Subgroups — #181608

Order 512.

1786 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 349 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2988	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2906	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#34183	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#8045	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
5	#8043	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
6	#8039	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	C₂×#1296	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#131	—	2	1	no	—
9	C₂×#520	—	2	1	no	—
10	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#2988	—	2	4	no	—
12	#2988	C₄	1	8	yes	complemented
13	C₂×C₈×Q₈	—	2	1	no	—
14	C₂×C₈×D₄	—	2	3	no	—
15	C₂×#431	C₂²	1	3	yes	—
16	#2906	—	2	4	no	—
17	#2906	C₄	1	8	yes	complemented
18	C₂×#424	—	2	3	no	—
19	C₂×#423	C₂²	1	3	yes	—
20	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	3	yes	—
21	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	3	yes	—
22	Q₈×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
23	Q₈×C₄⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
24	D₄×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
25	D₄×C₄⋊C₄	C₄	1	6	yes	—
26	#2317	—	2	3	no	—
27	#2285	C₂²	1	3	yes	—
28	C₂×#384	C₂²	1	3	yes	—
29	#1296	C₂²	1	3	yes	—
30	#1296	C₂²	1	6	yes	—
31	#1296	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1296	C₂²	1	3	yes	—
33	#1296	C₂²	1	3	yes	—
34	C₂²×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#131	—	2	8	no	—
36	C₂×#131	—	4	4	no	—
37	C₂×#131	—	4	4	no	—
38	C₂²×M₁₆	—	2	3	no	—
39	C₂³×C₈	—	2	3	no	—
40	C₂³×C₈	—	2	3	no	—
41	#520	—	4	4	no	—
42	#520	—	4	4	no	—
43	C₄×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₄×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₄×#41	D₄	1	4	yes	—
46	C₄×#41	Q₈	1	4	yes	—
47	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂×C₄×D₄	—	2	6	no	—
51	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
52	C₂×C₄×D₄	D₄	1	3	yes	—
53	C₂×#117	—	2	3	no	—
54	C₂×#117	D₄	1	3	yes	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
57	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
59	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
60	C₈×D₄	—	2	24	no	—
61	#431	—	2	6	no	—
62	#431	C₂×C₄	1	12	yes	complemented
63	#424	—	2	24	no	—
64	#423	—	2	6	no	—
65	#423	C₂×C₄	1	12	yes	complemented
66	C₂×C₄⋊C₈	—	2	3	no	—
67	C₂×C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
68	C₂×C₄⋊C₈	—	2	3	no	—
69	C₂×C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
70	C₂×C₄⋊C₈	—	2	3	no	—
71	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	12	yes	complemented
72	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	12	yes	complemented
73	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
75	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
76	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	3	no	—
78	C₂×C₄×C₈	—	2	3	no	—
79	#389	—	2	6	no	—
80	#389	—	2	6	no	—
81	#385	—	2	12	no	—
82	#384	—	2	3	no	—
83	#384	—	2	3	no	—
84	#384	C₂×C₄	1	6	yes	—
85	#384	C₂³	1	3	yes	—
86	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	#382	—	2	3	no	—
88	#380	—	2	3	no	—
89	#380	C₂×C₄	1	6	yes	—
90	C₄×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
91	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
92	C₂×#41	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
93	C₂×#41	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
94	C₂×#41	D₈	1	4	yes	—
95	C₂×#41	SD₁₆	1	4	yes	—
96	C₂×#41	SD₁₆	1	4	yes	—
97	C₂×#41	Q₁₆	1	4	yes	—
98	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
100	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
101	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
104	#131	—	4	32	no	—
105	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
106	C₂×M₁₆	—	4	6	no	—
107	C₂×M₁₆	—	4	6	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	3	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	3	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
114	C₂²×C₈	—	4	6	no	—
115	C₂²×C₈	—	4	6	no	—
116	C₂²×C₈	—	8	3	no	—
117	C₂²×C₈	—	8	3	no	—
118	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
119	C₄×Q₈	C₄²	1	4	yes	—
120	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
121	C₄×Q₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
122	C₄×Q₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
123	C₄×D₄	—	4	24	no	—
124	C₄×D₄	C₄²	1	12	yes	—
125	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
126	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	12	yes	—
127	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	12	yes	—
128	#117	—	4	6	no	—
129	#117	—	4	6	no	—
130	#117	C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
131	#117	C₄⋊C₄	1	12	yes	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	8	3	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	8	3	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	8	6	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
145	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
146	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
147	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
150	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
151	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	6	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
159	C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
160	C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
161	C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
162	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
163	C₄⋊C₈	—	2	3	no	—
164	C₄⋊C₈	—	2	3	no	—
165	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
166	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
167	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
168	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
169	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
170	C₂²⋊C₈	—	2	12	no	—
171	C₄×C₈	—	2	12	no	—
172	#95	—	2	6	no	—
173	#95	—	2	6	no	—
174	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
175	#41	#102	1	16	yes	—
176	#41	#103	1	16	yes	—
177	#41	#106	1	16	yes	—
178	#41	#107	1	16	yes	—
179	C₂×Q₈	#95	1	4	yes	—
180	C₂×Q₈	#102	1	4	yes	—
181	C₂×Q₈	#103	1	4	yes	—
182	C₂×D₄	#95	1	12	yes	—
183	C₂×D₄	#102	1	12	yes	—
184	C₂×D₄	#103	1	12	yes	—
185	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
191	C₂²×C₄	—	4	3	no	—
192	C₂²×C₄	—	4	3	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
194	C₂²×C₄	—	8	6	no	—
195	C₂²×C₄	—	8	6	no	—
196	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	6	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	6	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	6	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	6	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	6	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
212	M₁₆	—	4	24	no	—
213	C₂×C₈	—	2	2	no	—
214	C₂×C₈	—	2	6	no	—
215	C₂×C₈	—	2	2	no	—
216	C₂×C₈	—	2	6	no	—
217	C₂×C₈	—	4	1	no	—
218	C₂×C₈	—	4	3	no	—
219	C₂×C₈	—	4	1	no	—
220	C₂×C₈	—	4	3	no	—
221	C₂×C₈	—	4	3	no	—
222	C₂×C₈	—	4	1	no	—
223	C₂×C₈	—	4	3	no	—
224	C₂×C₈	—	4	1	no	—
225	C₂×C₈	—	4	24	no	—
226	C₂×C₈	—	8	12	no	—
227	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
228	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
229	C₄⋊C₄	—	4	3	no	—
230	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
231	C₄⋊C₄	—	4	3	no	—
232	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
233	C₄⋊C₄	—	4	3	no	—
234	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
235	C₄⋊C₄	—	4	3	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
237	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
238	C₄⋊C₄	—	8	6	no	—
239	C₄⋊C₄	—	8	6	no	—
240	C₄⋊C₄	#95	1	12	yes	—
241	C₄⋊C₄	#95	1	12	yes	—
242	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
243	C₂²⋊C₄	#95	1	24	yes	—
244	C₄²	—	4	12	no	—
245	C₄²	C₂×C₄²	1	6	yes	—
246	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
247	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
248	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
249	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
250	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
251	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
252	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
253	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
254	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
255	C₂³	—	2	3	no	—
256	C₂³	—	2	3	no	—
257	C₂³	—	2	3	no	—
258	C₂³	—	2	3	no	—
259	C₂³	C₂×#95	1	6	yes	—
260	C₂³	C₂×#102	1	6	yes	—
261	C₂³	C₂×#103	1	6	yes	—
262	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
263	Q₈	#340	1	16	yes	—
264	D₄	#340	1	48	yes	—
265	C₂×C₄	—	2	1	no	—
266	C₂×C₄	—	2	3	no	—
267	C₂×C₄	—	2	1	no	—
268	C₂×C₄	—	2	3	no	—
269	C₂×C₄	—	2	3	no	—
270	C₂×C₄	—	2	3	no	—
271	C₂×C₄	—	2	6	no	—
272	C₂×C₄	—	2	6	no	—
273	C₂×C₄	—	2	6	no	—
274	C₂×C₄	—	2	6	no	—
275	C₂×C₄	—	4	6	no	—
276	C₂×C₄	—	4	6	no	—
277	C₂×C₄	—	4	6	no	—
278	C₂×C₄	—	4	2	no	—
279	C₂×C₄	—	4	2	no	—
280	C₂×C₄	—	4	6	no	—
281	C₂×C₄	—	4	6	no	—
282	C₂×C₄	—	4	2	no	—
283	C₂×C₄	—	16	12	no	—
284	C₂×C₄	C₂×#95	1	6	yes	—
285	C₂×C₄	C₂×#95	1	6	yes	—
286	C₂×C₄	C₂×#95	1	6	yes	—
287	C₂×C₄	C₂×#102	1	12	yes	—
288	C₂×C₄	C₂×#102	1	6	yes	—
289	C₂×C₄	C₂×#103	1	12	yes	—
290	C₂×C₄	C₂×#103	1	6	yes	—
291	C₂×C₄	C₂×#106	1	12	yes	—
292	C₂×C₄	C₂×#107	1	12	yes	—
293	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
307	C₈	—	4	2	no	—
308	C₈	—	4	6	no	—
309	C₈	—	4	6	no	—
310	C₈	—	4	2	no	—
311	C₂²	—	2	6	no	—
312	C₂²	—	2	6	no	—
313	C₂²	—	2	6	no	—
314	C₂²	—	2	6	no	—
315	C₂²	—	2	6	no	—
316	C₂²	—	2	6	no	—
317	C₂²	C₂×#340	1	12	yes	—
318	C₂²	C₂²×#95	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	#2888	1	1	yes	characteristic
320	C₂²	#2889	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	C₂²×#102	1	1	yes	characteristic
322	C₂²	C₂²×#103	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	#2897	1	1	yes	characteristic
324	C₂²	#2898	1	1	yes	characteristic
325	C₄	—	2	6	no	—
326	C₄	—	2	1	no	—
327	C₄	—	2	1	no	—
328	C₄	—	2	6	no	—
329	C₄	—	8	6	no	—
330	C₄	—	8	2	no	—
331	C₄	C₂×#340	1	12	yes	—
332	C₄	C₂²×#102	1	1	yes	characteristic
333	C₄	C₂²×#103	1	1	yes	characteristic
334	C₄	#2897	1	1	yes	characteristic
335	C₄	#2898	1	1	yes	characteristic
336	C₄	C₂²×#106	1	1	yes	characteristic
337	C₄	C₂²×#107	1	1	yes	characteristic
338	C₄	#2912	1	1	yes	characteristic
339	C₄	#2913	1	1	yes	characteristic
340	C₂	—	2	12	no	—
341	C₂	#17720	1	1	yes	characteristic
342	C₂	#17721	1	1	yes	characteristic
343	C₂	#17722	1	1	yes	characteristic
344	C₂	#17723	1	1	yes	characteristic
345	C₂	C₂²×#340	1	1	yes	characteristic
346	C₂	#20348	1	1	yes	characteristic
347	C₂	#20358	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂²×#41	D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #8045	C₂	semidirect
5. #8043	C₂	semidirect
6. #8039	C₂	semidirect
7. C₂×#1296	C₂	semidirect
12. #2988	C₄	semidirect
17. #2906	C₄	semidirect
62. #431	C₂×C₄	semidirect
65. #423	C₂×C₄	semidirect
71. C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
72. C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2988	2
C₂×#2906	2
#34183	2
#8045	2
#8043	2
#8039	2
C₂×#1296	2