Subgroups — #180788

Order 512.

1270 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 125 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×#431	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×C₄×#97	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1450	C₂	1	4	yes	maximal
4	C₈×#97	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	C₂×#431	C₂²	1	4	yes	—
6	C₂²×#97	C₄	1	4	yes	—
7	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₄×C₄⋊C₈	C₄	1	8	yes	—
10	C₄×C₂²⋊C₈	C₄	1	8	yes	—
11	#1744	C₂²	1	4	yes	—
12	C₄×#97	C₄	1	4	yes	—
13	C₄×#97	C₂²	1	4	yes	—
14	C₄²×C₈	C₂²	1	4	yes	—
15	#1450	C₄	1	32	yes	complemented
16	C₂×#322	C₂²	1	8	yes	—
17	C₂×C₈²	C₂²	1	8	yes	—
18	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
19	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
20	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
21	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
22	#431	C₂×C₄	1	32	yes	—
23	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
24	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
25	C₂×#97	C₈	1	32	yes	complemented
26	C₂×#97	C₂×C₄	1	16	yes	—
27	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
28	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
29	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
30	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
31	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	8	yes	—
32	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
33	C₄³	C₂×C₄	1	4	yes	—
34	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
35	#336	C₂×C₄	1	16	yes	—
36	#322	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
37	C₈²	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
38	C₂³×C₄	C₄²	1	4	yes	—
39	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
40	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×C₈	C₄²	1	16	yes	—
42	C₂²×C₈	C₂×C₈	1	32	yes	—
43	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
44	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
45	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
46	C₂×C₄²	C₄²	1	8	yes	—
47	C₂×C₄²	C₄²	1	4	yes	—
48	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	16	yes	—
49	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
50	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
51	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
54	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
55	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
56	C₄⋊C₈	C₄²	1	32	yes	—
57	C₂²⋊C₈	C₄²	1	32	yes	—
58	#97	C₂×C₈	1	64	yes	—
59	C₄×C₈	—	4	16	no	—
60	C₄×C₈	C₄²	1	16	yes	—
61	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
62	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	32	yes	—
63	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
64	C₂⁴	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
66	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
67	C₂²×C₄	C₄×C₈	1	16	yes	—
68	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
69	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	8	yes	—
70	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	8	yes	—
71	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
73	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	8	yes	—
74	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
76	C₂×C₈	—	2	32	no	—
77	C₂×C₈	C₄×C₈	1	64	yes	complemented
78	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	32	yes	—
79	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	16	yes	—
80	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	32	yes	—
81	C₄²	—	2	8	no	—
82	C₄²	—	2	8	no	—
83	C₄²	—	4	8	no	—
84	C₄²	C₄×C₈	1	16	yes	—
85	C₄²	C₂×C₄²	1	4	yes	—
86	C₄²	C₂×C₄²	1	8	yes	—
87	C₄²	C₂²×C₈	1	16	yes	—
88	C₄²	C₂³×C₄	1	4	yes	—
89	C₂³	—	2	4	no	—
90	C₂³	C₄³	1	2	yes	—
91	C₂³	C₂×C₄×C₈	1	4	yes	—
92	C₂³	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₄	—	2	8	no	—
94	C₂×C₄	—	2	8	no	—
95	C₂×C₄	—	2	4	no	—
96	C₂×C₄	—	2	16	no	—
97	C₂×C₄	—	4	16	no	—
98	C₂×C₄	C₄³	1	4	yes	—
99	C₂×C₄	C₄³	1	2	yes	—
100	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈	1	16	yes	—
101	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈	1	16	yes	—
102	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈	1	4	yes	—
103	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	2	yes	—
104	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	4	yes	—
105	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	4	yes	—
106	C₂×C₄	#568	1	8	yes	—
107	C₈	—	2	32	no	—
108	C₈	C₂×C₄×C₈	1	32	yes	—
109	C₂²	—	2	4	no	—
110	C₂²	—	2	8	no	—
111	C₂²	C₄²×C₈	1	4	yes	—
112	C₂²	C₂×C₄³	1	1	yes	characteristic
113	C₂²	C₂²×C₄×C₈	1	2	yes	—
114	C₂²	#2873	1	4	yes	—
115	C₄	—	2	4	no	—
116	C₄	—	2	16	no	—
117	C₄	C₄²×C₈	1	4	yes	—
118	C₄	C₂²×C₄×C₈	1	4	yes	—
119	C₄	#2875	1	8	yes	—
120	C₂	—	2	4	no	—
121	C₂	#17314	1	4	yes	—
122	C₂	C₂×C₄²×C₈	1	1	yes	characteristic
123	C₂	#20331	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
commutator	C₂	C₂×C₄²×C₈
socle	C₂³	C₂²×C₄²
prime radical	C₂⁴	C₂×C₄²
LCS	G ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. C₈×#97	C₂	semidirect
15. #1450	C₄	semidirect
25. C₂×#97	C₈	semidirect
36. #322	C₂×C₄	semidirect
37. C₈²	C₂×C₄	semidirect
77. C₂×C₈	C₄×C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×#431	2
C₂×C₄×#97	2
C₂×#1450	2
C₈×#97	2