Subgroups — #181604

Order 512.

1580 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 366 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2990	C₂	1	2	yes	maximal
2	#34183	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#8044	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#8043	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#8041	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#8040	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#8038	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×#1296	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂×#520	C₄	1	2	yes	—
10	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#2990	—	2	8	no	—
12	#2990	C₄	1	16	yes	complemented
13	C₂×#446	—	2	2	no	—
14	C₂×#435	—	2	4	no	—
15	C₂×C₈×D₄	—	2	2	no	—
16	C₂×#432	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
20	Q₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
21	D₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
22	D₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
23	#2317	C₄	1	4	yes	—
24	#2317	C₄	1	2	yes	—
25	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#2285	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1296	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1296	C₂²	1	2	yes	—
31	#1296	C₂²	1	4	yes	—
32	#1296	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1296	C₂²	1	2	yes	—
34	#1296	C₂²	1	4	yes	—
35	#1296	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂²×#41	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
38	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
39	#520	—	4	8	no	—
40	C₄×#41	C₂×C₄	1	8	yes	—
41	C₄×#41	D₄	1	4	yes	—
42	C₄×#41	Q₈	1	4	yes	—
43	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
45	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
46	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
48	C₂×C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
49	C₂×#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
54	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	#446	—	2	16	no	—
60	#435	—	2	32	no	—
61	C₈×D₄	—	2	16	no	—
62	#432	—	2	8	no	—
63	#432	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
64	#431	—	2	4	no	—
65	#431	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
66	#423	—	2	4	no	—
67	#423	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
68	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
69	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
70	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
72	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
76	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
77	C₂×#97	—	2	4	no	—
78	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
79	#389	—	2	8	no	—
80	#389	—	2	4	no	—
81	#385	—	2	4	no	—
82	#385	—	2	8	no	—
83	#384	—	2	2	no	—
84	#384	—	2	4	no	—
85	#384	C₂×C₄	1	4	yes	—
86	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	#384	C₂³	1	2	yes	—
89	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
91	#382	C₂×C₄	1	4	yes	—
92	#380	—	2	4	no	—
93	#380	—	2	2	no	—
94	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
95	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
96	C₂×#41	—	2	4	no	—
97	C₂×#41	—	2	4	no	—
98	C₂×#41	C₄²	1	4	yes	—
99	C₂×#41	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
100	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
102	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
104	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
105	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
108	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
109	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
110	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
111	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
116	C₂²×C₈	—	8	4	no	—
117	C₂²×C₈	—	8	4	no	—
118	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
119	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
120	C₄×Q₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
121	C₄×D₄	—	4	16	no	—
122	C₄×D₄	—	4	8	no	—
123	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
124	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
125	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
126	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
127	#117	—	4	8	no	—
128	#117	—	4	4	no	—
129	#117	C₄²	1	4	yes	—
130	#117	C₄²	1	8	yes	—
131	#117	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
132	#117	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
147	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
150	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
155	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
167	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
168	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
169	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
170	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
171	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
172	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
173	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
174	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
175	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
176	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
177	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
178	#97	—	2	16	no	—
179	C₄×C₈	—	2	8	no	—
180	#95	—	2	4	no	—
181	#95	—	2	8	no	—
182	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
184	#41	—	2	16	no	—
185	#41	—	2	16	no	—
186	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
187	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
188	C₂×Q₈	#95	1	4	yes	—
189	C₂×D₄	—	2	4	no	—
190	C₂×D₄	—	2	4	no	—
191	C₂×D₄	#95	1	8	yes	—
192	C₂×D₄	#95	1	4	yes	—
193	C₂×D₄	#100	1	4	yes	—
194	C₂×D₄	#101	1	4	yes	—
195	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
212	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
213	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
214	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
228	M₁₆	—	8	8	no	—
229	C₂×C₈	—	2	4	no	—
230	C₂×C₈	—	2	4	no	—
231	C₂×C₈	—	2	8	no	—
232	C₂×C₈	—	4	2	no	—
233	C₂×C₈	—	4	4	no	—
234	C₂×C₈	—	4	2	no	—
235	C₂×C₈	—	4	2	no	—
236	C₂×C₈	—	4	4	no	—
237	C₂×C₈	—	4	2	no	—
238	C₂×C₈	—	8	16	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
243	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
250	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
251	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
252	C₄⋊C₄	#95	1	16	yes	—
253	C₄⋊C₄	#95	1	8	yes	—
254	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
256	C₂²⋊C₄	#95	1	8	yes	—
257	C₂²⋊C₄	#95	1	16	yes	—
258	C₄²	—	4	8	no	—
259	C₄²	—	4	4	no	—
260	C₄²	C₂×C₄²	1	4	yes	—
261	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
262	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
263	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
264	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
265	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
266	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
267	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
268	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
269	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
271	C₂³	—	2	4	no	—
272	C₂³	—	2	4	no	—
273	C₂³	—	2	1	no	—
274	C₂³	—	2	1	no	—
275	C₂³	—	2	2	no	—
276	C₂³	—	2	2	no	—
277	C₂³	C₂×#95	1	2	yes	—
278	C₂³	C₂×#95	1	4	yes	—
279	C₂³	C₂×#100	1	4	yes	—
280	C₂³	C₂×#101	1	4	yes	—
281	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
282	Q₈	—	2	8	no	—
283	D₄	—	2	16	no	—
284	D₄	#343	1	16	yes	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	1	no	—
287	C₂×C₄	—	2	1	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	8	no	—
294	C₂×C₄	—	2	8	no	—
295	C₂×C₄	—	2	8	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	8	no	—
298	C₂×C₄	—	2	4	no	—
299	C₂×C₄	—	2	8	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	8	no	—
302	C₂×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	4	2	no	—
306	C₂×C₄	—	4	4	no	—
307	C₂×C₄	—	4	2	no	—
308	C₂×C₄	—	4	4	no	—
309	C₂×C₄	—	4	8	no	—
310	C₂×C₄	—	4	4	no	—
311	C₂×C₄	—	16	8	no	—
312	C₂×C₄	—	16	4	no	—
313	C₂×C₄	C₂×#95	1	4	yes	—
314	C₂×C₄	C₂×#95	1	8	yes	—
315	C₂×C₄	C₂×#95	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	C₂×#95	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×#100	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×#101	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
327	C₈	—	4	4	no	—
328	C₈	—	4	8	no	—
329	C₈	—	4	4	no	—
330	C₂²	—	2	4	no	—
331	C₂²	—	2	8	no	—
332	C₂²	—	2	4	no	—
333	C₂²	—	2	8	no	—
334	C₂²	—	2	4	no	—
335	C₂²	—	2	2	no	—
336	C₂²	—	4	1	no	—
337	C₂²	—	4	2	no	—
338	C₂²	—	4	1	no	—
339	C₂²	C₂×#343	1	8	yes	—
340	C₂²	C₂²×#95	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	C₂²×#100	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	C₂²×#101	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	#2897	1	2	yes	—
344	C₂²	#2898	1	2	yes	—
345	C₄	—	2	8	no	—
346	C₄	—	2	4	no	—
347	C₄	—	2	1	no	—
348	C₄	—	2	1	no	—
349	C₄	—	2	4	no	—
350	C₄	—	8	2	no	—
351	C₄	—	8	4	no	—
352	C₄	—	8	2	no	—
353	C₄	C₂×#343	1	4	yes	—
354	C₄	#2897	1	2	yes	—
355	C₄	#2898	1	2	yes	—
356	C₄	#2912	1	2	yes	—
357	C₄	#2913	1	2	yes	—
358	C₂	—	2	8	no	—
359	C₂	—	4	2	no	—
360	C₂	#17770	1	1	yes	characteristic
361	C₂	#17774	1	2	yes	—
362	C₂	#17779	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#20348	1	2	yes	—
364	C₂	C₂²×#343	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂²×#41	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #8044	C₂	semidirect
4. #8043	C₂	semidirect
5. #8041	C₂	semidirect
6. #8040	C₂	semidirect
7. #8038	C₂	semidirect
8. C₂×#1296	C₂	semidirect
12. #2990	C₄	semidirect
63. #432	C₂×C₄	semidirect
65. #431	C₂×C₄	semidirect
67. #423	C₂×C₄	semidirect
71. C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2990	2
#34183	2
#8044	2
#8043	2
#8041	2
#8040	2
#8038	2
C₂×#1296	2