Subgroups — #181621

Order 512.

2582 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 337 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60064	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²⋊C₄×#41	C₂	1	2	yes	maximal
3	#8051	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
4	#8049	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1297	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
6	C₂³×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
7	C₂×#568	C₄	1	2	yes	complemented
8	C₂×C₄×#41	—	2	2	no	—
9	#2880	—	2	2	no	—
10	#2880	—	2	6	no	—
11	#2879	C₄	1	6	yes	complemented
12	C₂×#407	C₂²	1	3	yes	—
13	C₂×#407	C₂²	1	3	yes	—
14	#2341	C₄	1	4	yes	complemented
15	Q₈×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
16	#2339	C₄	1	12	yes	complemented
17	D₄×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
18	#2297	—	2	6	no	—
19	#2280	C₂²	1	6	yes	—
20	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	6	yes	—
21	#1297	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1297	C₂²	1	3	yes	—
23	#1297	C₂²	1	6	yes	—
24	#1297	C₂²	1	6	yes	—
25	C₂²×#41	—	4	8	no	—
26	C₂²×#41	C₂×C₄	1	6	yes	—
27	C₂²×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
28	C₂²×#41	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×#41	C₂×C₄	1	3	yes	—
30	C₂²×#41	D₄	1	2	yes	—
31	C₂²×#41	D₄	1	6	yes	—
32	C₂²×#41	Q₈	1	3	yes	—
33	C₂²×#41	Q₈	1	1	yes	characteristic
34	C₂³×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
35	C₂³×D₄	D₄	1	3	yes	—
36	C₂⁴×C₄	C₂³	1	3	yes	—
37	#568	—	4	8	no	—
38	C₂×#131	—	2	6	no	—
39	C₂×#131	—	2	2	no	—
40	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	6	yes	complemented
41	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	6	yes	complemented
42	C₄×#41	—	4	16	no	—
43	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
44	C₂×C₄×D₄	—	2	12	no	—
45	C₂×#117	—	2	6	no	—
46	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
47	C₂²×C₄²	—	2	6	no	—
48	#408	—	2	12	no	—
49	#408	—	2	12	no	—
50	#407	—	2	6	no	—
51	#407	—	2	6	no	—
52	#407	C₂×C₄	1	6	yes	complemented
53	#407	C₂×C₄	1	6	yes	complemented
54	#407	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	#407	C₂³	1	3	yes	—
56	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	6	no	—
57	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	6	no	—
58	#391	—	2	12	no	—
59	#390	—	2	12	no	—
60	#386	—	2	24	no	—
61	#381	C₂×C₄	1	12	yes	complemented
62	#380	—	2	6	no	—
63	#380	C₂×C₄	1	12	yes	complemented
64	#379	—	2	6	no	—
65	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
66	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
67	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
68	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	12	yes	complemented
69	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
70	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
71	C₂×#95	C₂×C₄	1	12	yes	complemented
72	C₂⁵	C₂×D₄	1	3	yes	—
73	C₂×#41	—	2	16	no	—
74	C₂×#41	—	2	8	no	—
75	C₂×#41	—	4	12	no	—
76	C₂×#41	—	4	24	no	—
77	C₂×#41	—	4	24	no	—
78	C₂×#41	—	4	12	no	—
79	C₂×#41	—	4	8	no	—
80	C₂×#41	—	4	4	no	—
81	C₂×#41	C₄²	1	1	yes	characteristic
82	C₂×#41	C₄²	1	3	yes	—
83	C₂×#41	C₄²	1	6	yes	—
84	C₂×#41	C₄²	1	6	yes	—
85	C₂×#41	C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
86	C₂×#41	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
87	C₂×#41	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
88	C₂×#41	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂×#41	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
90	C₂×#41	C₄⋊C₄	1	6	yes	—
91	C₂×#41	C₄⋊C₄	1	12	yes	—
92	C₂×#41	C₄⋊C₄	1	6	yes	—
93	C₂×#41	C₄⋊C₄	1	6	yes	—
94	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
95	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
96	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
97	C₂²×Q₈	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×Q₈	C₄⋊C₄	1	3	yes	—
99	C₂²×D₄	—	4	12	no	—
100	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
101	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
102	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
103	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	3	yes	—
104	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	3	yes	—
105	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	6	yes	—
106	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
107	C₂³×C₄	—	4	12	no	—
108	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
110	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
111	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
112	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
113	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
114	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
115	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	3	yes	—
116	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	3	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
118	#131	—	4	24	no	—
119	#131	—	4	8	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	6	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	6	no	—
122	C₂×M₁₆	—	4	12	no	—
123	C₂×M₁₆	—	4	12	no	—
124	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	6	yes	—
125	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
126	C₂²×C₈	—	2	6	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	6	no	—
128	C₄×Q₈	—	4	16	no	—
129	C₄×D₄	—	4	48	no	—
130	#117	—	4	24	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
138	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
139	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
140	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄²	—	4	24	no	—
142	C₂²⋊C₈	—	2	12	no	—
143	C₂²⋊C₈	—	2	12	no	—
144	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
145	C₂²⋊C₈	—	2	6	no	—
146	#95	—	2	12	no	—
147	#95	—	2	12	no	—
148	#95	C₂²×C₄	1	4	yes	—
149	#95	C₂²×C₄	1	12	yes	—
150	C₂⁴	—	4	12	no	—
151	C₂⁴	—	4	6	no	—
152	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
153	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
154	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
155	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
156	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
157	#41	—	2	4	no	—
158	#41	—	2	8	no	—
159	#41	—	2	12	no	—
160	#41	—	2	24	no	—
161	#41	—	2	12	no	—
162	#41	—	2	24	no	—
163	#41	—	4	12	no	—
164	#41	—	4	12	no	—
165	#41	—	4	24	no	—
166	#41	—	4	12	no	—
167	#41	—	4	12	no	—
168	#41	—	4	12	no	—
169	#41	#99	1	8	yes	—
170	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
171	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
172	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
173	C₂×Q₈	—	4	6	no	—
174	C₂×Q₈	#95	1	6	yes	—
175	C₂×Q₈	#95	1	3	yes	—
176	C₂×Q₈	#95	1	6	yes	—
177	C₂×Q₈	#95	1	1	yes	characteristic
178	C₂×D₄	—	2	24	no	—
179	C₂×D₄	—	2	12	no	—
180	C₂×D₄	—	4	12	no	—
181	C₂×D₄	—	4	6	no	—
182	C₂×D₄	—	4	24	no	—
183	C₂×D₄	—	4	12	no	—
184	C₂×D₄	#95	1	12	yes	—
185	C₂×D₄	#95	1	6	yes	—
186	C₂×D₄	#95	1	6	yes	—
187	C₂×D₄	#95	1	3	yes	—
188	C₂×D₄	#95	1	6	yes	—
189	C₂×D₄	#95	1	12	yes	—
190	C₂×D₄	#95	1	3	yes	—
191	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
205	C₂²×C₄	—	8	12	no	—
206	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	3	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	3	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	6	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
224	M₁₆	—	4	12	no	—
225	M₁₆	—	4	12	no	—
226	M₁₆	—	4	6	no	—
227	M₁₆	—	4	2	no	—
228	C₂×C₈	—	2	6	no	—
229	C₂×C₈	—	2	2	no	—
230	C₂×C₈	—	4	12	no	—
231	C₂×C₈	—	4	12	no	—
232	C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
233	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
234	C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	8	12	no	—
238	C₄²	—	4	4	no	—
239	C₄²	—	4	12	no	—
240	C₄²	—	4	24	no	—
241	C₂³	—	2	4	no	—
242	C₂³	—	2	12	no	—
243	C₂³	—	2	12	no	—
244	C₂³	—	2	12	no	—
245	C₂³	—	2	6	no	—
246	C₂³	—	4	1	no	—
247	C₂³	—	4	6	no	—
248	C₂³	—	4	6	no	—
249	C₂³	—	4	6	no	—
250	C₂³	—	4	3	no	—
251	C₂³	—	4	6	no	—
252	C₂³	—	4	6	no	—
253	C₂³	—	8	24	no	—
254	C₂³	C₂×#95	1	3	yes	—
255	C₂³	C₂×#95	1	6	yes	—
256	C₂³	C₂×#95	1	3	yes	—
257	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
258	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
259	Q₈	—	2	12	no	—
260	Q₈	—	2	6	no	—
261	Q₈	—	4	6	no	—
262	Q₈	#342	1	4	yes	—
263	D₄	—	2	24	no	—
264	D₄	—	2	12	no	—
265	D₄	—	2	12	no	—
266	D₄	—	2	6	no	—
267	D₄	—	4	12	no	—
268	D₄	—	4	6	no	—
269	D₄	#342	1	12	yes	—
270	C₂×C₄	—	2	6	no	—
271	C₂×C₄	—	2	12	no	—
272	C₂×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂×C₄	—	2	6	no	—
274	C₂×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	12	no	—
276	C₂×C₄	—	2	12	no	—
277	C₂×C₄	—	2	6	no	—
278	C₂×C₄	—	2	6	no	—
279	C₂×C₄	—	2	12	no	—
280	C₂×C₄	—	2	8	no	—
281	C₂×C₄	—	4	2	no	—
282	C₂×C₄	—	4	1	no	—
283	C₂×C₄	—	4	6	no	—
284	C₂×C₄	—	4	6	no	—
285	C₂×C₄	—	4	3	no	—
286	C₂×C₄	—	4	6	no	—
287	C₂×C₄	—	4	6	no	—
288	C₂×C₄	—	4	4	no	—
289	C₂×C₄	—	4	4	no	—
290	C₂×C₄	—	4	12	no	—
291	C₂×C₄	—	4	12	no	—
292	C₂×C₄	—	4	12	no	—
293	C₂×C₄	—	8	48	no	—
294	C₂×C₄	C₂×#95	1	3	yes	—
295	C₂×C₄	C₂×#95	1	6	yes	—
296	C₂×C₄	C₂×#95	1	3	yes	—
297	C₂×C₄	C₂×#99	1	12	yes	—
298	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
301	C₈	—	4	6	no	—
302	C₈	—	4	2	no	—
303	C₂²	—	2	2	no	—
304	C₂²	—	2	6	no	—
305	C₂²	—	2	2	no	—
306	C₂²	—	2	2	no	—
307	C₂²	—	2	6	no	—
308	C₂²	—	2	6	no	—
309	C₂²	—	2	6	no	—
310	C₂²	—	2	1	no	—
311	C₂²	—	2	6	no	—
312	C₂²	—	2	3	no	—
313	C₂²	—	4	24	no	—
314	C₂²	—	4	4	no	—
315	C₂²	—	8	12	no	—
316	C₂²	—	8	6	no	—
317	C₂²	—	8	6	no	—
318	C₂²	C₂×#342	1	6	yes	—
319	C₂²	C₂²×#95	1	1	yes	characteristic
320	C₂²	#2901	1	4	yes	—
321	C₄	—	2	2	no	—
322	C₄	—	2	1	no	—
323	C₄	—	2	3	no	—
324	C₄	—	2	6	no	—
325	C₄	—	4	8	no	—
326	C₄	—	8	12	no	—
327	C₄	C₂×#342	1	6	yes	—
328	C₄	C₂²×#99	1	2	yes	—
329	C₂	—	2	4	no	—
330	C₂	—	2	6	no	—
331	C₂	—	4	6	no	—
332	C₂	—	4	1	no	—
333	C₂	—	4	3	no	—
334	C₂	#20343	1	2	yes	—
335	C₂	C₂²×#342	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂²×#95
prime radical	C₂³×#41	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #8051	C₂	semidirect
4. #8049	C₂	semidirect
5. C₂×#1297	C₂	semidirect
7. C₂×#568	C₄	semidirect
11. #2879	C₄	semidirect
14. #2341	C₄	semidirect
16. #2339	C₄	semidirect
40. C₂²×M₁₆	C₂×C₄	semidirect
41. C₂²×M₁₆	C₂×C₄	semidirect
52. #407	C₂×C₄	semidirect
53. #407	C₂×C₄	semidirect
61. #381	C₂×C₄	semidirect
63. #380	C₂×C₄	semidirect
68. C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
71. C₂×#95	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60064	2
C₂²⋊C₄×#41	2
#8051	2
#8049	2
C₂×#1297	2