Subgroups — #18004

Order 256.

331 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 225 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3103	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	Q₈×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2935	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#1592	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1588	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1585	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	SD₁₆⋊C₈	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1571	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1492	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×Q₈⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#1451	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#131	—	2	1	no	—
13	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#481	C₄	1	2	yes	—
16	#475	C₄	1	1	yes	characteristic
17	#475	C₄	1	1	yes	characteristic
18	#460	C₄	1	1	yes	characteristic
19	#460	C₄	1	1	yes	characteristic
20	#448	C₄	1	2	yes	—
21	#446	—	2	2	no	—
22	#446	C₂²	1	2	yes	—
23	C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
24	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
25	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
26	#436	C₂²	1	2	yes	—
27	#435	—	2	2	no	—
28	C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
29	#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#423	—	2	1	no	—
31	#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#408	—	2	1	no	—
34	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
35	C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#335	C₂²	1	2	yes	—
38	#335	C₂²	1	2	yes	—
39	Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
44	D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
45	#322	C₂²	1	2	yes	—
46	#322	C₂²	1	2	yes	—
47	C₂×#41	—	2	1	no	—
48	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	#131	—	4	4	no	—
52	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
53	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
54	C₂×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
57	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
58	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
59	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
61	#124	—	2	1	no	—
62	#121	—	2	1	no	—
63	#121	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
65	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
66	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₄×D₄	—	2	1	no	—
71	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
73	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
75	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
79	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
80	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
81	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
82	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
85	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
90	#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
91	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
92	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
93	C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	#97	—	2	2	no	—
95	#97	D₄	1	2	yes	—
96	C₄×C₈	—	2	2	no	—
97	C₄×C₈	—	2	1	no	—
98	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
101	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
102	#41	—	4	2	no	—
103	#41	—	4	2	no	—
104	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
105	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
106	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
107	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
108	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂×D₄	—	2	2	no	—
111	C₂×D₄	—	2	1	no	—
112	C₂×D₄	—	2	1	no	—
113	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
115	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
116	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
117	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
120	SD₁₆	—	2	4	no	—
121	SD₁₆	—	4	2	no	—
122	M₁₆	—	2	2	no	—
123	M₁₆	—	2	2	no	—
124	M₁₆	—	4	4	no	—
125	M₁₆	—	4	2	no	—
126	C₂×C₈	—	2	1	no	—
127	C₂×C₈	—	2	2	no	—
128	C₂×C₈	—	2	1	no	—
129	C₂×C₈	—	2	1	no	—
130	C₂×C₈	—	2	1	no	—
131	C₂×C₈	—	4	2	no	—
132	C₂×C₈	—	4	4	no	—
133	C₂×C₈	—	4	2	no	—
134	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
135	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
136	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
139	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
140	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
141	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
142	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
143	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
144	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
145	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
146	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
147	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
148	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
149	C₄²	—	2	1	no	—
150	C₄²	—	2	1	no	—
151	C₄²	—	2	1	no	—
152	C₄²	—	2	1	no	—
153	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
154	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
155	C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
156	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
157	C₂³	—	2	2	no	—
158	C₂³	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
159	Q₈	—	2	1	no	—
160	Q₈	—	2	1	no	—
161	Q₈	—	2	1	no	—
162	Q₈	—	4	2	no	—
163	Q₈	—	4	2	no	—
164	Q₈	#131	1	2	yes	complemented
165	D₄	—	2	2	no	—
166	D₄	—	2	2	no	—
167	D₄	—	4	4	no	—
168	D₄	—	4	2	no	—
169	D₄	—	8	1	no	—
170	C₂×C₄	—	2	1	no	—
171	C₂×C₄	—	2	1	no	—
172	C₂×C₄	—	2	1	no	—
173	C₂×C₄	—	2	1	no	—
174	C₂×C₄	—	2	1	no	—
175	C₂×C₄	—	2	1	no	—
176	C₂×C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄	—	4	1	no	—
178	C₂×C₄	—	4	2	no	—
179	C₂×C₄	—	4	2	no	—
180	C₂×C₄	—	4	2	no	—
181	C₂×C₄	—	8	1	no	—
182	C₂×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
186	C₂×C₄	#137	1	2	yes	—
187	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
190	C₈	—	2	2	no	—
191	C₈	—	2	2	no	—
192	C₈	—	2	2	no	—
193	C₈	—	2	2	no	—
194	C₈	—	2	2	no	—
195	C₈	—	4	1	no	—
196	C₈	—	4	1	no	—
197	C₈	—	4	1	no	—
198	C₈	—	4	2	no	—
199	C₂²	—	2	1	no	—
200	C₂²	—	2	1	no	—
201	C₂²	—	4	2	no	—
202	C₂²	—	4	2	no	—
203	C₂²	—	4	2	no	—
204	C₂²	#440	1	2	yes	—
205	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₄	—	2	1	no	—
207	C₄	—	2	2	no	—
208	C₄	—	2	1	no	—
209	C₄	—	2	1	no	—
210	C₄	—	4	1	no	—
211	C₄	—	4	2	no	—
212	C₄	—	4	1	no	—
213	C₄	—	4	1	no	—
214	C₄	#440	1	2	yes	—
215	C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
216	C₄	#568	1	1	yes	characteristic
217	C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
218	C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
219	C₂	—	2	2	no	—
220	C₂	—	8	2	no	—
221	C₂	#2933	1	1	yes	characteristic
222	C₂	C₂×#440	1	1	yes	characteristic
223	C₂	#2956	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×C₄×D₄
prime radical	#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₄×M₁₆ ◁ G
LECS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. Q₈×M₁₆	C₂	semidirect
4. #1592	C₂	semidirect
5. #1588	C₂	semidirect
6. #1585	C₂	semidirect
7. SD₁₆⋊C₈	C₂	semidirect
8. #1571	C₂	semidirect
10. C₂×Q₈⋊C₈	C₂	semidirect
11. #1451	C₂	semidirect
164. Q₈	#131	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3103	2
Q₈×M₁₆	2
#2935	2
#1592	2
#1588	2
#1585	2
SD₁₆⋊C₈	2
#1571	2
#1492	2
C₂×Q₈⋊C₈	2
#1451	2