Subgroups — #17588

Order 256.

543 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 318 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3444	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2920	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#382	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#1518	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1517	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1512	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#1504	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#533	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
9	#533	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
10	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#532	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
12	#532	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
13	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#529	—	2	1	no	—
15	#529	—	2	1	no	—
16	#529	—	2	1	no	—
17	#529	—	2	1	no	—
18	#529	C₄	1	2	yes	complemented
19	#529	C₂²	1	2	yes	—
20	#525	—	2	1	no	—
21	#525	—	2	1	no	—
22	#525	C₂²	1	2	yes	—
23	C₄×#41	—	2	1	no	—
24	C₄×#41	—	2	1	no	—
25	C₄×#41	C₄	1	2	yes	complemented
26	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
27	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#432	—	2	1	no	—
29	#432	C₂²	1	2	yes	—
30	#431	—	2	1	no	—
31	#431	C₂²	1	2	yes	—
32	#423	—	2	1	no	—
33	#407	C₂²	1	2	yes	—
34	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
35	#382	—	2	1	no	—
36	#382	—	2	1	no	—
37	#382	C₂²	1	2	yes	—
38	#382	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×#95	—	2	1	no	—
40	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
41	#328	C₂²	1	8	yes	—
42	#327	C₂²	1	8	yes	—
43	C₂×#41	—	2	1	no	—
44	C₂×#41	—	2	1	no	—
45	C₂×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
47	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
51	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
52	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
53	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
54	#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
55	#126	—	2	2	no	—
56	#126	—	2	2	no	—
57	#125	—	2	1	no	—
58	#125	—	2	1	no	—
59	#125	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
60	#124	—	2	1	no	—
61	#124	—	2	1	no	—
62	#124	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
63	#123	—	2	2	no	—
64	#123	—	2	2	no	—
65	#123	—	2	2	no	—
66	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
67	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
68	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
69	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
70	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
72	#121	—	2	1	no	—
73	#121	—	2	1	no	—
74	#121	—	2	1	no	—
75	#121	—	2	1	no	—
76	#121	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	#121	C₂³	1	2	yes	—
78	#120	—	2	2	no	—
79	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
80	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
81	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
82	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
83	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
84	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
85	C₄×D₄	—	2	2	no	—
86	C₄×D₄	—	2	2	no	—
87	C₄×D₄	—	2	2	no	—
88	C₄×D₄	—	2	2	no	—
89	C₄×D₄	—	2	2	no	—
90	C₄×D₄	—	2	2	no	—
91	C₄×D₄	—	2	1	no	—
92	C₄×D₄	—	2	1	no	—
93	C₄×D₄	—	2	1	no	—
94	C₄×D₄	—	2	1	no	—
95	C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
96	C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
97	#117	—	2	1	no	—
98	#117	—	2	1	no	—
99	#117	—	2	2	no	—
100	#117	—	2	2	no	—
101	#117	—	2	2	no	—
102	#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
103	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
104	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
105	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
106	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
107	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
118	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
119	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
120	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
121	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
122	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
123	#97	—	2	2	no	—
124	C₄×C₈	—	2	2	no	—
125	#95	—	2	2	no	—
126	#95	—	2	2	no	—
127	#95	—	2	2	no	—
128	#95	C₂³	1	4	yes	—
129	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
130	#41	—	4	4	no	—
131	#41	—	4	4	no	—
132	#41	—	4	2	no	—
133	#41	—	4	2	no	—
134	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
135	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
136	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
137	C₂×D₄	—	2	2	no	—
138	C₂×D₄	—	2	2	no	—
139	C₂×D₄	—	2	2	no	—
140	C₂×D₄	—	2	1	no	—
141	C₂×D₄	—	2	1	no	—
142	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
143	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
149	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
150	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
151	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
152	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
153	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
154	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
172	M₁₆	—	4	4	no	—
173	C₂×C₈	—	2	4	no	—
174	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
175	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
176	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
177	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
178	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
180	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
185	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
186	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
187	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
188	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
197	C₄²	—	2	2	no	—
198	C₄²	—	2	2	no	—
199	C₄²	—	2	2	no	—
200	C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
201	C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
202	C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
203	C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
204	C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
205	C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
206	C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
207	C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
208	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
209	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
210	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
211	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
212	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
213	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
214	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
215	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂³	—	2	1	no	—
217	C₂³	—	2	1	no	—
218	C₂³	—	2	2	no	—
219	C₂³	—	2	2	no	—
220	C₂³	—	2	2	no	—
221	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
224	Q₈	—	4	2	no	—
225	Q₈	—	4	2	no	—
226	Q₈	—	4	2	no	—
227	D₄	—	4	2	no	—
228	D₄	—	4	2	no	—
229	D₄	—	4	2	no	—
230	D₄	—	4	2	no	—
231	D₄	—	4	4	no	—
232	D₄	—	4	4	no	—
233	D₄	—	4	2	no	—
234	C₂×C₄	—	2	1	no	—
235	C₂×C₄	—	2	1	no	—
236	C₂×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂×C₄	—	4	1	no	—
248	C₂×C₄	—	4	1	no	—
249	C₂×C₄	—	4	1	no	—
250	C₂×C₄	—	4	1	no	—
251	C₂×C₄	—	4	1	no	—
252	C₂×C₄	—	4	1	no	—
253	C₂×C₄	—	4	1	no	—
254	C₂×C₄	—	4	1	no	—
255	C₂×C₄	—	4	4	no	—
256	C₂×C₄	—	4	4	no	—
257	C₂×C₄	—	4	4	no	—
258	C₂×C₄	—	4	4	no	—
259	C₂×C₄	—	4	4	no	—
260	C₂×C₄	—	4	4	no	—
261	C₂×C₄	—	8	8	no	—
262	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
266	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
272	C₂×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
273	C₂×C₄	#137	1	2	yes	—
274	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
276	C₈	—	4	4	no	—
277	C₂²	—	2	4	no	—
278	C₂²	—	2	4	no	—
279	C₂²	—	2	1	no	—
280	C₂²	—	2	1	no	—
281	C₂²	—	2	1	no	—
282	C₂²	—	2	1	no	—
283	C₂²	—	2	1	no	—
284	C₂²	—	2	1	no	—
285	C₂²	—	4	2	no	—
286	C₂²	—	4	2	no	—
287	C₂²	—	4	2	no	—
288	C₂²	#410	1	2	yes	—
289	C₂²	#421	1	2	yes	—
290	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
291	C₂²	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
292	C₂²	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
293	C₄	—	2	1	no	—
294	C₄	—	2	1	no	—
295	C₄	—	2	1	no	—
296	C₄	—	2	1	no	—
297	C₄	—	2	1	no	—
298	C₄	—	2	1	no	—
299	C₄	—	2	1	no	—
300	C₄	—	2	1	no	—
301	C₄	—	2	1	no	—
302	C₄	—	2	1	no	—
303	C₄	—	4	2	no	—
304	C₄	—	4	2	no	—
305	C₄	—	4	2	no	—
306	C₄	—	8	4	no	—
307	C₄	#417	1	2	yes	—
308	C₄	#417	1	2	yes	—
309	C₂	—	2	1	no	—
310	C₂	—	2	1	no	—
311	C₂	—	2	2	no	—
312	C₂	—	2	2	no	—
313	C₂	—	8	2	no	—
314	C₂	C₂×#410	1	1	yes	characteristic
315	C₂	C₂×#417	1	1	yes	characteristic
316	C₂	C₂×#421	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	#3444	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2920	C₂	semidirect
3. C₂×#382	C₂	semidirect
4. #1518	C₂	semidirect
5. #1517	C₂	semidirect
6. #1512	C₂	semidirect
7. #1504	C₂	semidirect
8. #533	C₄	semidirect
9. #533	C₄	semidirect
11. #532	C₄	semidirect
12. #532	C₄	semidirect
18. #529	C₄	semidirect
25. C₄×#41	C₄	semidirect
51. C₄⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
52. C₄⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
53. C₄⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
54. #127	C₂×C₄	semidirect
59. #125	C₂×C₄	semidirect
62. #124	C₂×C₄	semidirect
83. C₄×Q₈	C₂×C₄	semidirect
84. C₄×Q₈	C₂×C₄	semidirect
95. C₄×D₄	C₂×C₄	semidirect
96. C₄×D₄	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3444	2
#2920	2
C₂×#382	2
#1518	2
#1517	2
#1512	2
#1504	2