	4	no	—
272	C₈	—	2	2	no	—
273	C₈	—	4	1	no	—
274	C₈	—	4	2	no	—
275	C₈	—	4	1	no	—
276	C₂²	—	2	2	no	—
277	C₂²	—	2	2	no	—
278	C₂²	—	2	1	no	—
279	C₂²	—	2	1	no	—
280	C₂²	—	2	1	no	—
281	C₂²	—	4	1	no	—
282	C₂²	—	4	1	no	—
283	C₂²	—	4	1	no	—
284	C₂²	C₂×#104	1	4	yes	—
285	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
286	C₄	—	2	1	no	—
287	C₄	—	2	2	no	—
288	C₄	—	2	2	no	—
289	C₄	—	2	2	no	—
290	C₄	—	2	1	no	—
291	C₄	—	2	1	no	—
292	C₄	—	2	2	no	—
293	C₄	—	4	2	no	—
294	C₄	—	4	1	no	—
295	C₄	—	4	1	no	—
296	C₄	—	4	2	no	—
297	C₄	C₂×#104	1	2	yes	—
298	C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
299	C₄	#568	1	1	yes	characteristic
300	C₄	#577	1	1	yes	characteristic
301	C₄	#578	1	1	yes	characteristic
302	C₂	—	2	4	no	—
303	C₂	—	4	1	no	—
304	C₂	—	8	1	no	—
305	C₂	#2880	1	1	yes	characteristic
306	C₂	#2898	1	1	yes	characteristic
307	C₂	C₂²×#104	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	#3482	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2990	C₂	semidirect
3. C₄×#131	C₂	semidirect
4. #1494	C₂	semidirect
5. #1493	C₂	semidirect
6. #1491	C₂	semidirect
7. #1489	C₂	semidirect
8. #1485	C₂	semidirect
9. #1483	C₂	semidirect
10. #1476	C₂	semidirect
11. C₂×Q₈⋊C₈	C₂	semidirect
233. Q₈	#131	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3482	2
#2990	2
C₄×#131	2
#1494	2
#1493	2
#1491	2
#1489	2
#1485	2
#1483	2
#1476	2
C₂×Q₈⋊C₈	2