Subgroups — #180915

Order 512.

1934 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 351 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2920	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂³×C₄×C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#7875	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#7874	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#7872	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₂⁴×C₈	C₄	1	2	yes	—
7	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	#2920	—	2	8	no	—
9	#2920	C₄	1	16	yes	—
10	C₂×#432	—	2	2	no	—
11	C₂×#432	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×#431	—	2	2	no	—
13	C₂×#431	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×#423	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#407	—	2	2	no	—
16	C₂×C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
17	C₂²×C₄×C₈	—	2	8	no	—
18	C₂²×C₄×C₈	C₄	1	2	yes	—
19	C₂²×C₄×C₈	C₄	1	2	yes	—
20	C₂²×C₄×C₈	C₄	1	2	yes	—
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
24	#1277	C₂²	1	16	yes	complemented
25	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
26	C₂⁴×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
27	C₂⁴×C₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
29	C₂³×C₈	—	2	8	no	—
30	C₂³×C₈	—	2	16	no	—
31	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
32	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
33	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
34	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	—
38	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×C₄²	D₄	1	8	yes	—
42	C₂²×C₄²	Q₈	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×C₄²	Q₈	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×C₄²	Q₈	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	#432	—	2	16	no	—
49	#432	—	2	8	no	—
50	#432	C₂×C₄	1	16	yes	—
51	#431	—	2	16	no	—
52	#431	—	2	8	no	—
53	#431	C₂×C₄	1	16	yes	—
54	#423	—	2	8	no	—
55	#423	C₂×C₄	1	16	yes	—
56	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
57	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
58	#407	—	2	16	no	—
59	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
60	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
61	C₄×M₁₆	—	2	16	no	—
62	C₂×#97	—	2	4	no	—
63	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
64	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
65	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
66	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
67	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
68	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
69	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
70	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
71	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
72	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂⁵	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
76	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
77	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
78	C₂³×C₄	C₄²	1	4	yes	—
79	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
80	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
81	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
90	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
98	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
99	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
100	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
101	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
102	C₂²×C₈	—	2	64	no	—
103	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
110	C₂²×C₈	M₁₆	1	16	yes	complemented
111	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
112	C₂×C₄²	C₄²	1	4	yes	—
113	C₂×C₄²	C₄²	1	4	yes	—
114	C₂×C₄²	C₄²	1	4	yes	—
115	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
116	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
117	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
118	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
119	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
120	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
121	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
128	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
129	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
130	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
134	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
135	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
136	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
139	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
140	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
141	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
146	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
147	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
148	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
149	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
150	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
151	#97	—	2	16	no	—
152	C₄×C₈	—	2	8	no	—
153	C₄×C₈	—	2	8	no	—
154	C₄×C₈	—	2	8	no	—
155	C₄×C₈	—	2	16	no	—
156	C₄×C₈	—	2	8	no	—
157	C₂⁴	—	2	4	no	—
158	C₂⁴	—	2	4	no	—
159	C₂⁴	—	2	4	no	—
160	C₂⁴	#95	1	4	yes	—
161	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
183	C₂²×C₄	#95	1	4	yes	—
184	C₂²×C₄	#95	1	4	yes	—
185	C₂²×C₄	#95	1	4	yes	—
186	C₂²×C₄	#95	1	4	yes	—
187	C₂²×C₄	#95	1	4	yes	—
188	C₂²×C₄	#95	1	4	yes	—
189	C₂²×C₄	#95	1	4	yes	—
190	C₂²×C₄	#95	1	4	yes	—
191	C₂²×C₄	#95	1	4	yes	—
192	C₂²×C₄	#108	1	8	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
215	C₂²×C₄	#135	1	8	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
219	M₁₆	—	4	32	no	—
220	C₂×C₈	—	2	32	no	—
221	C₂×C₈	—	2	32	no	—
222	C₂×C₈	—	2	8	no	—
223	C₂×C₈	—	2	8	no	—
224	C₂×C₈	—	2	32	no	—
225	C₂×C₈	—	2	16	no	—
226	C₂×C₈	—	4	16	no	—
227	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	16	yes	—
228	C₄²	#95	1	4	yes	—
229	C₄²	#95	1	4	yes	—
230	C₄²	#95	1	4	yes	—
231	C₄²	#95	1	4	yes	—
232	C₄²	#95	1	4	yes	—
233	C₄²	#95	1	4	yes	—
234	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
235	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
236	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
237	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
238	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
239	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
240	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
241	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
242	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
243	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
244	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
245	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
246	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
247	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
248	C₂³	—	2	32	no	—
249	C₂³	—	2	2	no	—
250	C₂³	—	2	2	no	—
251	C₂³	—	2	2	no	—
252	C₂³	—	2	2	no	—
253	C₂³	—	2	2	no	—
254	C₂³	—	2	2	no	—
255	C₂³	—	2	8	no	—
256	C₂³	—	2	8	no	—
257	C₂³	—	2	8	no	—
258	C₂³	C₂×#95	1	2	yes	—
259	C₂³	C₂×#95	1	2	yes	—
260	C₂³	C₂×#95	1	2	yes	—
261	C₂³	#423	1	4	yes	—
262	C₂³	#427	1	4	yes	—
263	C₂³	C₂×#108	1	4	yes	—
264	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂×C₄	—	2	8	no	—
272	C₂×C₄	—	2	8	no	—
273	C₂×C₄	—	2	8	no	—
274	C₂×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂×C₄	—	2	8	no	—
279	C₂×C₄	—	2	8	no	—
280	C₂×C₄	—	2	8	no	—
281	C₂×C₄	—	2	8	no	—
282	C₂×C₄	—	2	8	no	—
283	C₂×C₄	—	2	8	no	—
284	C₂×C₄	—	2	8	no	—
285	C₂×C₄	—	2	8	no	—
286	C₂×C₄	—	2	8	no	—
287	C₂×C₄	—	2	8	no	—
288	C₂×C₄	#341	1	16	yes	—
289	C₂×C₄	C₂×#95	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	C₂×#95	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	C₂×#95	1	2	yes	—
292	C₂×C₄	C₂×#95	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	C₂×#95	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	C₂×#95	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	C₂×#95	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	C₂×#95	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	C₂×#95	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	C₄×M₁₆	1	8	yes	—
299	C₂×C₄	#407	1	8	yes	—
300	C₂×C₄	#416	1	16	yes	—
301	C₂×C₄	#423	1	4	yes	—
302	C₂×C₄	#427	1	4	yes	—
303	C₂×C₄	C₂×#108	1	4	yes	—
304	C₂×C₄	C₂×#108	1	4	yes	—
305	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	4	yes	—
310	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
311	C₈	—	2	16	no	—
312	C₈	—	4	16	no	—
313	C₂²	—	2	32	no	—
314	C₂²	—	2	2	no	—
315	C₂²	—	2	2	no	—
316	C₂²	—	2	2	no	—
317	C₂²	—	2	2	no	—
318	C₂²	—	2	2	no	—
319	C₂²	—	2	2	no	—
320	C₂²	—	2	8	no	—
321	C₂²	—	2	8	no	—
322	C₂²	—	2	8	no	—
323	C₂²	#1728	1	4	yes	—
324	C₂²	#1735	1	4	yes	—
325	C₂²	C₂×#341	1	4	yes	—
326	C₂²	C₂²×#95	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	C₂×#423	1	2	yes	—
328	C₂²	C₂×#427	1	2	yes	—
329	C₂²	C₂²×#108	1	2	yes	—
330	C₄	—	2	2	no	—
331	C₄	—	2	2	no	—
332	C₄	—	2	2	no	—
333	C₄	—	2	2	no	—
334	C₄	—	2	2	no	—
335	C₄	—	2	2	no	—
336	C₄	#1728	1	4	yes	—
337	C₄	#1735	1	4	yes	—
338	C₄	C₂×#341	1	4	yes	—
339	C₄	C₂×#341	1	4	yes	—
340	C₄	C₂×C₄×M₁₆	1	2	yes	—
341	C₄	C₂×#407	1	2	yes	—
342	C₄	C₂×#416	1	4	yes	—
343	C₂	—	2	4	no	—
344	C₂	—	2	4	no	—
345	C₂	—	2	4	no	—
346	C₂	#17793	1	4	yes	—
347	C₂	C₂×#1728	1	1	yes	characteristic
348	C₂	C₂×#1735	1	1	yes	characteristic
349	C₂	C₂²×#341	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄²	C₂×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄
prime radical	C₂⁵	C₄⋊C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄² ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #7875	C₂	semidirect
4. #7874	C₂	semidirect
5. #7872	C₂	semidirect
24. #1277	C₂²	semidirect
110. C₂²×C₈	M₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2920	2
C₂³×C₄×C₈	2
#7875	2
#7874	2
#7872	2