Subgroups — #17647

Order 256.

658 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 280 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#532	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2920	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×C₄×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#1530	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#1527	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#1525	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂²×#41	C₄	1	2	yes	—
8	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
9	#532	—	2	1	no	—
10	#532	—	2	1	no	—
11	#532	—	2	1	no	—
12	#532	—	2	1	no	—
13	#532	C₄	1	2	yes	—
14	#532	C₄	1	2	yes	—
15	#532	C₂²	1	2	yes	—
16	#532	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄⋊Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#127	C₄	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#121	—	2	1	no	—
21	C₂×#121	—	2	1	no	—
22	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
23	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
24	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#432	C₂²	1	2	yes	—
26	#432	C₂²	1	2	yes	complemented
27	#431	—	2	1	no	—
28	#431	—	2	1	no	—
29	#423	—	2	1	no	—
30	#407	—	2	1	no	—
31	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
32	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
33	C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
34	C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
35	C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
36	C₂×#97	C₂²	1	2	yes	complemented
37	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
38	#329	C₂²	1	16	yes	complemented
39	C₂×#41	—	2	2	no	—
40	C₂×#41	—	2	2	no	—
41	C₂×#41	—	4	8	no	—
42	C₂×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
46	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
47	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
48	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
50	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
54	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
55	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
56	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
57	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
58	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
59	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
60	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	#127	—	2	1	no	—
63	#127	—	2	1	no	—
64	#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	#124	—	2	2	no	—
67	#124	—	2	2	no	—
68	#124	C₂×C₄	1	4	yes	—
69	#124	C₂³	1	4	yes	—
70	#121	—	2	2	no	—
71	#121	—	2	2	no	—
72	#121	—	2	2	no	—
73	#121	—	2	2	no	—
74	#121	—	2	2	no	—
75	#121	—	2	2	no	—
76	#121	—	2	2	no	—
77	#121	—	2	2	no	—
78	C₄×D₄	—	2	2	no	—
79	C₄×D₄	—	2	2	no	—
80	C₄×D₄	—	2	2	no	—
81	C₄×D₄	—	2	2	no	—
82	C₄×D₄	—	2	2	no	—
83	C₄×D₄	—	2	2	no	—
84	C₄×D₄	—	2	2	no	—
85	C₄×D₄	—	2	2	no	—
86	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
87	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
88	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
89	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
90	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
103	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
104	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
105	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
106	#97	—	2	2	no	—
107	#97	C₂³	1	4	yes	—
108	#97	C₂³	1	4	yes	—
109	C₄×C₈	—	2	2	no	—
110	C₄×C₈	—	2	2	no	—
111	C₄×C₈	—	2	2	no	—
112	C₂⁴	—	2	2	no	—
113	C₂⁴	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
114	#41	—	4	8	no	—
115	#41	—	4	8	no	—
116	#41	—	4	8	no	—
117	#41	—	4	8	no	—
118	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
119	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
120	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
121	C₂×D₄	—	2	4	no	—
122	C₂×D₄	—	2	4	no	—
123	C₂×D₄	—	2	2	no	—
124	C₂×D₄	—	2	2	no	—
125	C₂×D₄	—	2	2	no	—
126	C₂×D₄	—	2	2	no	—
127	C₂×D₄	—	2	2	no	—
128	C₂×D₄	—	4	4	no	—
129	C₂×D₄	—	4	4	no	—
130	C₂×D₄	—	4	8	no	—
131	C₂×D₄	—	4	4	no	—
132	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
133	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
134	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
135	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
137	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
138	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
139	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
140	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
158	M₁₆	—	2	8	no	—
159	M₁₆	—	2	8	no	—
160	M₁₆	—	4	4	no	—
161	C₂×C₈	—	2	8	no	—
162	C₂×C₈	—	2	4	no	—
163	C₂×C₈	—	2	4	no	—
164	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
170	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
171	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
172	C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
173	C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
174	C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
175	C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
176	C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
177	C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
178	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
179	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
180	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
181	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
184	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
185	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
186	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
188	C₂³	—	2	2	no	—
189	C₂³	—	2	2	no	—
190	C₂³	—	2	4	no	—
191	C₂³	—	4	1	no	—
192	C₂³	—	4	4	no	—
193	C₂³	—	4	4	no	—
194	C₂³	—	4	4	no	—
195	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
198	Q₈	—	4	4	no	—
199	Q₈	—	4	4	no	—
200	D₄	—	4	4	no	—
201	D₄	—	4	4	no	—
202	D₄	—	4	8	no	—
203	D₄	—	4	8	no	—
204	D₄	—	4	4	no	—
205	D₄	—	4	4	no	—
206	D₄	—	4	4	no	—
207	D₄	—	4	4	no	—
208	C₂×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂×C₄	—	4	1	no	—
223	C₂×C₄	—	4	1	no	—
224	C₂×C₄	—	4	1	no	—
225	C₂×C₄	—	4	8	no	—
226	C₂×C₄	—	4	4	no	—
227	C₂×C₄	—	4	8	no	—
228	C₂×C₄	#100	1	4	yes	—
229	C₂×C₄	#104	1	4	yes	—
230	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₈	—	2	8	no	—
243	C₈	—	4	4	no	—
244	C₂²	—	2	1	no	—
245	C₂²	—	2	1	no	—
246	C₂²	—	2	1	no	—
247	C₂²	—	2	1	no	—
248	C₂²	—	2	1	no	—
249	C₂²	—	2	1	no	—
250	C₂²	—	2	1	no	—
251	C₂²	—	4	4	no	—
252	C₂²	—	4	4	no	—
253	C₂²	—	4	4	no	—
254	C₂²	—	4	4	no	—
255	C₂²	—	8	8	no	—
256	C₂²	C₂×#100	1	2	yes	—
257	C₂²	C₂×#104	1	2	yes	—
258	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
259	C₄	—	2	1	no	—
260	C₄	—	2	1	no	—
261	C₄	—	2	1	no	—
262	C₄	—	2	1	no	—
263	C₄	—	2	1	no	—
264	C₄	—	2	1	no	—
265	C₄	—	2	1	no	—
266	C₄	—	4	4	no	—
267	C₄	C₂×#100	1	2	yes	—
268	C₄	C₂×#100	1	2	yes	—
269	C₄	C₂×#104	1	2	yes	—
270	C₄	C₂×#104	1	2	yes	—
271	C₄	#421	1	2	yes	—
272	C₂	—	2	2	no	—
273	C₂	—	2	2	no	—
274	C₂	—	4	1	no	—
275	C₂	—	8	4	no	—
276	C₂	C₂²×#100	1	1	yes	characteristic
277	C₂	C₂²×#104	1	1	yes	characteristic
278	C₂	C₂×#421	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂×#532	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2920	C₂	semidirect
3. C₂×C₄×M₁₆	C₂	semidirect
4. #1530	C₂	semidirect
5. #1527	C₂	semidirect
6. #1525	C₂	semidirect
26. #432	C₂²	semidirect
34. C₄×M₁₆	C₂²	semidirect
35. C₄×M₁₆	C₂²	semidirect
36. C₂×#97	C₂²	semidirect
38. #329	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#532	2
#2920	2
C₂×C₄×M₁₆	2
#1530	2
#1527	2
#1525	2