Subgroups — #17871

Order 256.

369 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 247 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₈×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₄×AGL(1,ℤ/8)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#436	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#1588	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1586	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1583	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1581	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1565	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1478	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1477	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#1451	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
14	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
17	C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
18	#442	C₄	1	2	yes	—
19	#440	C₄	1	2	yes	—
20	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
21	C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
22	#436	—	2	1	no	—
23	#436	—	2	1	no	—
24	#436	C₂²	1	2	yes	—
25	#436	C₂²	1	2	yes	—
26	C₈×D₄	—	2	1	no	—
27	C₈×D₄	—	2	1	no	—
28	C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
29	C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
30	#431	—	2	1	no	—
31	#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#428	C₄	1	1	yes	characteristic
34	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#418	C₄	1	1	yes	characteristic
36	#417	C₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
38	C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
40	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#335	C₂²	1	2	yes	complemented
42	#334	C₂²	1	2	yes	complemented
43	Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
44	D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
45	D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
46	D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
47	#322	C₂²	1	2	yes	complemented
48	#322	C₂²	1	2	yes	complemented
49	C₂×#41	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
52	AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
53	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
56	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
57	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
58	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
61	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
62	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
63	C₂²×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
65	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
66	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₄×D₄	—	2	1	no	—
68	C₄×D₄	—	2	1	no	—
69	C₄×D₄	—	2	1	no	—
70	C₄×D₄	—	2	1	no	—
71	C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
74	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	#117	—	2	1	no	—
76	#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
79	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
80	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
84	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
85	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
86	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
87	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
90	#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
91	#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
95	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
96	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
97	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
98	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
99	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
100	#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
101	C₄×C₈	—	2	1	no	—
102	C₄×C₈	—	2	1	no	—
103	C₄×C₈	—	2	1	no	—
104	C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
105	C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
107	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
108	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
109	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	C₂⁴	—	2	1	no	—
111	#41	—	2	2	no	—
112	#41	M₁₆	1	4	yes	complemented
113	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂×D₄	—	2	1	no	—
115	C₂×D₄	—	2	1	no	—
116	C₂×D₄	—	2	2	no	—
117	C₂×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
121	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
122	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
123	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
124	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
125	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
127	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
128	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
131	SD₁₆	—	2	4	no	—
132	D₈	—	2	4	no	—
133	M₁₆	—	2	2	no	—
134	M₁₆	—	2	2	no	—
135	M₁₆	—	4	4	no	—
136	M₁₆	—	4	4	no	—
137	C₂×C₈	—	2	2	no	—
138	C₂×C₈	—	2	1	no	—
139	C₂×C₈	—	2	1	no	—
140	C₂×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂×C₈	—	4	1	no	—
143	C₂×C₈	—	4	2	no	—
144	C₂×C₈	—	4	2	no	—
145	C₂×C₈	—	4	2	no	—
146	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
147	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
153	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
154	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
155	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
156	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
157	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
158	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
159	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
161	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
163	C₄²	—	2	1	no	—
164	C₄²	—	2	1	no	—
165	C₄²	—	2	1	no	—
166	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
167	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
169	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
170	C₂³	—	2	1	no	—
171	C₂³	—	2	2	no	—
172	C₂³	—	4	2	no	—
173	C₂³	—	4	2	no	—
174	C₂³	—	4	2	no	—
175	C₂³	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
176	Q₈	—	2	1	no	—
177	Q₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	complemented
178	D₄	—	2	4	no	—
179	D₄	—	2	2	no	—
180	D₄	—	2	1	no	—
181	D₄	—	2	2	no	—
182	D₄	—	4	2	no	—
183	D₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	complemented
184	C₂×C₄	—	2	1	no	—
185	C₂×C₄	—	2	1	no	—
186	C₂×C₄	—	2	1	no	—
187	C₂×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂×C₄	—	2	1	no	—
189	C₂×C₄	—	2	1	no	—
190	C₂×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄	—	4	1	no	—
192	C₂×C₄	—	4	2	no	—
193	C₂×C₄	—	4	4	no	—
194	C₂×C₄	—	4	2	no	—
195	C₂×C₄	—	4	1	no	—
196	C₂×C₄	—	4	2	no	—
197	C₂×C₄	—	4	1	no	—
198	C₂×C₄	—	4	2	no	—
199	C₂×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
203	C₂×C₄	#131	1	2	yes	—
204	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
207	C₈	—	2	2	no	—
208	C₈	—	2	2	no	—
209	C₈	—	2	1	no	—
210	C₈	—	2	1	no	—
211	C₈	—	2	1	no	—
212	C₈	—	4	2	no	—
213	C₈	—	4	1	no	—
214	C₈	—	4	2	no	—
215	C₈	—	4	1	no	—
216	C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	complemented
217	C₂²	—	2	1	no	—
218	C₂²	—	2	1	no	—
219	C₂²	—	2	2	no	—
220	C₂²	—	4	1	no	—
221	C₂²	—	4	1	no	—
222	C₂²	—	4	2	no	—
223	C₂²	—	4	2	no	—
224	C₂²	—	4	2	no	—
225	C₂²	—	8	4	no	—
226	C₂²	#435	1	2	yes	—
227	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
228	C₄	—	2	2	no	—
229	C₄	—	2	1	no	—
230	C₄	—	2	1	no	—
231	C₄	—	2	1	no	—
232	C₄	—	4	1	no	—
233	C₄	—	4	2	no	—
234	C₄	—	4	1	no	—
235	C₄	#435	1	2	yes	—
236	C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
237	C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
238	C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
239	C₄	#575	1	1	yes	characteristic
240	C₂	—	2	2	no	—
241	C₂	—	4	2	no	—
242	C₂	—	8	2	no	—
243	C₂	C₂×#435	1	1	yes	characteristic
244	C₂	C₄×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
245	C₂	#2955	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₈×#41	C₂	semidirect
3. C₂×#436	C₂	semidirect
4. #1588	C₂	semidirect
5. #1586	C₂	semidirect
6. #1583	C₂	semidirect
7. #1581	C₂	semidirect
8. #1565	C₂	semidirect
9. #1478	C₂	semidirect
10. #1477	C₂	semidirect
11. #1451	C₂	semidirect
16. C₈×Q₈	C₂²	semidirect
17. C₈×Q₈	C₂²	semidirect
28. C₈×D₄	C₂²	semidirect
29. C₈×D₄	C₂²	semidirect
41. #335	C₂²	semidirect
42. #334	C₂²	semidirect
43. Q₈⋊C₈	C₂²	semidirect
46. D₄⋊C₈	C₂²	semidirect
47. #322	C₂²	semidirect
48. #322	C₂²	semidirect
112. #41	M₁₆	semidirect
177. Q₈	C₂×M₁₆	semidirect
183. D₄	C₂×M₁₆	semidirect
216. C₈	AGL(1,ℤ/8)	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₈×#41	2
C₄×AGL(1,ℤ/8)	2
C₂×#436	2
#1588	2
#1586	2
#1583	2
#1581	2
#1565	2
#1478	2
#1477	2
#1451	2