Subgroups — #17523

Order 256.

468 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 306 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3482	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2990	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2922	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#1497	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1493	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1489	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1488	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1485	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1481	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#1477	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#1476	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#557	C₄	1	1	yes	characteristic
13	#556	C₄	1	2	yes	—
14	#556	C₄	1	1	yes	characteristic
15	#552	—	2	1	no	—
16	#552	—	2	2	no	—
17	D₄×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
18	#548	—	2	1	no	—
19	#547	C₄	1	1	yes	characteristic
20	#547	C₄	1	2	yes	—
21	#533	C₂²	1	2	yes	—
22	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#529	—	2	1	no	—
24	#529	—	2	2	no	—
25	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₄×#41	C₂²	1	2	yes	—
27	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
29	#446	—	2	1	no	—
30	#435	—	2	2	no	—
31	C₈×D₄	—	2	1	no	—
32	#433	—	2	2	no	—
33	#432	C₂²	1	2	yes	—
34	#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#431	C₂²	1	2	yes	—
36	#431	C₂²	1	2	yes	—
37	#424	—	2	1	no	—
38	#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
40	#408	—	2	1	no	—
41	C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
46	Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
47	Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
48	Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
49	Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
50	D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
52	D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
53	C₂×#41	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
57	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
58	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
59	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
60	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
61	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
65	#126	—	2	2	no	—
66	#126	—	2	2	no	—
67	#126	—	2	2	no	—
68	#125	—	2	2	no	—
69	#125	—	2	1	no	—
70	#125	—	2	1	no	—
71	#125	—	2	2	no	—
72	#124	—	2	1	no	—
73	#124	—	2	2	no	—
74	#123	—	2	2	no	—
75	#123	—	2	2	no	—
76	#123	—	2	2	no	—
77	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
78	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
79	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
80	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
81	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	#121	—	2	1	no	—
85	#121	—	2	2	no	—
86	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
87	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
88	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
89	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
90	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
91	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
92	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
94	C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
97	C₄×D₄	—	2	2	no	—
98	C₄×D₄	—	2	1	no	—
99	C₄×D₄	—	2	1	no	—
100	C₄×D₄	—	2	2	no	—
101	C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
102	C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
103	C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
104	C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
105	C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
107	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	#117	—	2	2	no	—
109	#117	—	2	1	no	—
110	#117	—	2	1	no	—
111	#117	—	2	2	no	—
112	#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
113	#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
114	#117	D₄	1	1	yes	characteristic
115	#117	D₄	1	2	yes	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
118	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
119	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
122	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
123	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
124	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
125	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
126	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
127	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
128	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
129	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
130	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
131	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
132	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
133	#97	—	2	1	no	—
134	#97	—	2	2	no	—
135	C₄×C₈	—	2	1	no	—
136	C₄×C₈	—	2	1	no	—
137	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
138	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
139	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
140	#41	—	2	2	no	—
141	#41	—	2	4	no	—
142	#41	—	4	1	no	—
143	#41	—	4	2	no	—
144	#41	—	4	2	no	—
145	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
146	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
147	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
148	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
151	C₂×D₄	—	2	1	no	—
152	C₂×D₄	—	2	2	no	—
153	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
155	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
161	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
163	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	M₁₆	—	4	2	no	—
168	M₁₆	—	8	1	no	—
169	C₂×C₈	—	2	1	no	—
170	C₂×C₈	—	2	1	no	—
171	C₂×C₈	—	2	2	no	—
172	C₂×C₈	—	2	1	no	—
173	C₂×C₈	—	2	1	no	—
174	C₂×C₈	—	2	2	no	—
175	C₂×C₈	—	4	2	no	—
176	C₂×C₈	—	8	2	no	—
177	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
178	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
179	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
180	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
183	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
185	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
187	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
188	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
189	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
191	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
192	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
193	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
194	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
195	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
196	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
197	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
201	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
203	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
205	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
206	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
207	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
208	C₄²	—	2	1	no	—
209	C₄²	—	2	2	no	—
210	C₄²	—	2	2	no	—
211	C₄²	—	2	1	no	—
212	C₄²	—	2	1	no	—
213	C₄²	—	2	2	no	—
214	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
215	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
216	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
217	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
218	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
220	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
221	C₂³	—	2	1	no	—
222	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
224	Q₈	—	2	2	no	—
225	Q₈	—	2	1	no	—
226	Q₈	—	2	2	no	—
227	Q₈	—	2	1	no	—
228	Q₈	—	2	2	no	—
229	Q₈	—	4	4	no	—
230	Q₈	—	4	2	no	—
231	D₄	—	2	1	no	—
232	D₄	—	2	2	no	—
233	D₄	—	4	2	no	—
234	D₄	—	4	2	no	—
235	D₄	—	4	4	no	—
236	D₄	#131	1	2	yes	—
237	C₂×C₄	—	2	1	no	—
238	C₂×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂×C₄	—	2	1	no	—
240	C₂×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂×C₄	—	2	1	no	—
243	C₂×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂×C₄	—	2	1	no	—
245	C₂×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂×C₄	—	2	1	no	—
247	C₂×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂×C₄	—	2	1	no	—
249	C₂×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂×C₄	—	2	1	no	—
251	C₂×C₄	—	4	2	no	—
252	C₂×C₄	—	4	2	no	—
253	C₂×C₄	—	4	4	no	—
254	C₂×C₄	—	4	4	no	—
255	C₂×C₄	—	4	1	no	—
256	C₂×C₄	—	4	1	no	—
257	C₂×C₄	—	4	2	no	—
258	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
259	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
261	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
263	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
266	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
267	C₈	—	4	1	no	—
268	C₈	—	4	1	no	—
269	C₈	—	4	2	no	—
270	C₈	—	4	1	no	—
271	C₈	—	4	2	no	—
272	C₈	—	4	1	no	—
273	C₂²	—	2	1	no	—
274	C₂²	—	2	2	no	—
275	C₂²	—	2	2	no	—
276	C₂²	—	2	2	no	—
277	C₂²	—	2	1	no	—
278	C₂²	—	2	1	no	—
279	C₂²	—	2	2	no	—
280	C₂²	—	4	1	no	—
281	C₂²	—	4	1	no	—
282	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
283	C₄	—	2	1	no	—
284	C₄	—	2	2	no	—
285	C₄	—	2	2	no	—
286	C₄	—	2	1	no	—
287	C₄	—	2	1	no	—
288	C₄	—	2	2	no	—
289	C₄	—	4	2	no	—
290	C₄	—	4	1	no	—
291	C₄	—	4	1	no	—
292	C₄	—	4	2	no	—
293	C₄	—	4	1	no	—
294	C₄	#421	1	2	yes	—
295	C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
296	C₄	#568	1	1	yes	characteristic
297	C₄	#577	1	1	yes	characteristic
298	C₄	#578	1	1	yes	characteristic
299	C₂	—	4	1	no	—
300	C₂	—	4	2	no	—
301	C₂	—	4	2	no	—
302	C₂	#2880	1	1	yes	characteristic
303	C₂	#2898	1	1	yes	characteristic
304	C₂	C₂×#421	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	#3482	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2990	C₂	semidirect
3. #2922	C₂	semidirect
4. #1497	C₂	semidirect
5. #1493	C₂	semidirect
6. #1489	C₂	semidirect
7. #1488	C₂	semidirect
8. #1485	C₂	semidirect
9. #1481	C₂	semidirect
10. #1477	C₂	semidirect
11. #1476	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3482	2
#2990	2
#2922	2
#1497	2
#1493	2
#1489	2
#1488	2
#1485	2
#1481	2
#1477	2
#1476	2