Subgroups — #181718

Order 512.

1257 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 350 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60284	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#60277	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#2970	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#8090	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#8088	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8086	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#8084	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	#2991	C₄	1	8	yes	—
10	#2989	—	2	4	no	—
11	#2983	C₄	1	2	yes	—
12	#2982	—	2	1	no	—
13	#2975	—	2	1	no	—
14	#2975	—	2	2	no	—
15	#2975	C₄	1	2	yes	—
16	#2973	C₄	1	4	yes	—
17	#2971	—	2	4	no	—
18	#2970	—	2	4	no	—
19	#2970	C₄	1	8	yes	—
20	#2965	—	2	4	no	—
21	C₂×#446	—	2	1	no	—
22	C₂×#435	—	2	2	no	—
23	C₂×C₈×D₄	—	2	1	no	—
24	#2920	C₂²	1	2	yes	—
25	#2920	C₂²	1	4	yes	—
26	#2920	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#432	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#432	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
32	#1302	C₂²	1	4	yes	—
33	#1302	C₂²	1	4	yes	—
34	#1302	C₂²	1	8	yes	—
35	C₂²×#41	Q₈	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
37	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
38	C₄×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₄×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	C₄×#41	D₄	1	4	yes	—
41	C₄×#41	D₄	1	4	yes	—
42	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
48	C₂×#117	Q₈	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#117	Q₈	1	2	yes	—
50	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	#446	—	2	8	no	—
53	#446	—	2	8	no	—
54	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
55	#436	—	2	8	no	—
56	#436	—	2	8	no	—
57	#436	—	2	16	no	—
58	#435	—	2	16	no	—
59	#435	—	2	16	no	—
60	C₈×D₄	—	2	8	no	—
61	#432	—	2	2	no	—
62	#432	—	2	4	no	—
63	#432	—	2	2	no	—
64	#432	—	2	4	no	—
65	#432	—	2	4	no	—
66	#432	C₂×C₄	1	8	yes	—
67	#432	C₂×C₄	1	4	yes	—
68	#432	C₂×C₄	1	8	yes	—
69	#432	C₂³	1	4	yes	—
70	#431	—	2	2	no	—
71	#431	—	2	2	no	—
72	#431	—	2	4	no	—
73	#431	—	2	2	no	—
74	#431	—	2	4	no	—
75	#431	C₂×C₄	1	4	yes	—
76	#431	C₂×C₄	1	8	yes	—
77	#431	C₂×C₄	1	4	yes	—
78	#431	C₂³	1	4	yes	—
79	#423	—	2	4	no	—
80	#423	C₂×C₄	1	4	yes	—
81	#423	C₂×C₄	1	8	yes	—
82	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
84	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
85	#407	—	2	4	no	—
86	#407	—	2	2	no	—
87	#407	C₂×C₄	1	8	yes	—
88	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
89	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
90	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
91	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
92	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
93	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
94	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
95	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
96	C₂×#97	—	2	2	no	—
97	C₂×#97	—	2	4	no	—
98	C₂×#97	C₂×C₄	1	8	yes	—
99	C₂×#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂×#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
103	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
104	C₂×#41	—	4	4	no	—
105	C₂×#41	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
106	C₂×#41	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
107	C₂²×Q₈	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
110	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
112	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
113	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
115	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
116	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
120	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
126	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
127	C₄×Q₈	C₄²	1	4	yes	—
128	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
129	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
130	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
131	C₄×D₄	C₄²	1	4	yes	—
132	C₄×D₄	C₄²	1	8	yes	—
133	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
134	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
135	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
136	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
137	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
138	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
139	#117	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
140	#117	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
141	#117	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
142	#117	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
143	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
144	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
146	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
165	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
166	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
167	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
168	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
169	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
170	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
171	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
172	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
173	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
174	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
175	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
176	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
177	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
178	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
179	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
180	C₂²⋊C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
181	#97	—	2	8	no	—
182	#97	—	2	8	no	—
183	#97	—	2	1	no	—
184	#97	—	2	2	no	—
185	#97	—	2	1	no	—
186	#97	—	2	4	no	—
187	#97	C₂²×C₄	1	2	yes	—
188	#97	C₂²×C₄	1	4	yes	—
189	#97	C₂²×C₄	1	2	yes	—
190	C₄×C₈	—	2	4	no	—
191	C₄×C₈	—	2	4	no	—
192	C₄×C₈	—	2	8	no	—
193	C₄×C₈	—	2	4	no	—
194	C₄×C₈	—	2	4	no	—
195	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
196	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
197	#41	—	4	8	no	—
198	#41	—	4	8	no	—
199	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
200	C₂×Q₈	#95	1	4	yes	—
201	C₂×D₄	—	2	4	no	—
202	C₂×D₄	—	4	4	no	—
203	C₂×D₄	#95	1	4	yes	—
204	C₂×D₄	#95	1	8	yes	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
210	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
211	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
232	M₁₆	—	4	8	no	—
233	M₁₆	—	8	8	no	—
234	M₁₆	—	8	4	no	—
235	M₁₆	—	8	8	no	—
236	C₂×C₈	—	2	4	no	—
237	C₂×C₈	—	2	2	no	—
238	C₂×C₈	—	2	8	no	—
239	C₂×C₈	—	2	2	no	—
240	C₂×C₈	—	2	4	no	—
241	C₂×C₈	—	2	8	no	—
242	C₂×C₈	—	4	16	no	—
243	C₂×C₈	—	4	4	no	—
244	C₂×C₈	—	4	2	no	—
245	C₂×C₈	—	8	4	no	—
246	C₄⋊C₄	#95	1	8	yes	—
247	C₄⋊C₄	#95	1	4	yes	—
248	C₄⋊C₄	#95	1	8	yes	—
249	C₄⋊C₄	#95	1	4	yes	—
250	C₂²⋊C₄	#95	1	8	yes	—
251	C₂²⋊C₄	#95	1	8	yes	—
252	C₂²⋊C₄	#95	1	8	yes	—
253	C₄²	C₂×C₄²	1	4	yes	—
254	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
255	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
256	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
257	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
258	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
259	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
260	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
261	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
262	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
263	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
264	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
265	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
266	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
267	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
268	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂³	—	2	4	no	—
270	C₂³	—	2	2	no	—
271	C₂³	—	4	2	no	—
272	C₂³	—	4	2	no	—
273	C₂³	—	4	1	no	—
274	C₂³	—	4	1	no	—
275	C₂³	C₂×#95	1	2	yes	—
276	C₂³	C₂×#95	1	4	yes	—
277	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
278	Q₈	—	2	8	no	—
279	D₄	—	2	8	no	—
280	D₄	—	4	8	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	8	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	4	4	no	—
289	C₂×C₄	—	4	2	no	—
290	C₂×C₄	—	4	2	no	—
291	C₂×C₄	—	4	4	no	—
292	C₂×C₄	—	4	2	no	—
293	C₂×C₄	—	4	1	no	—
294	C₂×C₄	—	4	4	no	—
295	C₂×C₄	—	4	4	no	—
296	C₂×C₄	—	4	1	no	—
297	C₂×C₄	—	4	2	no	—
298	C₂×C₄	—	4	4	no	—
299	C₂×C₄	—	4	1	no	—
300	C₂×C₄	—	4	2	no	—
301	C₂×C₄	C₂×#95	1	4	yes	—
302	C₂×C₄	C₂×#95	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	C₂×#95	1	4	yes	—
304	C₂×C₄	C₂×#95	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	C₂×#95	1	4	yes	—
306	C₂×C₄	C₂×#95	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	#430	1	4	yes	—
308	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
314	C₈	—	2	4	no	—
315	C₈	—	4	4	no	—
316	C₈	—	4	2	no	—
317	C₈	—	4	8	no	—
318	C₈	—	4	8	no	—
319	C₂²	—	2	1	no	—
320	C₂²	—	2	1	no	—
321	C₂²	—	2	4	no	—
322	C₂²	—	2	2	no	—
323	C₂²	—	2	2	no	—
324	C₂²	—	2	4	no	—
325	C₂²	—	2	4	no	—
326	C₂²	—	2	2	no	—
327	C₂²	—	4	8	no	—
328	C₂²	—	8	2	no	—
329	C₂²	C₂²×#95	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	C₂×#430	1	2	yes	—
331	C₄	—	2	1	no	—
332	C₄	—	2	4	no	—
333	C₄	—	2	2	no	—
334	C₄	—	2	1	no	—
335	C₄	—	2	1	no	—
336	C₄	—	2	4	no	—
337	C₄	—	2	1	no	—
338	C₄	—	2	1	no	—
339	C₄	—	2	2	no	—
340	C₄	—	2	4	no	—
341	C₄	#1738	1	4	yes	—
342	C₄	#2901	1	2	yes	—
343	C₂	—	2	2	no	—
344	C₂	—	4	4	no	—
345	C₂	—	4	2	no	—
346	C₂	#20343	1	1	yes	characteristic
347	C₂	C₂×#1738	1	1	yes	characteristic
348	C₂	#20360	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	C₂²×#95
prime radical	C₂²×#41	Q₈
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #8090	C₂	semidirect
5. #8088	C₂	semidirect
6. #8086	C₂	semidirect
7. #8084	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60284	2
#60277	2
C₂×#2970	2
#8090	2
#8088	2
#8086	2
#8084	2