Subgroups — #180990

Order 512.

1728 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 308 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2991	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₄×#131	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#34129	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#7903	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
5	#7897	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
6	#7896	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	#7890	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#131	—	2	1	no	—
9	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	#2991	—	2	4	no	—
11	#2991	C₄	1	8	yes	complemented
12	C₂×C₈×Q₈	—	2	1	no	—
13	C₂×#436	—	2	3	no	—
14	C₂×#431	C₂²	1	3	yes	—
15	C₂×#423	C₂²	1	3	yes	—
16	C₄×#131	—	2	4	no	—
17	C₄×#131	C₄	1	8	yes	complemented
18	C₂×#405	—	2	3	no	—
19	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	3	yes	—
20	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	3	yes	—
21	#2354	C₄	1	6	yes	—
22	Q₈×C₄⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
23	#2346	—	2	3	no	—
24	#2341	—	2	1	no	—
25	#2293	—	2	3	no	—
26	#2285	C₂²	1	3	yes	—
27	C₄²×Q₈	—	2	1	no	—
28	C₄×#117	C₂²	1	3	yes	—
29	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1279	C₂²	1	3	yes	—
31	#1279	C₂²	1	3	yes	—
32	#1279	C₂²	1	3	yes	—
33	#1279	C₂²	1	6	yes	—
34	C₂²×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#131	—	2	16	no	—
36	C₂×#131	—	2	8	no	—
37	C₂²×M₁₆	—	2	3	no	—
38	C₂²×M₁₆	—	2	3	no	—
39	C₂³×C₈	—	2	3	no	—
40	C₄×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₄×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
42	C₄×#41	D₄	1	4	yes	—
43	C₄×#41	Q₈	1	4	yes	—
44	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
45	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
48	C₂×C₄×D₄	D₄	1	3	yes	—
49	C₂×#117	—	2	3	no	—
50	C₂×#117	C₂×C₄	1	6	yes	—
51	C₂×#117	D₄	1	3	yes	—
52	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
53	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
54	#436	—	2	24	no	—
55	#431	—	2	6	no	—
56	#431	C₂×C₄	1	12	yes	—
57	#423	—	2	6	no	—
58	#423	C₂×C₄	1	12	yes	—
59	C₂×C₄⋊C₈	—	2	3	no	—
60	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
61	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	3	no	—
63	#405	—	2	24	no	—
64	C₄×M₁₆	—	2	6	no	—
65	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	12	yes	—
66	C₂×#97	—	2	3	no	—
67	C₂×C₄×C₈	—	2	3	no	—
68	C₂×C₄×C₈	—	2	6	no	—
69	C₂×C₄×C₈	—	2	3	no	—
70	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	12	yes	—
71	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
73	#390	—	2	6	no	—
74	#389	—	2	6	no	—
75	#388	—	2	12	no	—
76	#384	C₂×C₄	1	6	yes	—
77	#382	—	2	3	no	—
78	#380	—	2	3	no	—
79	#380	C₂×C₄	1	6	yes	—
80	C₄×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
81	C₄×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
82	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
83	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
85	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
86	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
87	#376	—	2	3	no	—
88	C₄³	—	2	3	no	—
89	C₂×#41	—	2	8	no	—
90	C₂×#41	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
91	C₂×#41	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
92	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
96	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
97	#131	—	2	64	no	—
98	C₂×M₁₆	—	2	24	no	—
99	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
100	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
101	C₂×M₁₆	—	8	3	no	—
102	C₂×M₁₆	—	8	3	no	—
103	C₂²×C₈	—	2	24	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	3	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	3	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
109	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
110	C₄×Q₈	C₄²	1	4	yes	—
111	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
112	C₄×Q₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
113	C₄×Q₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
114	C₄×D₄	C₄²	1	12	yes	—
115	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
116	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	12	yes	—
117	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	12	yes	—
118	#117	—	2	12	no	—
119	#117	—	4	6	no	—
120	#117	—	8	3	no	—
121	#117	—	8	3	no	—
122	#117	C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
123	#117	C₄⋊C₄	1	12	yes	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
133	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
134	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
135	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
136	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
137	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
138	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
139	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
140	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
141	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
143	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	6	yes	—
144	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
145	C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
146	C₄⋊C₈	—	2	3	no	—
147	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
148	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
149	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
150	C₂²⋊C₈	—	2	12	no	—
151	#97	—	2	12	no	—
152	C₄×C₈	—	2	12	no	—
153	C₄×C₈	—	2	12	no	—
154	C₄×C₈	—	2	1	no	—
155	C₄×C₈	—	2	3	no	—
156	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
157	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
158	#95	—	2	6	no	—
159	#95	—	2	6	no	—
160	#95	—	2	1	no	—
161	#95	—	2	3	no	—
162	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
163	#41	—	2	16	no	—
164	#41	—	2	16	no	—
165	C₂×Q₈	#95	1	4	yes	—
166	C₂×Q₈	#104	1	8	yes	—
167	C₂×D₄	—	2	12	no	—
168	C₂×D₄	#95	1	12	yes	—
169	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
178	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	6	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
180	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
190	M₁₆	—	2	48	no	—
191	M₁₆	—	8	12	no	—
192	C₂×C₈	—	2	4	no	—
193	C₂×C₈	—	2	12	no	—
194	C₂×C₈	—	2	48	no	—
195	C₂×C₈	—	2	2	no	—
196	C₂×C₈	—	2	6	no	—
197	C₂×C₈	—	2	2	no	—
198	C₂×C₈	—	2	6	no	—
199	C₂×C₈	—	4	3	no	—
200	C₂×C₈	—	4	1	no	—
201	C₂×C₈	—	4	3	no	—
202	C₂×C₈	—	4	1	no	—
203	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
204	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
205	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
206	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
207	C₄⋊C₄	—	8	6	no	—
208	C₄⋊C₄	#95	1	12	yes	—
209	C₄⋊C₄	#95	1	12	yes	—
210	C₄⋊C₄	#131	1	4	yes	complemented
211	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
212	C₂²⋊C₄	—	8	6	no	—
213	C₂²⋊C₄	#95	1	24	yes	—
214	C₄²	—	4	12	no	—
215	C₄²	—	4	3	no	—
216	C₄²	—	4	1	no	—
217	C₄²	—	4	3	no	—
218	C₄²	—	4	1	no	—
219	C₄²	—	4	12	no	—
220	C₄²	C₂×C₄²	1	6	yes	—
221	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
222	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
223	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
224	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
225	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
226	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
227	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
228	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
229	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
230	C₂³	—	2	6	no	—
231	C₂³	—	2	3	no	—
232	C₂³	—	2	3	no	—
233	C₂³	—	2	6	no	—
234	C₂³	C₂×#95	1	6	yes	—
235	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
236	Q₈	#339	1	16	yes	—
237	D₄	—	2	24	no	—
238	C₂×C₄	—	2	6	no	—
239	C₂×C₄	—	2	3	no	—
240	C₂×C₄	—	2	3	no	—
241	C₂×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂×C₄	—	2	6	no	—
243	C₂×C₄	—	2	6	no	—
244	C₂×C₄	—	2	6	no	—
245	C₂×C₄	—	2	6	no	—
246	C₂×C₄	—	2	12	no	—
247	C₂×C₄	—	2	6	no	—
248	C₂×C₄	—	2	6	no	—
249	C₂×C₄	—	2	12	no	—
250	C₂×C₄	—	2	12	no	—
251	C₂×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂×C₄	—	4	2	no	—
253	C₂×C₄	—	4	2	no	—
254	C₂×C₄	—	4	6	no	—
255	C₂×C₄	—	4	6	no	—
256	C₂×C₄	—	4	6	no	—
257	C₂×C₄	C₂×#95	1	6	yes	—
258	C₂×C₄	C₂×#95	1	6	yes	—
259	C₂×C₄	C₂×#95	1	6	yes	—
260	C₂×C₄	C₂×#104	1	12	yes	—
261	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
262	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
266	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
268	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
269	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
270	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
272	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
273	C₈	—	2	4	no	—
274	C₈	—	2	12	no	—
275	C₈	—	4	6	no	—
276	C₈	—	4	2	no	—
277	C₂²	—	2	6	no	—
278	C₂²	—	2	6	no	—
279	C₂²	—	2	6	no	—
280	C₂²	—	4	6	no	—
281	C₂²	—	4	6	no	—
282	C₂²	C₂²×#95	1	1	yes	characteristic
283	C₂²	#2880	1	2	yes	—
284	C₂²	#2897	1	1	yes	characteristic
285	C₂²	#2898	1	1	yes	characteristic
286	C₂²	C₂²×#104	1	2	yes	—
287	C₄	—	2	6	no	—
288	C₄	—	2	1	no	—
289	C₄	—	2	1	no	—
290	C₄	—	2	6	no	—
291	C₄	—	4	4	no	—
292	C₄	—	8	6	no	—
293	C₄	C₂×#339	1	12	yes	—
294	C₄	C₄×#131	1	1	yes	characteristic
295	C₄	#2875	1	1	yes	characteristic
296	C₄	#2897	1	1	yes	characteristic
297	C₄	#2898	1	1	yes	characteristic
298	C₄	#2906	1	2	yes	—
299	C₄	#2912	1	1	yes	characteristic
300	C₄	#2913	1	1	yes	characteristic
301	C₂	—	4	6	no	—
302	C₂	#17518	1	2	yes	—
303	C₂	#17520	1	2	yes	—
304	C₂	#20336	1	1	yes	characteristic
305	C₂	C₂²×#339	1	1	yes	characteristic
306	C₂	#20348	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂²×#41	D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #7903	C₂	semidirect
5. #7897	C₂	semidirect
6. #7896	C₂	semidirect
7. #7890	C₂	semidirect
11. #2991	C₄	semidirect
17. C₄×#131	C₄	semidirect
210. C₄⋊C₄	#131	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2991	2
C₂×C₄×#131	2
#34129	2
#7903	2
#7897	2
#7896	2
#7890	2