Finite Group Databasebeta

Subgroups — #17720

Order 256.

654 conjugacy classes of subgroups; only the 225 normal subgroups are shown.

normal subgroups only

This group has 654 conjugacy classes of subgroups — too many to draw. Only its 225 normal subgroups are shown.

Dotted edges: containments with no intermediate normal subgroup — omitted non-normal subgroups may lie between.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3498	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2988	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2906	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#1547	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
5	#1545	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
6	#1540	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	C₂×#331	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	1	no	—
9	C₂×#131	—	2	1	no	—
10	#550	—	2	1	no	—
11	#550	C₄	1	2	yes	—
12	D₄²	—	2	3	no	—
13	D₄²	C₄	1	6	yes	—
14	#535	—	2	3	no	—
15	#532	C₂²	1	3	yes	—
16	C₂×#127	C₂²	1	3	yes	—
17	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₈×Q₈	—	2	1	no	—
19	C₈×D₄	—	2	3	no	—
20	#431	C₂²	1	3	yes	complemented
21	#424	—	2	3	no	—
22	#423	C₂²	1	3	yes	complemented
23	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	3	yes	complemented
24	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	3	yes	complemented
25	#332	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
26	#332	C₂²	1	3	yes	complemented
27	#331	C₂²	1	3	yes	complemented
28	#331	C₂²	1	6	yes	complemented
29	#331	C₂²	1	3	yes	complemented
30	H(5,𝔽₂)	—	4	4	no	—
31	H(5,𝔽₂)	—	4	4	no	—
32	C₂×#41	—	2	2	no	—
33	C₂×#41	—	2	3	no	—
34	C₂×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
36	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
37	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
38	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
39	#131	—	4	4	no	—
40	C₂×M₁₆	—	2	3	no	—
41	C₂²×C₈	—	2	3	no	—
42	C₂²×C₈	—	2	3	no	—
43	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	#127	—	2	3	no	—
45	#127	—	2	3	no	—
46	#127	C₂×C₄	1	6	yes	—
47	#127	C₂³	1	3	yes	—
48	#124	—	2	3	no	—
49	#121	—	2	3	no	—
50	#121	—	2	6	no	—
51	#121	—	2	6	no	—
52	#121	C₂×C₄	1	6	yes	—
53	#120	—	2	12	no	—
54	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
56	C₄×D₄	—	2	3	no	—
57	C₄×D₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
58	C₄×D₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
59	C₄×D₄	D₄	1	3	yes	—
60	#117	D₄	1	3	yes	—
61	C₂×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
62	C₄⋊C₈	—	2	3	no	—
63	C₄⋊C₈	—	2	3	no	—
64	C₄⋊C₈	—	2	3	no	—
65	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
67	C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
68	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂²⋊C₈	—	2	3	no	—
70	C₄×C₈	—	2	3	no	—
71	C₂⁴	—	2	6	no	—
72	#41	—	4	8	no	—
73	#41	—	4	6	no	—
74	#41	—	4	6	no	—
75	#41	D₈	1	4	yes	—
76	#41	SD₁₆	1	4	yes	—
77	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
78	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂×D₄	—	2	6	no	—
80	C₂×D₄	—	2	6	no	—
81	C₂×D₄	—	2	6	no	—
82	C₂×D₄	—	2	6	no	—
83	C₂×D₄	—	2	3	no	—
84	C₂×D₄	—	2	3	no	—
85	C₂×D₄	—	4	24	no	—
86	C₂×D₄	—	4	6	no	—
87	C₂×D₄	—	4	6	no	—
88	C₂×D₄	—	8	3	no	—
89	C₂×D₄	—	8	3	no	—
90	C₂×D₄	—	8	6	no	—
91	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
92	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
93	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
94	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
95	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
96	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
97	M₁₆	—	4	6	no	—
98	C₂×C₈	—	2	1	no	—
99	C₂×C₈	—	2	3	no	—
100	C₂×C₈	—	2	1	no	—
101	C₂×C₈	—	2	3	no	—
102	C₂×C₈	—	4	6	no	—
103	C₂×C₈	—	8	3	no	—
104	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
105	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
106	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
107	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
109	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
110	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
111	C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
112	C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
113	C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
114	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
115	C₂³	—	2	6	no	—
116	C₂³	—	4	12	no	—
117	C₂³	—	8	6	no	—
118	C₂³	—	8	6	no	—
119	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
120	Q₈	—	4	1	no	—
121	Q₈	—	4	1	no	—
122	Q₈	#102	1	4	yes	—
123	D₄	—	4	6	no	—
124	D₄	—	4	12	no	—
125	D₄	—	4	3	no	—
126	D₄	—	4	3	no	—
127	D₄	—	4	3	no	—
128	D₄	—	4	3	no	—
129	D₄	—	4	12	no	—
130	D₄	—	8	6	no	—
131	D₄	—	8	6	no	—
132	D₄	#102	1	12	yes	—
133	C₂×C₄	—	2	3	no	—
134	C₂×C₄	—	2	3	no	—
135	C₂×C₄	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄	—	4	3	no	—
137	C₂×C₄	—	4	12	no	—
138	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
139	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
140	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
141	C₂×C₄	C₂×D₈	1	6	yes	—
142	C₂×C₄	C₂×SD₁₆	1	6	yes	—
143	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₈	—	4	1	no	—
147	C₈	—	4	3	no	—
148	C₈	—	4	3	no	—
149	C₈	—	4	1	no	—
150	C₂²	—	2	3	no	—
151	C₂²	—	2	3	no	—
152	C₂²	—	4	6	no	—
153	C₂²	—	4	6	no	—
154	C₂²	—	4	6	no	—
155	C₂²	—	16	12	no	—
156	C₂²	C₂×#102	1	6	yes	—
157	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
158	C₄	—	2	1	no	—
159	C₄	—	2	3	no	—
160	C₄	—	2	3	no	—
161	C₄	—	4	2	no	—
162	C₄	C₂×#102	1	6	yes	—
163	C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
164	C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
165	C₄	#576	1	1	yes	characteristic
166	C₄	#577	1	1	yes	characteristic
167	C₂	—	2	6	no	—
168	C₂	—	8	6	no	—
169	C₂	#2888	1	1	yes	characteristic
170	C₂	C₂²×#102	1	1	yes	characteristic
171	C₂	#2897	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₄²	C₂⁴
prime radical	#3498	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2988	C₂	semidirect
3. #2906	C₂	semidirect
4. #1547	C₂	semidirect
5. #1545	C₂	semidirect
6. #1540	C₂	semidirect
7. C₂×#331	C₂	semidirect
20. #431	C₂²	semidirect
22. #423	C₂²	semidirect
23. C₂×C₄⋊C₈	C₂²	semidirect
24. C₂×C₄⋊C₈	C₂²	semidirect
25. #332	C₂²	semidirect
26. #332	C₂²	semidirect
27. #331	C₂²	semidirect
28. #331	C₂²	semidirect
29. #331	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3498	2
#2988	2
#2906	2
#1547	2
#1545	2
#1540	2
C₂×#331	2