Subgroups — #17762

Order 256.

514 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 273 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3508	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2989	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2906	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#1560	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1557	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1551	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1550	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#1547	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#1545	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1542	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×#331	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#131	—	2	1	no	—
13	#559	—	2	1	no	—
14	#559	C₄	1	2	yes	—
15	#550	—	2	1	no	—
16	#550	C₄	1	2	yes	—
17	#546	—	2	2	no	—
18	#546	C₄	1	4	yes	—
19	#540	—	2	2	no	—
20	#535	—	2	1	no	—
21	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#532	C₂²	1	2	yes	—
23	#532	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#518	—	2	1	no	—
26	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#446	—	2	1	no	—
28	#436	—	2	1	no	—
29	#435	—	2	2	no	—
30	#432	C₂²	1	2	yes	complemented
31	#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#424	—	2	2	no	—
33	#424	—	2	1	no	—
34	#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#423	C₂²	1	2	yes	complemented
36	#423	C₂²	1	2	yes	complemented
37	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
40	#333	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
41	#333	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
42	#333	C₂²	1	2	yes	complemented
43	#332	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
44	#332	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
45	#332	C₂²	1	2	yes	complemented
46	#331	C₂²	1	2	yes	—
47	#331	C₂²	1	2	yes	—
48	#331	C₂²	1	2	yes	—
49	#331	C₂²	1	2	yes	—
50	C₂×#41	—	2	2	no	—
51	C₂×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
54	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
55	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	#131	—	4	4	no	—
57	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
58	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
59	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
60	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
61	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
62	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
63	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	#127	—	2	2	no	—
66	#127	—	2	1	no	—
67	#127	—	2	1	no	—
68	#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	#127	C₂³	1	2	yes	—
70	#125	—	2	1	no	—
71	#124	—	2	2	no	—
72	#124	—	2	2	no	—
73	#124	C₂×C₄	1	4	yes	—
74	#123	—	2	4	no	—
75	#123	—	2	4	no	—
76	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
77	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	#121	—	2	2	no	—
79	#121	—	2	2	no	—
80	#121	—	2	2	no	—
81	#121	—	2	4	no	—
82	#121	—	2	4	no	—
83	#121	C₂×C₄	1	4	yes	—
84	#120	—	2	4	no	—
85	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
86	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
88	C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
89	C₄×D₄	—	2	2	no	—
90	C₄×D₄	—	2	2	no	—
91	C₄×D₄	—	2	2	no	—
92	C₄×D₄	—	2	2	no	—
93	C₄×D₄	—	2	2	no	—
94	C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
95	C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
96	C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
97	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
98	C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
99	#117	—	2	1	no	—
100	#117	D₄	1	1	yes	characteristic
101	#117	D₄	1	2	yes	—
102	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
103	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
105	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
106	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
107	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
108	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
109	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
110	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
111	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
113	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
114	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
115	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
116	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
117	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
118	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
119	#97	—	2	2	no	—
120	C₄×C₈	—	2	1	no	—
121	C₂⁴	—	2	2	no	—
122	#41	—	2	2	no	—
123	#41	—	2	2	no	—
124	#41	—	8	2	no	—
125	#41	—	8	2	no	—
126	#41	—	8	4	no	—
127	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
128	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
130	C₂×D₄	—	2	4	no	—
131	C₂×D₄	—	2	4	no	—
132	C₂×D₄	—	2	2	no	—
133	C₂×D₄	—	2	2	no	—
134	C₂×D₄	—	2	2	no	—
135	C₂×D₄	—	2	2	no	—
136	C₂×D₄	—	2	2	no	—
137	C₂×D₄	—	4	2	no	—
138	C₂×D₄	—	4	2	no	—
139	C₂×D₄	—	8	1	no	—
140	C₂×D₄	—	8	1	no	—
141	C₂×D₄	—	8	2	no	—
142	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
143	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
145	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
147	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
153	M₁₆	—	4	4	no	—
154	M₁₆	—	4	2	no	—
155	M₁₆	—	8	2	no	—
156	C₂×C₈	—	2	1	no	—
157	C₂×C₈	—	2	1	no	—
158	C₂×C₈	—	2	2	no	—
159	C₂×C₈	—	2	1	no	—
160	C₂×C₈	—	2	1	no	—
161	C₂×C₈	—	2	2	no	—
162	C₂×C₈	—	4	4	no	—
163	C₂×C₈	—	4	2	no	—
164	C₂×C₈	—	8	1	no	—
165	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
168	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
169	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
170	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
171	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
172	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
173	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
174	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
175	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
177	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
178	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
179	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
180	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
181	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
182	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
183	C₄²	—	2	2	no	—
184	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
185	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
186	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
190	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
191	C₂³	—	2	4	no	—
192	C₂³	—	4	4	no	—
193	C₂³	—	8	2	no	—
194	C₂³	—	8	2	no	—
195	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
196	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
197	Q₈	—	2	2	no	—
198	Q₈	—	4	2	no	—
199	Q₈	—	4	1	no	—
200	Q₈	—	4	1	no	—
201	D₄	—	2	4	no	—
202	D₄	—	2	2	no	—
203	D₄	—	4	4	no	—
204	D₄	—	4	2	no	—
205	D₄	—	4	2	no	—
206	D₄	—	4	2	no	—
207	D₄	—	4	2	no	—
208	D₄	—	4	4	no	—
209	D₄	—	8	2	no	—
210	D₄	—	8	2	no	—
211	D₄	—	8	4	no	—
212	D₄	—	8	4	no	—
213	C₂×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂×C₄	—	2	1	no	—
216	C₂×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂×C₄	—	2	1	no	—
218	C₂×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂×C₄	—	4	1	no	—
222	C₂×C₄	—	4	2	no	—
223	C₂×C₄	—	8	4	no	—
224	C₂×C₄	—	8	4	no	—
225	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
226	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
227	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
229	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
232	C₂×C₄	#137	1	2	yes	—
233	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
236	C₈	—	4	1	no	—
237	C₈	—	4	2	no	—
238	C₈	—	4	1	no	—
239	C₈	—	4	2	no	—
240	C₈	—	4	1	no	—
241	C₈	—	4	1	no	—
242	C₂²	—	2	1	no	—
243	C₂²	—	2	1	no	—
244	C₂²	—	2	2	no	—
245	C₂²	—	2	2	no	—
246	C₂²	—	2	2	no	—
247	C₂²	—	4	4	no	—
248	C₂²	—	4	4	no	—
249	C₂²	—	4	4	no	—
250	C₂²	—	16	4	no	—
251	C₂²	#417	1	2	yes	—
252	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
253	C₄	—	2	1	no	—
254	C₄	—	2	2	no	—
255	C₄	—	2	1	no	—
256	C₄	—	2	2	no	—
257	C₄	—	2	2	no	—
258	C₄	—	2	1	no	—
259	C₄	—	4	2	no	—
260	C₄	—	4	2	no	—
261	C₄	#417	1	2	yes	—
262	C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
263	C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
264	C₄	#576	1	1	yes	characteristic
265	C₄	#577	1	1	yes	characteristic
266	C₂	—	2	2	no	—
267	C₂	—	4	2	no	—
268	C₂	—	8	4	no	—
269	C₂	#2888	1	1	yes	characteristic
270	C₂	C₂×#417	1	1	yes	characteristic
271	C₂	#2897	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₄²	C₂⁴
prime radical	#3508	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2989	C₂	semidirect
3. #2906	C₂	semidirect
4. #1560	C₂	semidirect
5. #1557	C₂	semidirect
6. #1551	C₂	semidirect
7. #1550	C₂	semidirect
8. #1547	C₂	semidirect
9. #1545	C₂	semidirect
10. #1542	C₂	semidirect
11. C₂×#331	C₂	semidirect
30. #432	C₂²	semidirect
35. #423	C₂²	semidirect
36. #423	C₂²	semidirect
39. C₂×C₄⋊C₈	C₂²	semidirect
40. #333	C₂²	semidirect
41. #333	C₂²	semidirect
42. #333	C₂²	semidirect
43. #332	C₂²	semidirect
44. #332	C₂²	semidirect
45. #332	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3508	2
#2989	2
#2906	2
#1560	2
#1557	2
#1551	2
#1550	2
#1547	2
#1545	2
#1542	2
C₂×#331	2