Subgroups — #17758

Order 256.

620 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 295 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3498	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2989	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2925	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#1557	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1555	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1553	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1547	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#1545	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1545	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#1540	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×#331	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	1	no	—
13	#550	—	2	1	no	—
14	#550	C₄	1	2	yes	—
15	D₄²	—	2	2	no	—
16	D₄²	—	2	1	no	—
17	D₄²	C₄	1	2	yes	—
18	D₄²	C₄	1	4	yes	—
19	#535	—	2	1	no	—
20	#535	—	2	2	no	—
21	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#532	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#127	C₂²	1	2	yes	—
25	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#446	—	2	1	no	—
27	#436	—	2	1	no	—
28	#435	—	2	2	no	—
29	#433	—	2	2	no	—
30	#432	C₂²	1	2	yes	complemented
31	#432	C₂²	1	2	yes	complemented
32	#431	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
33	#431	C₂²	1	2	yes	complemented
34	#423	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
35	#423	C₂²	1	2	yes	complemented
36	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
37	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
38	#408	—	2	1	no	—
39	#405	—	2	1	no	—
40	#332	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
41	#332	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
42	#332	C₂²	1	2	yes	complemented
43	#331	C₂²	1	2	yes	complemented
44	#331	C₂²	1	2	yes	complemented
45	#331	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
46	#331	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
47	#331	C₂²	1	2	yes	complemented
48	#331	C₂²	1	2	yes	complemented
49	#331	C₂²	1	2	yes	complemented
50	H(5,𝔽₂)	—	4	4	no	—
51	H(5,𝔽₂)	—	4	4	no	—
52	C₂×#41	—	2	2	no	—
53	C₂×#41	—	2	2	no	—
54	C₂×#41	—	2	1	no	—
55	C₂×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
57	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
58	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
59	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
60	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
61	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
62	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
65	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
66	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
67	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
68	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	#127	—	2	2	no	—
70	#127	—	2	1	no	—
71	#127	—	2	1	no	—
72	#127	—	2	2	no	—
73	#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	#127	C₂×C₄	1	4	yes	—
75	#127	C₂³	1	2	yes	—
76	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	#124	—	2	2	no	—
78	#124	—	2	1	no	—
79	#121	—	2	1	no	—
80	#121	—	2	2	no	—
81	#121	—	2	4	no	—
82	#121	—	2	2	no	—
83	#121	—	2	4	no	—
84	#121	—	2	2	no	—
85	#121	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	#121	C₂×C₄	1	4	yes	—
87	#120	—	2	4	no	—
88	#120	—	2	4	no	—
89	#120	—	2	4	no	—
90	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₄×D₄	—	2	1	no	—
93	C₄×D₄	—	2	2	no	—
94	C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
96	C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
97	C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
98	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
99	C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
100	#117	D₄	1	1	yes	characteristic
101	#117	D₄	1	2	yes	—
102	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
104	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
105	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
106	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
107	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
108	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
109	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
113	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
114	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
115	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
116	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
117	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
118	#97	—	2	2	no	—
119	#97	—	2	2	no	—
120	C₄×C₈	—	2	2	no	—
121	C₄×C₈	—	2	1	no	—
122	C₂⁴	—	2	4	no	—
123	C₂⁴	—	2	2	no	—
124	#41	—	2	2	no	—
125	#41	—	2	2	no	—
126	#41	—	4	4	no	—
127	#41	—	4	4	no	—
128	#41	—	4	8	no	—
129	#41	—	4	2	no	—
130	#41	—	4	2	no	—
131	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
132	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂×D₄	—	2	4	no	—
134	C₂×D₄	—	2	2	no	—
135	C₂×D₄	—	2	4	no	—
136	C₂×D₄	—	2	2	no	—
137	C₂×D₄	—	2	4	no	—
138	C₂×D₄	—	2	2	no	—
139	C₂×D₄	—	2	4	no	—
140	C₂×D₄	—	2	2	no	—
141	C₂×D₄	—	2	1	no	—
142	C₂×D₄	—	2	2	no	—
143	C₂×D₄	—	2	1	no	—
144	C₂×D₄	—	2	2	no	—
145	C₂×D₄	—	4	4	no	—
146	C₂×D₄	—	4	4	no	—
147	C₂×D₄	—	4	16	no	—
148	C₂×D₄	—	4	8	no	—
149	C₂×D₄	—	4	2	no	—
150	C₂×D₄	—	4	2	no	—
151	C₂×D₄	—	8	1	no	—
152	C₂×D₄	—	8	2	no	—
153	C₂×D₄	—	8	1	no	—
154	C₂×D₄	—	8	2	no	—
155	C₂×D₄	—	8	2	no	—
156	C₂×D₄	—	8	4	no	—
157	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
158	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
160	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
161	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
164	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
169	M₁₆	—	4	2	no	—
170	M₁₆	—	8	2	no	—
171	C₂×C₈	—	2	1	no	—
172	C₂×C₈	—	2	1	no	—
173	C₂×C₈	—	2	2	no	—
174	C₂×C₈	—	2	1	no	—
175	C₂×C₈	—	2	1	no	—
176	C₂×C₈	—	2	2	no	—
177	C₂×C₈	—	4	2	no	—
178	C₂×C₈	—	8	1	no	—
179	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
180	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
181	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
182	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
183	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
184	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
185	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
186	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
187	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
188	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
190	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
191	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
192	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
193	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
194	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
195	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
196	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
197	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
198	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
199	C₂³	—	2	4	no	—
200	C₂³	—	2	2	no	—
201	C₂³	—	4	8	no	—
202	C₂³	—	4	4	no	—
203	C₂³	—	8	2	no	—
204	C₂³	—	8	4	no	—
205	C₂³	—	8	2	no	—
206	C₂³	—	8	4	no	—
207	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
208	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
209	Q₈	—	2	2	no	—
210	Q₈	—	4	1	no	—
211	Q₈	—	4	1	no	—
212	D₄	—	2	4	no	—
213	D₄	—	2	2	no	—
214	D₄	—	4	4	no	—
215	D₄	—	4	2	no	—
216	D₄	—	4	8	no	—
217	D₄	—	4	8	no	—
218	D₄	—	4	4	no	—
219	D₄	—	4	1	no	—
220	D₄	—	4	1	no	—
221	D₄	—	4	2	no	—
222	D₄	—	4	2	no	—
223	D₄	—	4	2	no	—
224	D₄	—	4	1	no	—
225	D₄	—	4	2	no	—
226	D₄	—	4	1	no	—
227	D₄	—	4	4	no	—
228	D₄	—	8	2	no	—
229	D₄	—	8	4	no	—
230	D₄	—	8	2	no	—
231	D₄	—	8	4	no	—
232	C₂×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂×C₄	—	2	1	no	—
235	C₂×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂×C₄	—	2	1	no	—
237	C₂×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂×C₄	—	4	1	no	—
240	C₂×C₄	—	4	2	no	—
241	C₂×C₄	—	4	8	no	—
242	C₂×C₄	—	4	4	no	—
243	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
244	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
246	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
247	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
250	C₂×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
251	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
254	C₈	—	4	1	no	—
255	C₈	—	4	1	no	—
256	C₈	—	4	2	no	—
257	C₈	—	4	2	no	—
258	C₈	—	4	1	no	—
259	C₈	—	4	1	no	—
260	C₂²	—	2	1	no	—
261	C₂²	—	2	1	no	—
262	C₂²	—	2	2	no	—
263	C₂²	—	2	2	no	—
264	C₂²	—	2	2	no	—
265	C₂²	—	4	4	no	—
266	C₂²	—	4	2	no	—
267	C₂²	—	4	4	no	—
268	C₂²	—	4	2	no	—
269	C₂²	—	4	4	no	—
270	C₂²	—	4	2	no	—
271	C₂²	—	16	4	no	—
272	C₂²	—	16	8	no	—
273	C₂²	#418	1	2	yes	—
274	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
275	C₄	—	2	1	no	—
276	C₄	—	2	1	no	—
277	C₄	—	2	2	no	—
278	C₄	—	2	2	no	—
279	C₄	—	2	1	no	—
280	C₄	—	2	2	no	—
281	C₄	—	4	2	no	—
282	C₄	#418	1	2	yes	—
283	C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
284	C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
285	C₄	#576	1	1	yes	characteristic
286	C₄	#577	1	1	yes	characteristic
287	C₂	—	2	2	no	—
288	C₂	—	4	2	no	—
289	C₂	—	8	4	no	—
290	C₂	—	8	2	no	—
291	C₂	#2888	1	1	yes	characteristic
292	C₂	C₂×#418	1	1	yes	characteristic
293	C₂	#2897	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₄²	C₂⁴
prime radical	#3498	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2989	C₂	semidirect
3. #2925	C₂	semidirect
4. #1557	C₂	semidirect
5. #1555	C₂	semidirect
6. #1553	C₂	semidirect
7. #1547	C₂	semidirect
8. #1545	C₂	semidirect
9. #1545	C₂	semidirect
10. #1540	C₂	semidirect
11. C₂×#331	C₂	semidirect
30. #432	C₂²	semidirect
31. #432	C₂²	semidirect
32. #431	C₂²	semidirect
33. #431	C₂²	semidirect
34. #423	C₂²	semidirect
35. #423	C₂²	semidirect
36. C₂×C₄⋊C₈	C₂²	semidirect
37. C₂×C₄⋊C₈	C₂²	semidirect
40. #332	C₂²	semidirect
41. #332	C₂²	semidirect
42. #332	C₂²	semidirect
43. #331	C₂²	semidirect
44. #331	C₂²	semidirect
45. #331	C₂²	semidirect
46. #331	C₂²	semidirect
47. #331	C₂²	semidirect
48. #331	C₂²	semidirect
49. #331	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3498	2
#2989	2
#2925	2
#1557	2
#1555	2
#1553	2
#1547	2
#1545	2
#1540	2
C₂×#331	2