Subgroups — #180984

Order 512.

1844 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 325 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₈×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2906	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₄⋊C₄×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#7901	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
5	#7897	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
6	#7893	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	C₂×#1279	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#131	—	2	1	no	—
9	C₂×C₄×#41	—	2	1	no	—
10	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₈×#41	—	2	4	no	—
12	C₈×#41	C₄	1	8	yes	complemented
13	C₂×C₈×Q₈	—	2	1	no	—
14	C₂×C₈×D₄	—	2	3	no	—
15	C₂×#431	C₂²	1	3	yes	—
16	#2906	—	2	4	no	—
17	#2906	C₄	1	8	yes	complemented
18	C₂×#424	—	2	3	no	—
19	C₂×#423	C₂²	1	3	yes	—
20	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	3	yes	—
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	3	yes	—
22	#2351	—	2	1	no	—
23	Q₈×C₄⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
24	#2349	—	2	3	no	—
25	D₄×C₄⋊C₄	C₄	1	6	yes	—
26	#2296	—	2	3	no	—
27	#2285	C₂²	1	3	yes	—
28	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
29	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1279	C₂²	1	3	yes	—
31	#1279	C₂²	1	3	yes	—
32	#1279	C₂²	1	3	yes	—
33	#1279	C₂²	1	6	yes	—
34	C₂²×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#131	—	2	8	no	—
36	C₂×#131	—	4	4	no	—
37	C₂×#131	—	4	4	no	—
38	C₂²×M₁₆	—	2	3	no	—
39	C₂³×C₈	—	2	3	no	—
40	C₂³×C₈	—	2	3	no	—
41	C₄×#41	—	4	4	no	—
42	C₄×#41	—	4	4	no	—
43	C₄×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₄×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₄×#41	D₄	1	4	yes	—
46	C₄×#41	Q₈	1	4	yes	—
47	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂×C₄×D₄	—	2	6	no	—
51	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
52	C₂×C₄×D₄	D₄	1	3	yes	—
53	C₂×#117	—	2	3	no	—
54	C₂×#117	D₄	1	3	yes	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
56	C₂²×C₄²	—	2	3	no	—
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
58	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
59	C₈×D₄	—	2	24	no	—
60	#431	—	2	6	no	—
61	#431	C₂×C₄	1	12	yes	complemented
62	#424	—	2	24	no	—
63	#423	—	2	6	no	—
64	#423	C₂×C₄	1	12	yes	complemented
65	C₂×C₄⋊C₈	—	2	3	no	—
66	C₂×C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
67	C₂×C₄⋊C₈	—	2	3	no	—
68	C₂×C₄⋊C₈	—	2	3	no	—
69	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	12	yes	complemented
70	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
72	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	3	no	—
73	C₂×C₄×C₈	—	2	3	no	—
74	C₂×C₄×C₈	—	2	6	no	—
75	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	12	yes	complemented
76	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
78	#389	—	2	6	no	—
79	#389	—	2	6	no	—
80	#385	—	2	12	no	—
81	#384	C₂×C₄	1	6	yes	—
82	#382	—	2	3	no	—
83	#380	—	2	3	no	—
84	#380	C₂×C₄	1	6	yes	—
85	C₄×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
86	C₄×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
87	C₄×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
88	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
89	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
91	C₂×#95	—	2	3	no	—
92	C₂×#41	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
93	C₂×#41	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
94	C₂×#41	D₈	1	4	yes	—
95	C₂×#41	SD₁₆	1	4	yes	—
96	C₂×#41	SD₁₆	1	4	yes	—
97	C₂×#41	Q₁₆	1	4	yes	—
98	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
100	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
101	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
104	#131	—	4	32	no	—
105	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
106	C₂×M₁₆	—	4	6	no	—
107	C₂×M₁₆	—	4	6	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	3	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	3	no	—
114	C₂²×C₈	—	4	12	no	—
115	C₂²×C₈	—	4	6	no	—
116	C₂²×C₈	—	4	6	no	—
117	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
118	C₄×Q₈	C₄²	1	4	yes	—
119	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
120	C₄×Q₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
121	C₄×Q₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
122	C₄×D₄	—	4	24	no	—
123	C₄×D₄	C₄²	1	12	yes	—
124	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
125	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	12	yes	—
126	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	12	yes	—
127	#117	—	4	6	no	—
128	#117	—	4	6	no	—
129	#117	C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
130	#117	C₄⋊C₄	1	12	yes	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
137	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
138	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
139	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
142	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
145	C₂×C₄²	—	4	6	no	—
146	C₂×C₄²	—	4	6	no	—
147	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	6	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
155	C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
156	C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
157	C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
158	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
159	C₄⋊C₈	—	2	3	no	—
160	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
161	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
162	C₂²⋊C₈	—	2	12	no	—
163	C₄×C₈	—	2	12	no	—
164	C₄×C₈	—	2	1	no	—
165	C₄×C₈	—	2	3	no	—
166	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
167	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
168	#95	—	2	6	no	—
169	#95	—	2	6	no	—
170	#95	—	2	1	no	—
171	#95	—	2	3	no	—
172	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
173	#41	#102	1	16	yes	—
174	#41	#103	1	16	yes	—
175	#41	#106	1	16	yes	—
176	#41	#107	1	16	yes	—
177	C₂×Q₈	#95	1	4	yes	—
178	C₂×Q₈	#102	1	4	yes	—
179	C₂×Q₈	#103	1	4	yes	—
180	C₂×D₄	#95	1	12	yes	—
181	C₂×D₄	#102	1	12	yes	—
182	C₂×D₄	#103	1	12	yes	—
183	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
187	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
190	C₂²×C₄	—	8	6	no	—
191	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	6	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	6	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	6	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	6	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	6	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
207	M₁₆	—	4	24	no	—
208	C₂×C₈	—	2	4	no	—
209	C₂×C₈	—	2	2	no	—
210	C₂×C₈	—	2	6	no	—
211	C₂×C₈	—	2	2	no	—
212	C₂×C₈	—	2	6	no	—
213	C₂×C₈	—	4	24	no	—
214	C₂×C₈	—	4	6	no	—
215	C₂×C₈	—	4	1	no	—
216	C₂×C₈	—	4	3	no	—
217	C₂×C₈	—	4	1	no	—
218	C₂×C₈	—	4	3	no	—
219	C₂×C₈	—	4	24	no	—
220	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
221	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
222	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
223	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
224	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
225	C₄⋊C₄	—	8	6	no	—
226	C₄⋊C₄	#95	1	12	yes	—
227	C₄⋊C₄	#95	1	12	yes	—
228	C₄⋊C₄	#131	1	4	yes	complemented
229	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
230	C₂²⋊C₄	#95	1	24	yes	—
231	C₄²	—	4	1	no	—
232	C₄²	—	4	3	no	—
233	C₄²	—	4	1	no	—
234	C₄²	—	4	3	no	—
235	C₄²	—	4	12	no	—
236	C₄²	C₂×C₄²	1	6	yes	—
237	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
238	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
239	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
240	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
241	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
242	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
243	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
244	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
245	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
246	C₂³	—	2	6	no	—
247	C₂³	—	2	6	no	—
248	C₂³	C₂×#95	1	6	yes	—
249	C₂³	C₂×#102	1	6	yes	—
250	C₂³	C₂×#103	1	6	yes	—
251	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
252	Q₈	#340	1	16	yes	—
253	D₄	#340	1	48	yes	—
254	C₂×C₄	—	2	6	no	—
255	C₂×C₄	—	2	6	no	—
256	C₂×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂×C₄	—	2	6	no	—
258	C₂×C₄	—	2	6	no	—
259	C₂×C₄	—	2	12	no	—
260	C₂×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂×C₄	—	4	6	no	—
262	C₂×C₄	—	4	6	no	—
263	C₂×C₄	—	4	2	no	—
264	C₂×C₄	—	4	2	no	—
265	C₂×C₄	—	4	6	no	—
266	C₂×C₄	—	4	6	no	—
267	C₂×C₄	—	4	6	no	—
268	C₂×C₄	—	8	24	no	—
269	C₂×C₄	C₂×#95	1	6	yes	—
270	C₂×C₄	C₂×#95	1	6	yes	—
271	C₂×C₄	C₂×#95	1	6	yes	—
272	C₂×C₄	C₂×#102	1	12	yes	—
273	C₂×C₄	C₂×#102	1	6	yes	—
274	C₂×C₄	C₂×#103	1	12	yes	—
275	C₂×C₄	C₂×#103	1	6	yes	—
276	C₂×C₄	C₂×#106	1	12	yes	—
277	C₂×C₄	C₂×#107	1	12	yes	—
278	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
280	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
290	C₈	—	2	4	no	—
291	C₈	—	4	6	no	—
292	C₈	—	4	2	no	—
293	C₈	—	4	6	no	—
294	C₂²	—	2	12	no	—
295	C₂²	—	2	12	no	—
296	C₂²	—	2	6	no	—
297	C₂²	—	2	6	no	—
298	C₂²	C₂×#340	1	12	yes	—
299	C₂²	C₂²×#95	1	1	yes	characteristic
300	C₂²	#2880	1	2	yes	—
301	C₂²	C₂²×#102	1	1	yes	characteristic
302	C₂²	C₂²×#103	1	1	yes	characteristic
303	C₂²	#2901	1	2	yes	—
304	C₄	—	2	6	no	—
305	C₄	—	2	1	no	—
306	C₄	—	2	1	no	—
307	C₄	—	2	6	no	—
308	C₄	—	4	4	no	—
309	C₄	—	8	6	no	—
310	C₄	C₂×#340	1	12	yes	—
311	C₄	C₄×#131	1	1	yes	characteristic
312	C₄	#2875	1	1	yes	characteristic
313	C₄	C₂²×#102	1	1	yes	characteristic
314	C₄	C₂²×#103	1	1	yes	characteristic
315	C₄	#2906	1	2	yes	—
316	C₄	C₂²×#106	1	1	yes	characteristic
317	C₄	C₂²×#107	1	1	yes	characteristic
318	C₂	—	2	12	no	—
319	C₂	#17507	1	2	yes	—
320	C₂	#17509	1	2	yes	—
321	C₂	#20336	1	1	yes	characteristic
322	C₂	#20343	1	1	yes	characteristic
323	C₂	C₂²×#340	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂²×#41	D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #7901	C₂	semidirect
5. #7897	C₂	semidirect
6. #7893	C₂	semidirect
7. C₂×#1279	C₂	semidirect
12. C₈×#41	C₄	semidirect
17. #2906	C₄	semidirect
61. #431	C₂×C₄	semidirect
64. #423	C₂×C₄	semidirect
69. C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
75. C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	semidirect
228. C₄⋊C₄	#131	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₈×#41	2
C₂×#2906	2
C₄⋊C₄×#41	2
#7901	2
#7897	2
#7893	2
C₂×#1279	2