Subgroups — #17772

Order 256.

462 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 261 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3511	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2991	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2990	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#1560	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#1557	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1554	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1550	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1549	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1546	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1543	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#1540	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#556	—	2	1	no	—
13	#555	—	2	1	no	—
14	#554	—	2	1	no	—
15	#553	—	2	2	no	—
16	#548	—	2	2	no	—
17	#547	—	2	1	no	—
18	#542	C₄	1	4	yes	—
19	#537	C₄	1	2	yes	—
20	#533	C₂²	1	2	yes	—
21	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#532	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#520	C₄	1	2	yes	—
25	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#446	—	2	1	no	—
27	C₈×Q₈	—	2	1	no	—
28	#436	—	2	2	no	—
29	#436	—	2	1	no	—
30	#435	—	2	2	no	—
31	C₈×D₄	—	2	1	no	—
32	#432	C₂²	1	2	yes	—
33	#431	C₂²	1	2	yes	—
34	#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#423	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
40	#333	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#333	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#333	C₂²	1	2	yes	—
43	#332	C₂²	1	2	yes	—
44	#332	C₂²	1	2	yes	—
45	#332	C₂²	1	2	yes	—
46	#332	C₂²	1	2	yes	—
47	#331	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	#331	C₂²	1	2	yes	—
49	#331	C₂²	1	1	yes	characteristic
50	C₂×#41	—	2	2	no	—
51	C₂×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×#41	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
54	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
55	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
56	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
57	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
58	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
59	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
60	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
63	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	#126	—	2	4	no	—
65	#125	—	2	2	no	—
66	#124	—	2	4	no	—
67	#124	—	2	2	no	—
68	#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	#123	—	2	4	no	—
70	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
71	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
72	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
73	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
74	#121	—	2	2	no	—
75	#121	—	2	4	no	—
76	#121	—	2	1	no	—
77	#121	—	2	1	no	—
78	#121	—	2	2	no	—
79	#121	C₂×C₄	1	4	yes	—
80	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
81	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
82	C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
84	C₄×D₄	—	2	4	no	—
85	C₄×D₄	—	2	1	no	—
86	C₄×D₄	—	2	2	no	—
87	C₄×D₄	—	2	1	no	—
88	C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
89	C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
90	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
91	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
92	C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
93	#117	—	2	2	no	—
94	#117	—	2	2	no	—
95	#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
96	#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
97	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
98	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
99	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
100	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
102	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
103	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
104	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
105	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
106	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
108	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
109	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
113	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
114	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
115	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
116	#97	—	2	2	no	—
117	C₄×C₈	—	2	1	no	—
118	C₄×C₈	—	2	2	no	—
119	C₄×C₈	—	2	1	no	—
120	#41	—	4	2	no	—
121	#41	—	4	4	no	—
122	#41	—	8	2	no	—
123	#41	—	8	2	no	—
124	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
125	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
126	C₂×Q₈	—	8	1	no	—
127	C₂×Q₈	—	8	1	no	—
128	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
130	C₂×D₄	—	2	2	no	—
131	C₂×D₄	—	2	4	no	—
132	C₂×D₄	—	2	1	no	—
133	C₂×D₄	—	2	1	no	—
134	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
136	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
137	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
140	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
142	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
144	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
146	M₁₆	—	8	1	no	—
147	M₁₆	—	8	1	no	—
148	M₁₆	—	8	2	no	—
149	C₂×C₈	—	2	1	no	—
150	C₂×C₈	—	2	1	no	—
151	C₂×C₈	—	2	1	no	—
152	C₂×C₈	—	2	2	no	—
153	C₂×C₈	—	2	1	no	—
154	C₂×C₈	—	2	2	no	—
155	C₂×C₈	—	8	2	no	—
156	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
157	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
158	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
160	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
162	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
163	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
164	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
165	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
166	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
167	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
168	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
170	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
171	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
174	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
175	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
176	C₄²	—	2	4	no	—
177	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
178	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
179	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
181	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
184	C₂³	—	2	2	no	—
185	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
186	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
187	Q₈	—	2	2	no	—
188	Q₈	—	4	2	no	—
189	Q₈	—	4	2	no	—
190	Q₈	—	4	2	no	—
191	Q₈	—	8	2	no	—
192	D₄	—	2	2	no	—
193	D₄	—	4	2	no	—
194	D₄	—	4	2	no	—
195	D₄	—	4	4	no	—
196	D₄	—	4	1	no	—
197	D₄	—	4	1	no	—
198	D₄	—	4	1	no	—
199	D₄	—	4	1	no	—
200	D₄	—	8	4	no	—
201	C₂×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂×C₄	—	2	1	no	—
203	C₂×C₄	—	2	1	no	—
204	C₂×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂×C₄	—	2	1	no	—
206	C₂×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂×C₄	—	2	1	no	—
208	C₂×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂×C₄	—	4	2	no	—
213	C₂×C₄	—	4	4	no	—
214	C₂×C₄	—	8	4	no	—
215	C₂×C₄	—	8	2	no	—
216	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
217	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
220	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
221	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₈	—	4	1	no	—
226	C₈	—	4	2	no	—
227	C₈	—	4	1	no	—
228	C₈	—	4	2	no	—
229	C₈	—	4	1	no	—
230	C₈	—	4	1	no	—
231	C₂²	—	2	1	no	—
232	C₂²	—	2	2	no	—
233	C₂²	—	2	1	no	—
234	C₂²	—	2	2	no	—
235	C₂²	—	2	2	no	—
236	C₂²	—	2	1	no	—
237	C₂²	—	4	2	no	—
238	C₂²	—	4	2	no	—
239	C₂²	—	4	2	no	—
240	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
241	C₄	—	2	1	no	—
242	C₄	—	2	2	no	—
243	C₄	—	2	2	no	—
244	C₄	—	2	1	no	—
245	C₄	—	2	2	no	—
246	C₄	—	2	1	no	—
247	C₄	—	4	2	no	—
248	C₄	—	4	4	no	—
249	C₄	#413	1	2	yes	—
250	C₄	#576	1	1	yes	characteristic
251	C₄	#577	1	1	yes	characteristic
252	C₄	#577	1	1	yes	characteristic
253	C₄	#578	1	1	yes	characteristic
254	C₂	—	4	1	no	—
255	C₂	—	4	2	no	—
256	C₂	—	8	2	no	—
257	C₂	C₂×#413	1	1	yes	characteristic
258	C₂	#2897	1	1	yes	characteristic
259	C₂	#2898	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₄²	C₂⁴
prime radical	#3511	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2991	C₂	semidirect
3. #2990	C₂	semidirect
4. #1560	C₂	semidirect
5. #1557	C₂	semidirect
6. #1554	C₂	semidirect
7. #1550	C₂	semidirect
8. #1549	C₂	semidirect
9. #1546	C₂	semidirect
10. #1543	C₂	semidirect
11. #1540	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3511	2
#2991	2
#2990	2
#1560	2
#1557	2
#1554	2
#1550	2
#1549	2
#1546	2
#1543	2
#1540	2