Subgroups — #181638

Order 512.

1507 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 388 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60230	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2974	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#2972	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#8058	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#8057	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8054	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂×#1298	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	#2975	—	2	1	no	—
10	#2974	—	2	4	no	—
11	#2974	—	2	4	no	—
12	#2974	C₄	1	8	yes	—
13	#2973	—	2	2	no	—
14	#2972	—	2	4	no	—
15	#2972	—	2	1	no	—
16	#2972	C₄	1	4	yes	—
17	#2972	C₄	1	2	yes	—
18	#2972	C₄	1	2	yes	—
19	D₄×M₁₆	C₄	1	8	yes	—
20	C₂×#436	—	2	1	no	—
21	C₂×#435	—	2	2	no	—
22	C₂×C₈×D₄	—	2	4	no	—
23	C₂×C₈×D₄	—	2	1	no	—
24	#2920	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#432	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#407	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#407	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
32	#1298	C₂²	1	4	yes	—
33	#1298	C₂²	1	8	yes	—
34	#1298	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂³×D₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
36	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
38	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
39	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
40	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
41	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
42	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂×C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂×C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
48	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
49	C₂×C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂×C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
51	C₂²×C₄⋊C₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₂²⋊C₄	Q₈	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	#436	—	2	8	no	—
55	#436	—	2	8	no	—
56	#435	—	2	16	no	—
57	#435	—	2	16	no	—
58	C₈×D₄	—	2	16	no	—
59	C₈×D₄	—	2	8	no	—
60	C₈×D₄	—	2	8	no	—
61	C₈×D₄	—	2	8	no	—
62	C₈×D₄	—	2	8	no	—
63	#432	—	2	2	no	—
64	#432	—	2	2	no	—
65	#432	—	2	2	no	—
66	#432	C₂×C₄	1	4	yes	—
67	#431	—	2	2	no	—
68	#431	—	2	2	no	—
69	#431	—	2	2	no	—
70	#431	—	2	2	no	—
71	#431	—	2	2	no	—
72	#431	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	#431	C₂×C₄	1	4	yes	—
74	#431	C₂×C₄	1	4	yes	—
75	#423	C₂×C₄	1	4	yes	—
76	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
78	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
79	#407	—	2	4	no	—
80	#407	—	2	4	no	—
81	#407	—	2	4	no	—
82	#407	C₂×C₄	1	8	yes	—
83	#407	C₂×C₄	1	8	yes	—
84	#407	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
86	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
87	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
88	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
89	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
90	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
91	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
92	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
93	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
94	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
95	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
96	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
101	C₂×#97	—	2	1	no	—
102	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
103	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
104	C₂⁵	C₂×Q₈	1	2	yes	—
105	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
106	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
107	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
108	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
109	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂³×C₄	—	8	4	no	—
112	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
113	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
115	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
116	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
118	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
121	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
122	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
123	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
124	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
126	C₂×M₁₆	—	8	4	no	—
127	C₂×M₁₆	—	8	8	no	—
128	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
129	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
137	C₂²×C₈	—	8	8	no	—
138	C₂²×C₈	—	8	4	no	—
139	C₄×D₄	C₄²	1	8	yes	—
140	C₄×D₄	C₄²	1	4	yes	—
141	C₄×D₄	C₄²	1	4	yes	—
142	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
143	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
144	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
145	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
146	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
147	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
148	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
149	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
150	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
151	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
152	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
154	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
171	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
172	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
173	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
174	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
175	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
176	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
177	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
178	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
179	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
180	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
181	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
182	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
183	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
184	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
185	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
186	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
187	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
188	C₂²⋊C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
189	C₂²⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
190	C₂²⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
191	C₂²⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
192	#97	—	2	4	no	—
193	#97	—	2	4	no	—
194	C₄×C₈	—	2	4	no	—
195	C₄×C₈	—	2	4	no	—
196	C₄×C₈	—	2	4	no	—
197	C₄×C₈	—	2	4	no	—
198	C₂⁴	—	2	8	no	—
199	C₂⁴	—	4	4	no	—
200	C₂⁴	—	8	2	no	—
201	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
202	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
203	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
204	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
205	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
206	C₂×D₄	—	2	8	no	—
207	C₂×D₄	—	2	16	no	—
208	C₂×D₄	—	2	16	no	—
209	C₂×D₄	—	2	4	no	—
210	C₂×D₄	#95	1	8	yes	—
211	C₂×D₄	#95	1	4	yes	—
212	C₂×D₄	#95	1	4	yes	—
213	C₂×D₄	#108	1	8	yes	—
214	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
226	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
252	M₁₆	—	4	8	no	—
253	M₁₆	—	8	8	no	—
254	M₁₆	—	8	8	no	—
255	C₂×C₈	—	2	8	no	—
256	C₂×C₈	—	2	2	no	—
257	C₂×C₈	—	2	2	no	—
258	C₂×C₈	—	2	4	no	—
259	C₂×C₈	—	2	8	no	—
260	C₂×C₈	—	4	8	no	—
261	C₂×C₈	—	4	2	no	—
262	C₂×C₈	—	4	4	no	—
263	C₂×C₈	—	4	2	no	—
264	C₂×C₈	—	8	8	no	—
265	C₂×C₈	—	8	8	no	—
266	C₂×C₈	—	8	8	no	—
267	C₂×C₈	—	8	8	no	—
268	C₄⋊C₄	#95	1	8	yes	—
269	C₄⋊C₄	#95	1	4	yes	—
270	C₄⋊C₄	#95	1	4	yes	—
271	C₂²⋊C₄	#95	1	8	yes	—
272	C₂²⋊C₄	#95	1	8	yes	—
273	C₂²⋊C₄	#95	1	8	yes	—
274	C₂²⋊C₄	#95	1	8	yes	—
275	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
276	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
277	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
278	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
279	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
280	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
281	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
282	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
283	C₂³	—	2	2	no	—
284	C₂³	—	2	2	no	—
285	C₂³	—	2	8	no	—
286	C₂³	—	2	8	no	—
287	C₂³	—	2	4	no	—
288	C₂³	—	2	8	no	—
289	C₂³	—	4	1	no	—
290	C₂³	—	4	2	no	—
291	C₂³	—	4	4	no	—
292	C₂³	—	4	2	no	—
293	C₂³	—	4	2	no	—
294	C₂³	—	4	4	no	—
295	C₂³	—	4	2	no	—
296	C₂³	—	4	4	no	—
297	C₂³	—	8	16	no	—
298	C₂³	C₂×#95	1	4	yes	—
299	C₂³	C₂×#95	1	4	yes	—
300	C₂³	C₂×#108	1	8	yes	—
301	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
302	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
303	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
304	D₄	—	2	16	no	—
305	D₄	—	2	8	no	—
306	D₄	#341	1	16	yes	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	4	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	8	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	8	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	4	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	4	4	no	—
319	C₂×C₄	—	4	4	no	—
320	C₂×C₄	—	4	1	no	—
321	C₂×C₄	—	4	1	no	—
322	C₂×C₄	—	4	1	no	—
323	C₂×C₄	—	4	4	no	—
324	C₂×C₄	—	4	4	no	—
325	C₂×C₄	—	4	2	no	—
326	C₂×C₄	—	4	4	no	—
327	C₂×C₄	—	4	2	no	—
328	C₂×C₄	—	4	4	no	—
329	C₂×C₄	—	4	1	no	—
330	C₂×C₄	—	4	1	no	—
331	C₂×C₄	—	4	2	no	—
332	C₂×C₄	C₂×#95	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	C₂×#95	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	C₂×#95	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×#95	1	4	yes	—
336	C₂×C₄	C₂×#95	1	4	yes	—
337	C₂×C₄	C₂×#95	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	C₂×#108	1	4	yes	—
339	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
343	C₈	—	4	8	no	—
344	C₈	—	4	2	no	—
345	C₈	—	4	4	no	—
346	C₈	—	4	2	no	—
347	C₈	—	4	8	no	—
348	C₂²	—	2	1	no	—
349	C₂²	—	2	1	no	—
350	C₂²	—	2	4	no	—
351	C₂²	—	2	1	no	—
352	C₂²	—	2	1	no	—
353	C₂²	—	2	4	no	—
354	C₂²	—	2	1	no	—
355	C₂²	—	2	4	no	—
356	C₂²	—	2	1	no	—
357	C₂²	—	2	4	no	—
358	C₂²	—	2	1	no	—
359	C₂²	—	2	4	no	—
360	C₂²	—	4	8	no	—
361	C₂²	—	4	16	no	—
362	C₂²	—	4	4	no	—
363	C₂²	—	8	4	no	—
364	C₂²	—	8	8	no	—
365	C₂²	C₂×#341	1	8	yes	—
366	C₂²	C₂²×#95	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	C₂²×#108	1	2	yes	—
368	C₂²	#2916	1	2	yes	—
369	C₄	—	2	2	no	—
370	C₄	—	2	2	no	—
371	C₄	—	2	2	no	—
372	C₄	—	2	1	no	—
373	C₄	—	2	1	no	—
374	C₄	—	2	1	no	—
375	C₄	—	2	4	no	—
376	C₄	—	2	4	no	—
377	C₄	C₂×#341	1	4	yes	—
378	C₄	#2883	1	2	yes	—
379	C₂	—	2	2	no	—
380	C₂	—	2	2	no	—
381	C₂	—	2	8	no	—
382	C₂	—	4	4	no	—
383	C₂	—	4	1	no	—
384	C₂	C₂²×#341	1	1	yes	characteristic
385	C₂	#20351	1	1	yes	characteristic
386	C₂	#20354	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂²×#95
prime radical	C₂³×D₄	Q₈
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #8058	C₂	semidirect
5. #8057	C₂	semidirect
6. #8054	C₂	semidirect
7. C₂×#1298	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60230	2
C₂×#2974	2
C₂×#2972	2
#8058	2
#8057	2
#8054	2
C₂×#1298	2