Subgroups — #181658

Order 512.

1344 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 362 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60276	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#60263	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	M₁₆×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#8066	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
5	#8065	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
6	#8060	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	C₂×#1299	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	#2991	—	2	1	no	—
10	#2990	—	2	3	no	—
11	#2989	—	2	3	no	—
12	#2988	—	2	1	no	—
13	#2988	C₄	1	6	yes	—
14	#2988	C₄	1	2	yes	—
15	#2982	—	2	1	no	—
16	#2972	—	2	3	no	—
17	#2971	C₄	1	2	yes	—
18	#2970	C₄	1	6	yes	—
19	#2965	—	2	3	no	—
20	C₈×#41	—	2	1	no	—
21	C₈×#41	—	2	3	no	—
22	C₈×#41	—	2	1	no	—
23	Q₈×M₁₆	—	2	1	no	—
24	Q₈×M₁₆	C₄	1	2	yes	—
25	D₄×M₁₆	—	2	3	no	—
26	D₄×M₁₆	C₄	1	6	yes	—
27	#2920	C₂²	1	3	yes	—
28	#2920	C₂²	1	3	yes	—
29	C₂×#431	C₂²	1	3	yes	—
30	C₂×#431	C₂²	1	3	yes	—
31	C₂×#423	C₂²	1	3	yes	—
32	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	3	yes	—
33	#1299	C₂²	1	3	yes	—
34	#1299	C₂²	1	6	yes	—
35	#1299	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1299	C₂²	1	3	yes	—
37	#1299	C₂²	1	3	yes	—
38	C₂²×#41	Q₈	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×M₁₆	—	2	3	no	—
40	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	6	yes	—
41	C₄×#41	C₂×C₄	1	3	yes	—
42	C₄×#41	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₄×#41	C₂×C₄	1	3	yes	—
44	C₄×#41	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₄×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
46	C₄×#41	D₄	1	3	yes	—
47	C₄×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
48	C₄×#41	D₄	1	3	yes	—
49	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
52	C₂×C₄×D₄	D₄	1	3	yes	—
53	C₂×#117	Q₈	1	3	yes	—
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
55	#446	—	2	6	no	—
56	#446	—	2	6	no	—
57	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
58	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
59	C₈×Q₈	—	2	6	no	—
60	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
61	#436	—	2	6	no	—
62	#436	—	2	6	no	—
63	#435	—	2	12	no	—
64	#435	—	2	12	no	—
65	C₈×D₄	—	2	6	no	—
66	C₈×D₄	—	2	6	no	—
67	C₈×D₄	—	2	12	no	—
68	C₈×D₄	—	2	6	no	—
69	C₈×D₄	—	2	6	no	—
70	#432	—	2	3	no	—
71	#432	—	2	3	no	—
72	#432	C₂×C₄	1	6	yes	—
73	#432	C₂×C₄	1	6	yes	—
74	#431	—	2	3	no	—
75	#431	—	2	3	no	—
76	#431	—	2	3	no	—
77	#431	—	2	3	no	—
78	#431	—	2	3	no	—
79	#431	—	2	3	no	—
80	#431	—	2	3	no	—
81	#431	—	2	3	no	—
82	#431	C₂×C₄	1	6	yes	—
83	#431	C₂×C₄	1	6	yes	—
84	#431	C₂³	1	3	yes	—
85	#431	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	#423	—	2	3	no	—
87	#423	—	2	3	no	—
88	#423	—	2	3	no	—
89	#423	C₂×C₄	1	6	yes	—
90	#423	C₂³	1	3	yes	—
91	#423	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄⋊C₈	—	2	3	no	—
93	C₂×C₄⋊C₈	—	2	3	no	—
94	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	6	yes	—
95	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	6	yes	—
96	#407	—	2	3	no	—
97	#407	C₂×C₄	1	6	yes	—
98	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	3	no	—
99	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	3	no	—
100	C₄×M₁₆	—	2	3	no	—
101	C₄×M₁₆	—	2	3	no	—
102	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	6	yes	—
103	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	6	yes	—
104	C₄×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₄×M₁₆	C₂³	1	3	yes	—
106	C₂×#97	C₂×C₄	1	6	yes	—
107	C₂×C₄×C₈	—	2	3	no	—
108	C₂×C₄×C₈	—	2	3	no	—
109	C₂×C₄×C₈	—	2	3	no	—
110	C₂×#41	—	2	8	no	—
111	C₂×#41	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂×#41	C₄⋊C₄	1	3	yes	—
113	C₂×#41	C₄⋊C₄	1	3	yes	—
114	C₂×#41	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×Q₈	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	3	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
118	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	3	yes	—
120	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	6	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	3	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	6	no	—
124	C₂×M₁₆	—	4	12	no	—
125	C₂×M₁₆	—	8	6	no	—
126	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	6	yes	—
127	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
128	C₂²×C₈	—	2	6	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	6	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	6	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	6	no	—
132	C₄×Q₈	C₄²	1	3	yes	—
133	C₄×Q₈	C₄²	1	1	yes	characteristic
134	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
136	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
137	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
138	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
140	C₄×D₄	C₄²	1	6	yes	—
141	C₄×D₄	C₄²	1	3	yes	—
142	C₄×D₄	C₄²	1	3	yes	—
143	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
144	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
145	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
146	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
147	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
148	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
149	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
150	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
151	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
152	#117	C₄⋊C₄	1	6	yes	—
153	#117	C₄⋊C₄	1	3	yes	—
154	#117	C₄⋊C₄	1	3	yes	—
155	#117	C₄⋊C₄	1	6	yes	—
156	#117	C₄⋊C₄	1	3	yes	—
157	#117	C₄⋊C₄	1	3	yes	—
158	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	3	yes	—
159	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	3	yes	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	6	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
167	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	3	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
173	C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
174	C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
175	C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
176	C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
177	C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
178	C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
179	C₄⋊C₈	—	2	3	no	—
180	C₄⋊C₈	—	2	3	no	—
181	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
182	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
183	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
184	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
185	C₂²⋊C₈	—	2	6	no	—
186	C₂²⋊C₈	—	2	6	no	—
187	C₂²⋊C₈	—	2	6	no	—
188	C₂²⋊C₈	—	2	6	no	—
189	C₂²⋊C₈	—	2	6	no	—
190	C₂²⋊C₈	—	2	6	no	—
191	C₂²⋊C₈	—	2	3	no	—
192	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
193	#97	—	2	6	no	—
194	#97	—	2	6	no	—
195	#97	C₂²×C₄	1	2	yes	—
196	#97	C₂²×C₄	1	6	yes	—
197	C₄×C₈	—	2	6	no	—
198	C₄×C₈	—	2	6	no	—
199	C₄×C₈	—	2	6	no	—
200	C₄×C₈	—	2	6	no	—
201	C₄×C₈	—	2	1	no	—
202	C₄×C₈	—	2	3	no	—
203	C₄×C₈	—	2	1	no	—
204	C₄×C₈	—	2	3	no	—
205	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
206	#41	—	2	4	no	—
207	#41	—	2	12	no	—
208	#41	—	2	12	no	—
209	#41	#108	1	8	yes	—
210	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
211	C₂×Q₈	#95	1	3	yes	—
212	C₂×Q₈	#95	1	1	yes	characteristic
213	C₂×D₄	—	2	12	no	—
214	C₂×D₄	#95	1	6	yes	—
215	C₂×D₄	#95	1	3	yes	—
216	C₂×D₄	#95	1	3	yes	—
217	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	3	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	3	no	—
221	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	3	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	3	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
239	M₁₆	—	2	4	no	—
240	M₁₆	—	4	12	no	—
241	M₁₆	—	4	6	no	—
242	M₁₆	—	4	6	no	—
243	M₁₆	—	4	2	no	—
244	M₁₆	—	8	6	no	—
245	C₂×C₈	—	2	2	no	—
246	C₂×C₈	—	2	6	no	—
247	C₂×C₈	—	2	2	no	—
248	C₂×C₈	—	2	6	no	—
249	C₂×C₈	—	2	2	no	—
250	C₂×C₈	—	2	6	no	—
251	C₂×C₈	—	4	12	no	—
252	C₂×C₈	—	8	6	no	—
253	C₂×C₈	—	8	6	no	—
254	C₂×C₈	—	8	6	no	—
255	C₄⋊C₄	#95	1	6	yes	—
256	C₄⋊C₄	#95	1	3	yes	—
257	C₄⋊C₄	#95	1	3	yes	—
258	C₄⋊C₄	#95	1	6	yes	—
259	C₄⋊C₄	#95	1	3	yes	—
260	C₄⋊C₄	#95	1	3	yes	—
261	C₂²⋊C₄	#95	1	6	yes	—
262	C₂²⋊C₄	#95	1	6	yes	—
263	C₂²⋊C₄	#95	1	6	yes	—
264	C₂²⋊C₄	#95	1	6	yes	—
265	C₄²	C₂×C₄²	1	3	yes	—
266	C₄²	C₂×C₄²	1	3	yes	—
267	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
268	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
269	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
270	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
271	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
272	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
273	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
274	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
275	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
276	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
277	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
278	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
279	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
280	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂³	—	2	6	no	—
282	C₂³	—	4	3	no	—
283	C₂³	—	4	3	no	—
284	C₂³	C₂×#95	1	3	yes	—
285	C₂³	C₂×#95	1	3	yes	—
286	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
287	Q₈	—	2	6	no	—
288	Q₈	#341	1	4	yes	—
289	D₄	—	2	12	no	—
290	D₄	—	2	6	no	—
291	D₄	#341	1	12	yes	—
292	C₂×C₄	—	2	6	no	—
293	C₂×C₄	—	2	3	no	—
294	C₂×C₄	—	2	1	no	—
295	C₂×C₄	—	2	3	no	—
296	C₂×C₄	—	2	1	no	—
297	C₂×C₄	—	2	3	no	—
298	C₂×C₄	—	2	3	no	—
299	C₂×C₄	—	2	6	no	—
300	C₂×C₄	—	2	6	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	6	no	—
304	C₂×C₄	—	2	6	no	—
305	C₂×C₄	—	2	6	no	—
306	C₂×C₄	—	4	3	no	—
307	C₂×C₄	—	4	3	no	—
308	C₂×C₄	—	4	3	no	—
309	C₂×C₄	—	4	3	no	—
310	C₂×C₄	—	4	3	no	—
311	C₂×C₄	—	4	3	no	—
312	C₂×C₄	C₂×#95	1	3	yes	—
313	C₂×C₄	C₂×#95	1	3	yes	—
314	C₂×C₄	C₂×#95	1	3	yes	—
315	C₂×C₄	C₂×#95	1	3	yes	—
316	C₂×C₄	C₂×#95	1	3	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×#95	1	3	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×#108	1	12	yes	—
319	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
325	C₈	—	2	4	no	—
326	C₈	—	4	6	no	—
327	C₈	—	4	6	no	—
328	C₈	—	4	2	no	—
329	C₈	—	4	6	no	—
330	C₈	—	4	2	no	—
331	C₂²	—	2	3	no	—
332	C₂²	—	2	3	no	—
333	C₂²	—	2	1	no	—
334	C₂²	—	2	3	no	—
335	C₂²	—	2	1	no	—
336	C₂²	—	2	3	no	—
337	C₂²	—	2	1	no	—
338	C₂²	—	2	3	no	—
339	C₂²	—	8	6	no	—
340	C₂²	C₂×#341	1	6	yes	—
341	C₂²	C₂²×#95	1	1	yes	characteristic
342	C₄	—	2	1	no	—
343	C₄	—	2	3	no	—
344	C₄	—	2	3	no	—
345	C₄	—	2	1	no	—
346	C₄	—	2	3	no	—
347	C₄	—	2	1	no	—
348	C₄	—	2	3	no	—
349	C₄	—	2	3	no	—
350	C₄	C₂×#341	1	6	yes	—
351	C₄	#2888	1	1	yes	characteristic
352	C₄	#2889	1	1	yes	characteristic
353	C₄	#2901	1	2	yes	—
354	C₄	C₂²×#108	1	2	yes	—
355	C₂	—	2	6	no	—
356	C₂	—	4	3	no	—
357	C₂	—	4	1	no	—
358	C₂	#20343	1	1	yes	characteristic
359	C₂	C₂²×#341	1	1	yes	characteristic
360	C₂	#20358	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	C₂²×#95
prime radical	C₂²×#41	Q₈
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #8066	C₂	semidirect
5. #8065	C₂	semidirect
6. #8060	C₂	semidirect
7. C₂×#1299	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60276	2
#60263	2
M₁₆×#41	2
#8066	2
#8065	2
#8060	2
C₂×#1299	2