Subgroups — #17683

Order 256.

438 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 290 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3518	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2970	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2923	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#1537	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1535	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1532	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1531	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1531	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1529	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1526	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#1524	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	Q₈²	C₄	1	1	yes	characteristic
13	#556	—	2	1	no	—
14	#556	—	2	2	no	—
15	#556	C₄	1	1	yes	characteristic
16	#556	C₄	1	2	yes	—
17	#555	C₄	1	1	yes	characteristic
18	#555	C₄	1	2	yes	—
19	D₄×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
20	#548	—	2	1	no	—
21	#542	—	2	1	no	—
22	#542	—	2	2	no	—
23	#533	C₂²	1	2	yes	—
24	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#529	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#529	C₂²	1	2	yes	—
27	#519	—	2	1	no	—
28	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#446	—	2	1	no	—
30	#435	—	2	2	no	—
31	C₈×D₄	—	2	1	no	—
32	#433	—	2	2	no	—
33	#432	C₂²	1	2	yes	—
34	#432	C₂²	1	2	yes	—
35	#432	C₂²	1	2	yes	—
36	#432	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#424	—	2	1	no	—
38	#408	—	2	1	no	—
39	C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#97	C₂²	1	2	yes	—
43	#330	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#330	C₂²	1	2	yes	—
45	#330	C₂²	1	2	yes	—
46	#330	C₂²	1	2	yes	—
47	#330	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	#330	C₂²	1	2	yes	—
49	#330	C₂²	1	2	yes	—
50	#329	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	#329	C₂²	1	1	yes	characteristic
52	#329	C₂²	1	2	yes	—
53	C₂×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
55	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
56	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
57	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
58	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
59	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
60	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
61	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
65	#126	—	2	2	no	—
66	#126	—	2	2	no	—
67	#126	—	2	2	no	—
68	#126	—	2	1	no	—
69	#126	—	2	2	no	—
70	#125	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	#125	C₂³	1	2	yes	—
72	#124	—	2	1	no	—
73	#124	—	2	2	no	—
74	#124	—	2	2	no	—
75	#124	—	2	2	no	—
76	#124	—	2	2	no	—
77	#124	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	#123	—	2	2	no	—
79	#123	—	2	1	no	—
80	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
81	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
82	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
83	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
84	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
85	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
86	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	#121	—	2	1	no	—
89	#121	—	2	2	no	—
90	#121	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
91	#121	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
93	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
94	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
95	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
96	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
97	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
98	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
99	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
100	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
101	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
102	C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₄×D₄	—	2	1	no	—
104	C₄×D₄	—	2	2	no	—
105	C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
106	C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
107	C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
108	C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
109	C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
110	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
111	#117	—	2	2	no	—
112	#117	—	2	1	no	—
113	#117	—	2	1	no	—
114	#117	—	2	2	no	—
115	#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
116	#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
117	#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
118	#117	D₄	1	1	yes	characteristic
119	#117	D₄	1	2	yes	—
120	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
122	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
123	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
124	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
125	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
126	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
127	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
128	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
129	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
130	#97	—	2	1	no	—
131	#97	—	2	2	no	—
132	#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
133	#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
134	#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
135	#97	C₂³	1	2	yes	—
136	#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
137	#97	C₂³	1	2	yes	—
138	C₄×C₈	—	2	1	no	—
139	C₄×C₈	—	2	1	no	—
140	#41	—	4	2	no	—
141	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
142	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
143	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
144	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
145	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
146	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂×D₄	—	2	1	no	—
149	C₂×D₄	—	2	2	no	—
150	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
152	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
155	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
157	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
161	M₁₆	—	4	2	no	—
162	M₁₆	—	4	2	no	—
163	C₂×C₈	—	2	1	no	—
164	C₂×C₈	—	2	2	no	—
165	C₂×C₈	—	2	1	no	—
166	C₂×C₈	—	2	1	no	—
167	C₂×C₈	—	2	1	no	—
168	C₂×C₈	—	2	2	no	—
169	C₂×C₈	—	4	4	no	—
170	C₂×C₈	—	4	2	no	—
171	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
173	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
174	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
176	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
178	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
180	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
182	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
184	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
185	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
186	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
187	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
188	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
189	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
190	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
191	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
195	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
197	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
199	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
201	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
202	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
203	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
204	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
205	C₄²	—	2	2	no	—
206	C₄²	—	2	2	no	—
207	C₄²	—	2	2	no	—
208	C₄²	—	2	2	no	—
209	C₄²	—	2	1	no	—
210	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
211	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
212	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
213	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
214	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
215	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
216	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
217	C₂³	—	2	1	no	—
218	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
220	Q₈	—	2	2	no	—
221	Q₈	—	4	1	no	—
222	Q₈	—	4	4	no	—
223	Q₈	—	4	2	no	—
224	Q₈	—	8	2	no	—
225	Q₈	—	8	1	no	—
226	D₄	—	2	2	no	—
227	D₄	—	4	2	no	—
228	D₄	—	4	1	no	—
229	D₄	—	8	2	no	—
230	D₄	—	8	1	no	—
231	C₂×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂×C₄	—	2	1	no	—
233	C₂×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂×C₄	—	2	1	no	—
235	C₂×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂×C₄	—	2	1	no	—
237	C₂×C₄	—	4	2	no	—
238	C₂×C₄	—	4	1	no	—
239	C₂×C₄	—	4	1	no	—
240	C₂×C₄	—	4	2	no	—
241	C₂×C₄	—	4	2	no	—
242	C₂×C₄	—	4	4	no	—
243	C₂×C₄	—	4	2	no	—
244	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
246	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
247	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
249	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
253	C₈	—	2	2	no	—
254	C₈	—	4	1	no	—
255	C₈	—	4	1	no	—
256	C₈	—	4	2	no	—
257	C₈	—	4	2	no	—
258	C₈	—	4	1	no	—
259	C₂²	—	2	1	no	—
260	C₂²	—	2	2	no	—
261	C₂²	—	2	1	no	—
262	C₂²	—	2	2	no	—
263	C₂²	—	2	2	no	—
264	C₂²	—	2	1	no	—
265	C₂²	—	4	1	no	—
266	C₂²	—	4	1	no	—
267	C₂²	—	4	1	no	—
268	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
269	C₄	—	2	1	no	—
270	C₄	—	2	1	no	—
271	C₄	—	2	2	no	—
272	C₄	—	2	1	no	—
273	C₄	—	2	2	no	—
274	C₄	—	2	1	no	—
275	C₄	—	2	2	no	—
276	C₄	—	2	1	no	—
277	C₄	—	4	1	no	—
278	C₄	—	4	2	no	—
279	C₄	—	4	1	no	—
280	C₄	—	4	2	no	—
281	C₄	—	4	1	no	—
282	C₄	#421	1	2	yes	—
283	C₂	—	4	1	no	—
284	C₂	—	4	2	no	—
285	C₂	—	8	1	no	—
286	C₂	#2889	1	1	yes	characteristic
287	C₂	C₂×#421	1	1	yes	characteristic
288	C₂	#2901	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₄²	C₂⁴
prime radical	#3518	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2970	C₂	semidirect
3. #2923	C₂	semidirect
4. #1537	C₂	semidirect
5. #1535	C₂	semidirect
6. #1532	C₂	semidirect
7. #1531	C₂	semidirect
8. #1531	C₂	semidirect
9. #1529	C₂	semidirect
10. #1526	C₂	semidirect
11. #1524	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3518	2
#2970	2
#2923	2
#1537	2
#1535	2
#1532	2
#1531	2
#1529	2
#1526	2
#1524	2