Subgroups — #17994

Order 256.

374 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 245 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3100	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2935	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	D₄×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#1589	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1581	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1581	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₈×D₈	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1571	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1492	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×D₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₈×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#131	—	2	1	no	—
13	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
14	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#480	C₄	1	2	yes	—
17	#474	C₄	1	1	yes	characteristic
18	#474	C₄	1	1	yes	characteristic
19	#459	C₄	1	1	yes	characteristic
20	#459	C₄	1	1	yes	characteristic
21	#447	C₄	1	2	yes	—
22	C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
23	C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
24	#436	C₂²	1	2	yes	—
25	#436	C₂²	1	2	yes	complemented
26	#435	—	2	2	no	—
27	#435	—	2	2	no	—
28	C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
29	C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
30	#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#408	—	2	1	no	—
34	#407	—	2	1	no	—
35	C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#335	C₂²	1	2	yes	complemented
38	#335	C₂²	1	2	yes	complemented
39	D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
44	D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
45	#322	C₂²	1	2	yes	complemented
46	C₈²	C₂²	1	2	yes	complemented
47	C₂×#41	—	2	1	no	—
48	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
50	C₂×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	#131	—	4	4	no	—
53	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
54	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
55	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
56	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
57	C₂×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
60	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
61	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
62	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
63	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
64	#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
65	#124	—	2	1	no	—
66	#121	—	2	1	no	—
67	#121	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₄×D₄	—	2	1	no	—
69	C₄×D₄	—	2	1	no	—
70	C₄×D₄	—	2	1	no	—
71	C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
78	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
82	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
83	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
88	#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
90	#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
91	#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
93	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
94	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
95	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
96	C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
97	#97	D₄	1	2	yes	—
98	C₄×C₈	—	2	1	no	—
99	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
102	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂⁴	—	2	1	no	—
104	#41	—	4	2	no	—
105	#41	—	4	2	no	—
106	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
107	C₂×D₄	—	2	2	no	—
108	C₂×D₄	—	2	2	no	—
109	C₂×D₄	—	2	1	no	—
110	C₂×D₄	—	2	1	no	—
111	C₂×D₄	—	2	1	no	—
112	C₂×D₄	—	4	1	no	—
113	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
115	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
117	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
118	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
119	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
120	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
122	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
123	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
124	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
127	D₈	—	2	4	no	—
128	D₈	—	4	2	no	—
129	M₁₆	—	2	2	no	—
130	M₁₆	—	4	2	no	—
131	M₁₆	—	4	4	no	—
132	M₁₆	—	4	4	no	—
133	M₁₆	D₈	1	4	yes	complemented
134	C₂×C₈	—	2	1	no	—
135	C₂×C₈	—	2	1	no	—
136	C₂×C₈	—	2	2	no	—
137	C₂×C₈	—	2	1	no	—
138	C₂×C₈	—	2	1	no	—
139	C₂×C₈	—	4	2	no	—
140	C₂×C₈	—	4	2	no	—
141	C₂×C₈	—	4	4	no	—
142	C₂×C₈	—	4	4	no	—
143	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
144	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
145	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
146	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
148	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
149	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
150	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
151	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
152	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
153	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
154	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
155	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
156	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
157	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
159	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
161	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
162	C₂³	—	2	1	no	—
163	C₂³	—	2	1	no	—
164	C₂³	—	2	2	no	—
165	C₂³	—	4	2	no	—
166	C₂³	—	4	2	no	—
167	C₂³	—	8	1	no	—
168	C₂³	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
169	Q₈	—	4	2	no	—
170	D₄	—	2	2	no	—
171	D₄	—	2	1	no	—
172	D₄	—	2	1	no	—
173	D₄	—	2	1	no	—
174	D₄	—	2	2	no	—
175	D₄	—	4	2	no	—
176	D₄	—	4	4	no	—
177	D₄	—	4	2	no	—
178	D₄	—	8	1	no	—
179	D₄	#131	1	2	yes	complemented
180	C₂×C₄	—	2	1	no	—
181	C₂×C₄	—	2	1	no	—
182	C₂×C₄	—	2	1	no	—
183	C₂×C₄	—	2	1	no	—
184	C₂×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄	—	4	1	no	—
186	C₂×C₄	—	4	2	no	—
187	C₂×C₄	—	4	1	no	—
188	C₂×C₄	—	4	2	no	—
189	C₂×C₄	—	4	1	no	—
190	C₂×C₄	—	4	1	no	—
191	C₂×C₄	—	4	1	no	—
192	C₂×C₄	—	4	2	no	—
193	C₂×C₄	—	4	2	no	—
194	C₂×C₄	—	4	2	no	—
195	C₂×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
199	C₂×C₄	#135	1	2	yes	—
200	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
203	C₈	—	2	2	no	—
204	C₈	—	2	2	no	—
205	C₈	—	2	2	no	—
206	C₈	—	2	2	no	—
207	C₈	—	4	1	no	—
208	C₈	—	4	1	no	—
209	C₈	—	4	1	no	—
210	C₈	—	4	2	no	—
211	C₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
212	C₂²	—	2	1	no	—
213	C₂²	—	2	1	no	—
214	C₂²	—	2	2	no	—
215	C₂²	—	4	1	no	—
216	C₂²	—	4	1	no	—
217	C₂²	—	4	1	no	—
218	C₂²	—	4	2	no	—
219	C₂²	—	4	1	no	—
220	C₂²	—	4	2	no	—
221	C₂²	—	4	2	no	—
222	C₂²	—	4	1	no	—
223	C₂²	—	8	4	no	—
224	C₂²	C₄×D₈	1	2	yes	—
225	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₄	—	2	1	no	—
227	C₄	—	2	1	no	—
228	C₄	—	2	1	no	—
229	C₄	—	4	1	no	—
230	C₄	—	4	1	no	—
231	C₄	—	4	2	no	—
232	C₄	C₄×D₈	1	2	yes	—
233	C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
234	C₄	#568	1	1	yes	characteristic
235	C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
236	C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
237	C₂	—	2	2	no	—
238	C₂	—	4	2	no	—
239	C₂	—	8	2	no	—
240	C₂	—	8	1	no	—
241	C₂	#2933	1	1	yes	characteristic
242	C₂	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
243	C₂	#2956	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×C₄×D₄
prime radical	#3100	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₄×M₁₆ ◁ G
LECS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2935	C₂	semidirect
3. D₄×M₁₆	C₂	semidirect
4. #1589	C₂	semidirect
5. #1581	C₂	semidirect
6. #1581	C₂	semidirect
7. C₈×D₈	C₂	semidirect
8. #1571	C₂	semidirect
9. #1492	C₂	semidirect
10. C₂×D₄⋊C₈	C₂	semidirect
11. C₈×M₁₆	C₂	semidirect
25. #436	C₂²	semidirect
29. C₈×D₄	C₂²	semidirect
37. #335	C₂²	semidirect
38. #335	C₂²	semidirect
43. D₄⋊C₈	C₂²	semidirect
44. D₄⋊C₈	C₂²	semidirect
45. #322	C₂²	semidirect
46. C₈²	C₂²	semidirect
133. M₁₆	D₈	semidirect
179. D₄	#131	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3100	2
#2935	2
D₄×M₁₆	2
#1589	2
#1581	2
C₈×D₈	2
#1571	2
#1492	2
C₂×D₄⋊C₈	2
C₈×M₁₆	2