Subgroups — #17652

Order 256.

514 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 308 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3514	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2970	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2875	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#1532	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1530	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1529	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1527	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1525	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1524	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1524	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₂×#329	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂×#131	—	2	1	no	—
13	#559	C₄	1	1	yes	characteristic
14	#556	C₄	1	1	yes	characteristic
15	#555	—	2	1	no	—
16	#551	—	2	2	no	—
17	D₄×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
18	#548	C₄	1	2	yes	—
19	#546	—	2	1	no	—
20	#546	C₄	1	2	yes	—
21	D₄²	C₄	1	1	yes	characteristic
22	#542	—	2	1	no	—
23	#538	—	2	2	no	—
24	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#529	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#529	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
28	#518	—	2	1	no	—
29	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#446	—	2	1	no	—
31	#435	—	2	2	no	—
32	C₈×D₄	—	2	1	no	—
33	#432	C₂²	1	2	yes	complemented
34	#432	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
35	#405	—	2	2	no	—
36	#405	—	2	1	no	—
37	C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
38	C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
39	C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
40	C₂×#97	C₂²	1	2	yes	complemented
41	C₂×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
42	C₂×#97	C₂²	1	2	yes	complemented
43	#330	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
44	#330	C₂²	1	2	yes	complemented
45	#330	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
46	#329	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#329	C₂²	1	2	yes	—
48	#329	C₂²	1	1	yes	characteristic
49	#329	C₂²	1	2	yes	complemented
50	#329	C₂²	1	2	yes	complemented
51	#329	C₂²	1	2	yes	complemented
52	#329	C₂²	1	2	yes	complemented
53	C₂×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
57	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	#131	—	2	8	no	—
59	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
60	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
61	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
62	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
63	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
64	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
65	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
66	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	#126	—	2	2	no	—
69	#126	—	2	2	no	—
70	#126	—	2	1	no	—
71	#125	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	#124	—	2	1	no	—
73	#124	—	2	2	no	—
74	#124	—	2	2	no	—
75	#124	—	2	2	no	—
76	#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	#124	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	#124	C₂³	1	2	yes	—
80	#123	—	2	1	no	—
81	#123	—	2	2	no	—
82	#123	—	2	2	no	—
83	#123	—	2	2	no	—
84	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
85	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
86	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
87	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
89	#121	—	2	2	no	—
90	#121	—	2	1	no	—
91	#121	—	2	1	no	—
92	#121	—	2	1	no	—
93	#121	—	2	2	no	—
94	#121	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	#121	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
96	#120	—	2	2	no	—
97	#120	—	2	2	no	—
98	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
99	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
100	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
101	C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₄×D₄	—	2	1	no	—
103	C₄×D₄	—	2	2	no	—
104	C₄×D₄	—	2	1	no	—
105	C₄×D₄	—	2	1	no	—
106	C₄×D₄	—	2	2	no	—
107	C₄×D₄	—	2	1	no	—
108	C₄×D₄	—	2	1	no	—
109	C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
111	C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
113	C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
115	#117	—	2	1	no	—
116	#117	—	2	1	no	—
117	#117	—	2	2	no	—
118	#117	D₄	1	2	yes	—
119	#117	D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
124	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
125	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
126	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
127	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
128	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
129	#97	—	2	2	no	—
130	#97	—	2	1	no	—
131	#97	—	2	2	no	—
132	#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
133	#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
134	#97	C₂³	1	2	yes	—
135	#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
136	#97	C₂³	1	2	yes	—
137	#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
138	C₄×C₈	—	2	2	no	—
139	C₄×C₈	—	2	1	no	—
140	C₄×C₈	—	2	1	no	—
141	C₂⁴	—	2	2	no	—
142	#41	—	2	4	no	—
143	#41	—	8	2	no	—
144	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
145	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
146	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
149	C₂×D₄	—	2	2	no	—
150	C₂×D₄	—	2	1	no	—
151	C₂×D₄	—	2	2	no	—
152	C₂×D₄	—	2	1	no	—
153	C₂×D₄	—	2	1	no	—
154	C₂×D₄	—	2	2	no	—
155	C₂×D₄	—	4	4	no	—
156	C₂×D₄	—	8	2	no	—
157	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
158	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
161	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
166	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
171	M₁₆	—	2	8	no	—
172	M₁₆	—	2	4	no	—
173	M₁₆	—	4	2	no	—
174	C₂×C₈	—	2	8	no	—
175	C₂×C₈	—	2	4	no	—
176	C₂×C₈	—	2	1	no	—
177	C₂×C₈	—	2	2	no	—
178	C₂×C₈	—	2	1	no	—
179	C₂×C₈	—	2	1	no	—
180	C₂×C₈	—	2	1	no	—
181	C₂×C₈	—	2	2	no	—
182	C₂×C₈	—	4	4	no	—
183	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
184	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
185	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
187	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
188	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
189	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
190	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
191	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
192	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
193	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
194	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
195	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
196	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
199	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
201	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
206	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
208	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
209	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
212	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
213	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
214	C₄²	—	2	2	no	—
215	C₄²	—	2	1	no	—
216	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
217	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
218	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
219	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
220	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
221	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
222	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
223	C₂³	—	2	1	no	—
224	C₂³	—	2	2	no	—
225	C₂³	—	4	4	no	—
226	C₂³	—	8	2	no	—
227	C₂³	—	8	2	no	—
228	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
230	Q₈	—	2	2	no	—
231	Q₈	—	4	1	no	—
232	Q₈	—	4	2	no	—
233	Q₈	—	8	2	no	—
234	D₄	—	2	4	no	—
235	D₄	—	4	1	no	—
236	D₄	—	4	2	no	—
237	D₄	—	4	4	no	—
238	D₄	—	4	2	no	—
239	D₄	—	8	1	no	—
240	D₄	—	8	2	no	—
241	D₄	—	8	1	no	—
242	D₄	—	8	2	no	—
243	D₄	#104	1	4	yes	—
244	C₂×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂×C₄	—	2	1	no	—
247	C₂×C₄	—	2	1	no	—
248	C₂×C₄	—	2	1	no	—
249	C₂×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂×C₄	—	4	2	no	—
251	C₂×C₄	—	4	1	no	—
252	C₂×C₄	—	4	2	no	—
253	C₂×C₄	—	4	1	no	—
254	C₂×C₄	—	4	2	no	—
255	C₂×C₄	—	8	2	no	—
256	C₂×C₄	—	8	2	no	—
257	C₂×C₄	—	8	2	no	—
258	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
259	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
260	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
263	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
266	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
267	C₈	—	2	2	no	—
268	C₈	—	2	4	no	—
269	C₈	—	2	2	no	—
270	C₈	—	2	2	no	—
271	C₈	—	4	2	no	—
272	C₈	—	4	1	no	—
273	C₂²	—	2	2	no	—
274	C₂²	—	2	2	no	—
275	C₂²	—	2	1	no	—
276	C₂²	—	2	1	no	—
277	C₂²	—	2	1	no	—
278	C₂²	—	4	2	no	—
279	C₂²	—	4	1	no	—
280	C₂²	—	4	1	no	—
281	C₂²	—	4	2	no	—
282	C₂²	—	4	2	no	—
283	C₂²	—	4	1	no	—
284	C₂²	—	16	4	no	—
285	C₂²	C₂×#104	1	4	yes	—
286	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
287	C₄	—	2	1	no	—
288	C₄	—	2	1	no	—
289	C₄	—	2	2	no	—
290	C₄	—	2	1	no	—
291	C₄	—	2	2	no	—
292	C₄	—	2	1	no	—
293	C₄	—	2	2	no	—
294	C₄	—	2	1	no	—
295	C₄	—	4	2	no	—
296	C₄	—	4	1	no	—
297	C₄	—	4	1	no	—
298	C₄	—	4	1	no	—
299	C₄	C₂×#104	1	2	yes	—
300	C₂	—	2	4	no	—
301	C₂	—	4	1	no	—
302	C₂	—	8	2	no	—
303	C₂	—	8	1	no	—
304	C₂	#2888	1	1	yes	characteristic
305	C₂	C₂²×#104	1	1	yes	characteristic
306	C₂	#2901	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₄²	C₂⁴
prime radical	#3514	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2970	C₂	semidirect
3. #2875	C₂	semidirect
4. #1532	C₂	semidirect
5. #1530	C₂	semidirect
6. #1529	C₂	semidirect
7. #1527	C₂	semidirect
8. #1525	C₂	semidirect
9. #1524	C₂	semidirect
10. #1524	C₂	semidirect
11. C₂×#329	C₂	semidirect
33. #432	C₂²	semidirect
34. #432	C₂²	semidirect
37. C₄×M₁₆	C₂²	semidirect
38. C₄×M₁₆	C₂²	semidirect
39. C₄×M₁₆	C₂²	semidirect
40. C₂×#97	C₂²	semidirect
41. C₂×#97	C₂²	semidirect
42. C₂×#97	C₂²	semidirect
43. #330	C₂²	semidirect
44. #330	C₂²	semidirect
45. #330	C₂²	semidirect
49. #329	C₂²	semidirect
50. #329	C₂²	semidirect
51. #329	C₂²	semidirect
52. #329	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3514	2
#2970	2
#2875	2
#1532	2
#1530	2
#1529	2
#1527	2
#1525	2
#1524	2
C₂×#329	2