Subgroups — #180805

Order 512.

1182 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 225 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×#431	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20364	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×C₄×#97	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1451	C₂	1	2	yes	maximal
5	C₂×C₈×M₁₆	C₂	1	2	yes	maximal
6	#7844	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#7842	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₈×#97	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×#97	C₄	1	4	yes	—
13	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₄×C₄⋊C₈	C₄	1	4	yes	—
16	C₄×C₂²⋊C₈	C₄	1	4	yes	—
17	#1745	C₄	1	4	yes	—
18	#1744	C₂²	1	2	yes	—
19	#1744	C₂²	1	2	yes	—
20	#1744	C₂²	1	2	yes	—
21	#1728	C₄	1	4	yes	—
22	C₄×#97	C₄	1	4	yes	—
23	C₄×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₄×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₄×#97	C₂²	1	2	yes	—
26	C₄²×C₈	C₂²	1	2	yes	—
27	#1451	C₄	1	16	yes	complemented
28	C₈×M₁₆	C₄	1	16	yes	complemented
29	C₂×#322	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#322	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#322	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×C₈²	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
34	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
35	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
36	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	#431	C₂×C₄	1	8	yes	—
40	#431	C₂×C₄	1	8	yes	—
41	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
46	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
47	C₂×#97	—	2	16	no	—
48	C₂×#97	C₂×C₄	1	8	yes	—
49	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
53	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
55	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
56	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	#336	C₂×C₄	1	8	yes	—
67	#336	C₂×C₄	1	8	yes	—
68	#336	C₂×C₄	1	8	yes	—
69	#322	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
70	#322	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
71	#322	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
72	C₈²	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
73	C₂³×C₄	C₄²	1	4	yes	—
74	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
78	C₂×M₁₆	C₄²	1	16	yes	—
79	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
80	C₂²×C₈	C₄²	1	16	yes	—
81	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
82	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
83	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
84	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
85	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
86	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
87	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
88	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
89	C₂×C₄²	C₄²	1	4	yes	—
90	C₂×C₄²	C₄²	1	4	yes	—
91	C₂×C₄²	C₄²	1	4	yes	—
92	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
93	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
94	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
95	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
96	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
97	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
101	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
102	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
103	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
104	C₄⋊C₈	C₄²	1	8	yes	—
105	C₄⋊C₈	C₄²	1	8	yes	—
106	C₂²⋊C₈	C₄²	1	8	yes	—
107	C₂²⋊C₈	C₄²	1	8	yes	—
108	#97	—	2	16	no	—
109	#97	—	2	8	no	—
110	#97	C₄²	1	16	yes	—
111	#97	M₁₆	1	16	yes	complemented
112	C₄×C₈	—	4	8	no	—
113	C₄×C₈	C₄²	1	16	yes	—
114	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
115	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
116	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
117	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
118	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
119	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
120	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
121	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
122	C₂⁴	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
124	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
125	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
126	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
127	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
128	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
129	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
132	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
133	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
134	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
135	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
137	C₂²×C₄	#131	1	8	yes	—
138	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
141	M₁₆	—	2	32	no	—
142	C₂×C₈	—	2	8	no	—
143	C₂×C₈	—	2	16	no	—
144	C₂×C₈	—	2	8	no	—
145	C₂×C₈	—	2	8	no	—
146	C₂×C₈	—	2	32	no	—
147	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	8	yes	—
148	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	16	yes	—
149	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	8	yes	—
150	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	8	yes	—
151	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	8	yes	—
152	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	16	yes	—
153	C₄²	—	2	4	no	—
154	C₄²	—	2	4	no	—
155	C₄²	—	2	4	no	—
156	C₄²	—	2	4	no	—
157	C₄²	—	2	4	no	—
158	C₄²	—	2	8	no	—
159	C₄²	—	2	8	no	—
160	C₄²	—	4	4	no	—
161	C₄²	C₂×C₄²	1	4	yes	—
162	C₄²	C₂×C₄²	1	4	yes	—
163	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
164	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
165	C₄²	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
166	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
167	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
168	C₂³	—	2	2	no	—
169	C₂³	—	2	2	no	—
170	C₂³	C₄³	1	2	yes	—
171	C₂³	#405	1	4	yes	—
172	C₂³	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄	—	2	4	no	—
175	C₂×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄	—	2	8	no	—
178	C₂×C₄	—	2	4	no	—
179	C₂×C₄	—	2	4	no	—
180	C₂×C₄	—	2	4	no	—
181	C₂×C₄	—	2	4	no	—
182	C₂×C₄	—	2	4	no	—
183	C₂×C₄	—	4	16	no	—
184	C₂×C₄	C₄³	1	2	yes	—
185	C₂×C₄	C₄³	1	2	yes	—
186	C₂×C₄	C₄³	1	2	yes	—
187	C₂×C₄	C₄×M₁₆	1	8	yes	—
188	C₂×C₄	#405	1	16	yes	—
189	C₂×C₄	#405	1	4	yes	—
190	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	2	yes	—
191	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	2	yes	—
192	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	4	yes	—
195	C₂×C₄	C₂×#131	1	4	yes	—
196	C₂×C₄	#568	1	4	yes	—
197	C₈	—	2	8	no	—
198	C₈	—	2	16	no	—
199	C₈	—	2	8	no	—
200	C₈	—	2	8	no	—
201	C₈	C₄×M₁₆	1	16	yes	—
202	C₂²	—	2	2	no	—
203	C₂²	—	2	2	no	—
204	C₂²	—	2	8	no	—
205	C₂²	#1726	1	4	yes	—
206	C₂²	C₂×C₄³	1	1	yes	characteristic
207	C₂²	C₂×C₄×M₁₆	1	2	yes	—
208	C₂²	C₂×#405	1	2	yes	—
209	C₂²	#2873	1	2	yes	—
210	C₄	—	2	2	no	—
211	C₄	—	2	2	no	—
212	C₄	—	2	8	no	—
213	C₄	—	4	4	no	—
214	C₄	#1726	1	4	yes	—
215	C₄	C₂×C₄×M₁₆	1	4	yes	—
216	C₄	C₂×#405	1	4	yes	—
217	C₄	#2875	1	2	yes	—
218	C₄	#2875	1	2	yes	—
219	C₂	—	2	4	no	—
220	C₂	#17327	1	4	yes	—
221	C₂	C₂×#1726	1	1	yes	characteristic
222	C₂	C₄²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
223	C₂	#20331	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂×C₄³
socle	C₂³	C₂²×C₄²
prime radical	C₂⁴	C₂×C₄²
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
6. #7844	C₂	semidirect
7. #7842	C₂	semidirect
8. C₈×#97	C₂	semidirect
27. #1451	C₄	semidirect
28. C₈×M₁₆	C₄	semidirect
69. #322	C₂×C₄	semidirect
70. #322	C₂×C₄	semidirect
71. #322	C₂×C₄	semidirect
72. C₈²	C₂×C₄	semidirect
111. #97	M₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×#431	2
#20364	2
C₂×C₄×#97	2
C₂×#1451	2
C₂×C₈×M₁₆	2
#7844	2
#7842	2
C₈×#97	2