Subgroups — #181675

Order 512.

1647 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 405 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60282	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₄×#568	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#34123	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#8074	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#8073	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8068	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂×#1300	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂×#568	—	2	1	no	—
9	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	#2990	C₄	1	8	yes	complemented
11	#2983	—	2	1	no	—
12	#2973	—	2	2	no	—
13	#2972	—	2	1	no	—
14	#2970	—	2	4	no	—
15	#2920	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#432	C₂²	1	4	yes	—
17	#2875	C₄	1	8	yes	complemented
18	C₄×#131	—	2	4	no	—
19	#2873	—	2	2	no	—
20	#2873	—	2	1	no	—
21	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
23	#2356	C₄	1	2	yes	—
24	#2353	C₄	1	4	yes	—
25	#2349	C₄	1	2	yes	—
26	#2346	—	2	1	no	—
27	#2343	—	2	2	no	—
28	#2339	—	2	1	no	—
29	#2295	—	2	1	no	—
30	#2290	—	2	2	no	—
31	#2283	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#2283	C₂²	1	2	yes	—
33	C₄²×D₄	—	2	1	no	—
34	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#376	C₂²	1	2	yes	—
36	#1300	C₂²	1	4	yes	—
37	#1300	C₂²	1	8	yes	—
38	#1300	C₂²	1	4	yes	—
39	C₂²×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
40	#568	—	2	16	no	—
41	C₂×#131	—	2	8	no	—
42	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
43	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
44	C₄×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₄×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₄×#41	D₄	1	4	yes	—
47	C₄×#41	Q₈	1	4	yes	—
48	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
55	C₂×#117	—	2	1	no	—
56	C₂×#117	D₄	1	2	yes	—
57	C₂×#117	D₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	#446	—	2	8	no	—
62	#435	—	2	16	no	—
63	C₈×D₄	—	2	8	no	—
64	#432	—	2	4	no	—
65	#432	—	2	4	no	—
66	#432	—	2	2	no	—
67	#432	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
68	#432	C₂³	1	4	yes	—
69	#431	—	2	2	no	—
70	#431	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
71	#423	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
72	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
73	#407	—	2	2	no	—
74	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
75	#405	—	2	16	no	—
76	#405	—	2	8	no	—
77	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
78	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
79	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
80	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
81	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
82	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
83	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
84	C₄×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂×#97	—	2	4	no	—
86	C₂×#97	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
87	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
88	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
89	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
90	#391	—	2	2	no	—
91	#389	—	2	2	no	—
92	#388	—	2	4	no	—
93	#387	—	2	4	no	—
94	#387	—	2	4	no	—
95	#386	—	2	4	no	—
96	#385	—	2	4	no	—
97	#383	—	2	1	no	—
98	#383	C₂×C₄	1	4	yes	—
99	#382	—	2	2	no	—
100	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
101	#381	—	2	2	no	—
102	#381	C₂×C₄	1	2	yes	—
103	#380	—	2	1	no	—
104	#380	C₂×C₄	1	4	yes	—
105	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
106	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
107	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
108	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
109	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
110	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
111	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
112	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
113	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
114	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
115	#376	—	2	2	no	—
116	#376	—	2	2	no	—
117	#376	C₂×C₄	1	4	yes	—
118	#376	C₂³	1	1	yes	characteristic
119	#376	C₂³	1	2	yes	—
120	#376	C₂³	1	1	yes	characteristic
121	C₂×#95	—	2	2	no	—
122	C₂×#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
123	C₄³	—	2	1	no	—
124	C₂×#41	—	2	8	no	—
125	C₂×#41	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
126	C₂×#41	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
127	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
129	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
131	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	#131	—	2	64	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
147	C₄×Q₈	C₄²	1	4	yes	—
148	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
149	C₄×Q₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
150	C₄×Q₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
151	C₄×D₄	—	4	8	no	—
152	C₄×D₄	C₄²	1	8	yes	—
153	C₄×D₄	C₄²	1	4	yes	—
154	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
155	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
156	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
157	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
158	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
159	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
160	#117	—	4	4	no	—
161	#117	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
162	#117	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
163	#117	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
164	#117	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
185	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
192	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
195	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
196	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
197	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
198	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
199	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
200	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
201	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
202	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
203	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
204	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
205	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
206	#97	—	2	8	no	—
207	#97	—	2	8	no	—
208	#97	—	2	4	no	—
209	#97	—	2	4	no	—
210	#97	C₂²×C₄	1	8	yes	—
211	C₄×C₈	—	2	8	no	—
212	C₄×C₈	—	2	4	no	—
213	C₄×C₈	—	2	4	no	—
214	C₄×C₈	—	2	4	no	—
215	#95	—	2	4	no	—
216	#95	—	2	4	no	—
217	#95	—	2	2	no	—
218	#95	—	2	4	no	—
219	#95	—	2	2	no	—
220	#95	—	2	4	no	—
221	#95	—	2	1	no	—
222	#95	—	2	2	no	—
223	#95	—	2	1	no	—
224	#95	C₂²×C₄	1	2	yes	—
225	#95	C₂²×C₄	1	4	yes	—
226	#95	C₂²×C₄	1	2	yes	—
227	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
229	#41	—	2	16	no	—
230	#41	—	2	16	no	—
231	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
232	C₂×Q₈	#95	1	4	yes	—
233	C₂×D₄	—	2	8	no	—
234	C₂×D₄	#95	1	8	yes	—
235	C₂×D₄	#95	1	4	yes	—
236	C₂×D₄	#104	1	8	yes	—
237	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
246	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
247	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
249	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
270	M₁₆	—	2	16	no	—
271	M₁₆	—	2	32	no	—
272	M₁₆	—	2	16	no	—
273	M₁₆	—	8	4	no	—
274	C₂×C₈	—	2	32	no	—
275	C₂×C₈	—	2	16	no	—
276	C₂×C₈	—	2	8	no	—
277	C₂×C₈	—	2	8	no	—
278	C₂×C₈	—	8	8	no	—
279	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
280	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
281	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
282	C₄⋊C₄	#95	1	8	yes	—
283	C₄⋊C₄	#95	1	4	yes	—
284	C₄⋊C₄	#95	1	8	yes	—
285	C₄⋊C₄	#95	1	4	yes	—
286	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
289	C₂²⋊C₄	#95	1	8	yes	—
290	C₂²⋊C₄	#95	1	8	yes	—
291	C₂²⋊C₄	#95	1	8	yes	—
292	C₄²	—	2	4	no	—
293	C₄²	—	4	4	no	—
294	C₄²	—	4	8	no	—
295	C₄²	—	4	2	no	—
296	C₄²	—	4	4	no	—
297	C₄²	—	8	2	no	—
298	C₄²	C₂×C₄²	1	4	yes	—
299	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
300	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
301	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
302	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
303	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
304	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
305	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
306	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
307	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
308	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
309	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
310	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
311	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
312	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
313	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
314	C₂³	—	2	2	no	—
315	C₂³	—	4	2	no	—
316	C₂³	—	4	2	no	—
317	C₂³	—	4	1	no	—
318	C₂³	—	4	1	no	—
319	C₂³	C₂×#95	1	2	yes	—
320	C₂³	C₂×#95	1	4	yes	—
321	C₂³	C₂×#104	1	8	yes	—
322	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
323	Q₈	—	2	8	no	—
324	D₄	—	2	16	no	—
325	D₄	#339	1	16	yes	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	4	no	—
328	C₂×C₄	—	2	8	no	—
329	C₂×C₄	—	2	8	no	—
330	C₂×C₄	—	2	2	no	—
331	C₂×C₄	—	2	8	no	—
332	C₂×C₄	—	2	4	no	—
333	C₂×C₄	—	2	4	no	—
334	C₂×C₄	—	2	4	no	—
335	C₂×C₄	—	2	4	no	—
336	C₂×C₄	—	4	2	no	—
337	C₂×C₄	—	4	1	no	—
338	C₂×C₄	—	4	1	no	—
339	C₂×C₄	—	4	2	no	—
340	C₂×C₄	—	4	4	no	—
341	C₂×C₄	—	4	2	no	—
342	C₂×C₄	—	4	1	no	—
343	C₂×C₄	—	4	4	no	—
344	C₂×C₄	—	4	2	no	—
345	C₂×C₄	—	4	4	no	—
346	C₂×C₄	—	4	2	no	—
347	C₂×C₄	—	4	2	no	—
348	C₂×C₄	—	4	2	no	—
349	C₂×C₄	—	4	4	no	—
350	C₂×C₄	—	4	2	no	—
351	C₂×C₄	—	4	2	no	—
352	C₂×C₄	—	4	4	no	—
353	C₂×C₄	—	4	2	no	—
354	C₂×C₄	—	4	4	no	—
355	C₂×C₄	—	8	16	no	—
356	C₂×C₄	C₂×#95	1	4	yes	—
357	C₂×C₄	C₂×#95	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	C₂×#95	1	4	yes	—
359	C₂×C₄	C₂×#95	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	C₂×#95	1	4	yes	—
361	C₂×C₄	C₂×#95	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	C₂×#104	1	4	yes	—
363	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
366	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
369	C₈	—	2	16	no	—
370	C₈	—	4	8	no	—
371	C₂²	—	2	1	no	—
372	C₂²	—	2	4	no	—
373	C₂²	—	2	1	no	—
374	C₂²	—	2	4	no	—
375	C₂²	—	2	2	no	—
376	C₂²	—	2	2	no	—
377	C₂²	—	2	2	no	—
378	C₂²	—	4	8	no	—
379	C₂²	—	8	2	no	—
380	C₂²	C₂×#339	1	8	yes	—
381	C₂²	C₂²×#95	1	1	yes	characteristic
382	C₂²	C₂²×#104	1	2	yes	—
383	C₄	—	2	1	no	—
384	C₄	—	2	1	no	—
385	C₄	—	2	4	no	—
386	C₄	—	2	1	no	—
387	C₄	—	2	4	no	—
388	C₄	—	2	2	no	—
389	C₄	—	2	1	no	—
390	C₄	—	2	1	no	—
391	C₄	—	2	2	no	—
392	C₄	—	2	4	no	—
393	C₄	—	4	4	no	—
394	C₄	—	8	2	no	—
395	C₄	—	8	4	no	—
396	C₄	C₂×#339	1	4	yes	—
397	C₄	#2901	1	2	yes	—
398	C₂	—	2	2	no	—
399	C₂	—	2	8	no	—
400	C₂	—	4	2	no	—
401	C₂	C₂²×#339	1	1	yes	characteristic
402	C₂	#20343	1	1	yes	characteristic
403	C₂	#20360	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	C₂²×#95
prime radical	C₂²×#41	D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #8074	C₂	semidirect
5. #8073	C₂	semidirect
6. #8068	C₂	semidirect
7. C₂×#1300	C₂	semidirect
10. #2990	C₄	semidirect
17. #2875	C₄	semidirect
67. #432	C₂×C₄	semidirect
70. #431	C₂×C₄	semidirect
71. #423	C₂×C₄	semidirect
72. C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
82. C₄×M₁₆	C₂×C₄	semidirect
83. C₄×M₁₆	C₂×C₄	semidirect
86. C₂×#97	C₂×C₄	semidirect
87. C₂×#97	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60282	2
C₄×#568	2
#34123	2
#8074	2
#8073	2
#8068	2
C₂×#1300	2