Subgroups — #17875

Order 256.

349 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 235 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#2988	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#2975	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₄×AGL(1,ℤ/8)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#1588	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1586	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1583	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1581	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1565	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1476	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×D₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#1451	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
16	#442	C₄	1	2	yes	—
17	#440	C₄	1	2	yes	—
18	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
19	C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
20	#436	—	2	1	no	—
21	#436	—	2	1	no	—
22	#436	C₂²	1	2	yes	—
23	#436	C₂²	1	2	yes	—
24	C₈×D₄	—	2	2	no	—
25	C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
26	#431	—	2	1	no	—
27	#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#428	C₄	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
31	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#418	C₄	1	1	yes	characteristic
33	#417	C₄	1	1	yes	characteristic
34	#407	—	2	2	no	—
35	C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#335	C₂²	1	2	yes	complemented
38	#334	C₂²	1	2	yes	complemented
39	Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
40	Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
41	D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
42	D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
43	D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
44	D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
45	#322	C₂²	1	2	yes	complemented
46	#322	C₂²	1	2	yes	complemented
47	C₂×#41	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
50	AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
51	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
54	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
55	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
58	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
59	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
60	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₄×D₄	—	2	1	no	—
63	C₄×D₄	—	2	1	no	—
64	C₄×D₄	—	2	1	no	—
65	C₄×D₄	—	2	1	no	—
66	C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
69	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	#117	—	2	1	no	—
71	#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
74	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
75	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
79	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
80	C₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
81	C₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
82	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
83	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
90	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
91	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
92	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
93	C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
94	#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	C₄×C₈	—	2	2	no	—
96	C₄×C₈	—	2	1	no	—
97	C₄×C₈	—	2	1	no	—
98	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
101	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂⁴	—	2	1	no	—
103	#41	—	2	2	no	—
104	#41	M₁₆	1	4	yes	complemented
105	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂×D₄	—	2	1	no	—
107	C₂×D₄	—	2	1	no	—
108	C₂×D₄	—	2	2	no	—
109	C₂×D₄	—	2	2	no	—
110	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
111	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
113	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
114	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
115	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
117	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
119	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
120	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂²×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
123	SD₁₆	—	2	4	no	—
124	D₈	—	2	4	no	—
125	M₁₆	—	2	2	no	—
126	M₁₆	—	2	2	no	—
127	M₁₆	—	8	2	no	—
128	M₁₆	—	8	2	no	—
129	C₂×C₈	—	2	1	no	—
130	C₂×C₈	—	2	1	no	—
131	C₂×C₈	—	2	1	no	—
132	C₂×C₈	—	2	2	no	—
133	C₂×C₈	—	2	1	no	—
134	C₂×C₈	—	4	2	no	—
135	C₂×C₈	—	8	2	no	—
136	C₂×C₈	—	8	1	no	—
137	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
138	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
139	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
142	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
143	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
144	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
145	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
146	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
147	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
148	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
149	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
150	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
152	C₄²	—	2	1	no	—
153	C₄²	—	2	1	no	—
154	C₄²	—	2	1	no	—
155	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
156	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
157	C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
158	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
159	C₂³	—	2	1	no	—
160	C₂³	—	2	2	no	—
161	C₂³	—	4	2	no	—
162	C₂³	—	8	1	no	—
163	C₂³	—	8	1	no	—
164	C₂³	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
165	Q₈	—	2	1	no	—
166	Q₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
167	D₄	—	2	4	no	—
168	D₄	—	2	2	no	—
169	D₄	—	2	1	no	—
170	D₄	—	2	2	no	—
171	D₄	—	4	2	no	—
172	D₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
173	C₂×C₄	—	2	1	no	—
174	C₂×C₄	—	2	1	no	—
175	C₂×C₄	—	2	1	no	—
176	C₂×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂×C₄	—	2	1	no	—
178	C₂×C₄	—	2	1	no	—
179	C₂×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄	—	4	1	no	—
181	C₂×C₄	—	4	1	no	—
182	C₂×C₄	—	4	2	no	—
183	C₂×C₄	—	4	2	no	—
184	C₂×C₄	—	4	1	no	—
185	C₂×C₄	—	8	1	no	—
186	C₂×C₄	—	8	2	no	—
187	C₂×C₄	—	8	1	no	—
188	C₂×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
192	C₂×C₄	#131	1	2	yes	—
193	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
196	C₈	—	2	2	no	—
197	C₈	—	2	2	no	—
198	C₈	—	2	2	no	—
199	C₈	—	2	2	no	—
200	C₈	—	2	2	no	—
201	C₈	—	4	1	no	—
202	C₈	—	4	2	no	—
203	C₈	—	4	1	no	—
204	C₈	—	4	1	no	—
205	C₂²	—	2	1	no	—
206	C₂²	—	2	1	no	—
207	C₂²	—	2	2	no	—
208	C₂²	—	4	1	no	—
209	C₂²	—	4	1	no	—
210	C₂²	—	4	2	no	—
211	C₂²	—	4	2	no	—
212	C₂²	—	4	2	no	—
213	C₂²	—	8	4	no	—
214	C₂²	#435	1	2	yes	—
215	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
216	C₄	—	2	2	no	—
217	C₄	—	2	1	no	—
218	C₄	—	2	1	no	—
219	C₄	—	2	1	no	—
220	C₄	—	4	1	no	—
221	C₄	—	4	2	no	—
222	C₄	—	4	1	no	—
223	C₄	#435	1	2	yes	—
224	C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
225	C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
226	C₄	#576	1	1	yes	characteristic
227	C₄	#577	1	1	yes	characteristic
228	C₂	—	2	2	no	—
229	C₂	—	4	2	no	—
230	C₂	—	8	2	no	—
231	C₂	C₂×#435	1	1	yes	characteristic
232	C₂	#2946	1	1	yes	characteristic
233	C₂	#2956	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ #431 ◁ G
LECS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #2988	C₂	semidirect
2. #2975	C₂	semidirect
4. #1588	C₂	semidirect
5. #1586	C₂	semidirect
6. #1583	C₂	semidirect
7. #1581	C₂	semidirect
8. #1565	C₂	semidirect
9. #1476	C₂	semidirect
10. C₂×D₄⋊C₈	C₂	semidirect
11. #1451	C₂	semidirect
15. C₈×Q₈	C₂²	semidirect
25. C₈×D₄	C₂²	semidirect
37. #335	C₂²	semidirect
38. #334	C₂²	semidirect
39. Q₈⋊C₈	C₂²	semidirect
40. Q₈⋊C₈	C₂²	semidirect
43. D₄⋊C₈	C₂²	semidirect
44. D₄⋊C₈	C₂²	semidirect
45. #322	C₂²	semidirect
46. #322	C₂²	semidirect
104. #41	M₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#2988	2
#2975	2
C₄×AGL(1,ℤ/8)	2
#1588	2
#1586	2
#1583	2
#1581	2
#1565	2
#1476	2
C₂×D₄⋊C₈	2
#1451	2