Subgroups — #181733

Order 512.

1747 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 288 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60276	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#60099	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₄⋊C₄×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#8095	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1303	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
6	C₂×#568	—	2	1	no	—
7	C₂×C₄×#41	—	2	1	no	—
8	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	#2988	C₄	1	8	yes	complemented
10	#2982	—	2	1	no	—
11	#2972	—	2	3	no	—
12	C₈×#41	—	2	4	no	—
13	C₂×#431	C₂²	1	6	yes	—
14	#2906	—	2	4	no	—
15	#2906	C₄	1	8	yes	complemented
16	#2905	—	2	3	no	—
17	C₂×#423	C₂²	1	6	yes	—
18	#2351	C₄	1	2	yes	—
19	Q₈×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
20	#2349	C₄	1	6	yes	—
21	D₄×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
22	#2296	—	2	3	no	—
23	#2285	C₂²	1	3	yes	—
24	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
25	#1303	C₂²	1	4	yes	—
26	#1303	C₂²	1	12	yes	—
27	C₂²×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
28	#568	—	4	4	no	—
29	#568	—	4	4	no	—
30	C₂×#131	—	2	8	no	—
31	C₂²×M₁₆	—	2	6	no	—
32	C₄×#41	—	4	4	no	—
33	C₄×#41	—	4	4	no	—
34	C₄×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
35	C₄×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
36	C₄×#41	D₄	1	4	yes	—
37	C₄×#41	Q₈	1	4	yes	—
38	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
39	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂×C₄×D₄	—	2	6	no	—
42	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
43	C₂×C₄×D₄	D₄	1	3	yes	—
44	C₂×#117	—	2	3	no	—
45	C₂×#117	D₄	1	3	yes	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
47	C₂²×C₄²	—	2	3	no	—
48	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
49	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
50	C₈×D₄	—	2	24	no	—
51	#431	—	2	6	no	—
52	#431	—	2	6	no	—
53	#431	C₂×C₄	1	12	yes	complemented
54	#431	C₂³	1	4	yes	—
55	#424	—	2	24	no	—
56	#423	—	2	6	no	—
57	#423	—	2	6	no	—
58	#423	C₂×C₄	1	12	yes	complemented
59	#423	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂×C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
61	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	12	yes	complemented
62	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	12	yes	complemented
63	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	6	no	—
64	C₂×C₄×C₈	—	2	6	no	—
65	#389	—	2	6	no	—
66	#389	—	2	6	no	—
67	#385	—	2	12	no	—
68	#384	—	2	3	no	—
69	#382	C₂×C₄	1	6	yes	—
70	#380	—	2	3	no	—
71	#380	C₂×C₄	1	6	yes	—
72	C₄×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
73	C₄×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
74	C₄×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
75	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
76	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
78	C₂×#95	C₂×C₄	1	6	yes	—
79	C₂×#41	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
80	C₂×#41	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
81	C₂×#41	D₈	1	4	yes	—
82	C₂×#41	SD₁₆	1	4	yes	—
83	C₂×#41	SD₁₆	1	4	yes	—
84	C₂×#41	Q₁₆	1	4	yes	—
85	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
87	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
88	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
91	#131	—	4	32	no	—
92	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
93	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
94	C₂×M₁₆	—	4	12	no	—
95	C₂×M₁₆	—	4	12	no	—
96	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
97	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
98	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
99	C₄×Q₈	C₄²	1	4	yes	—
100	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
101	C₄×Q₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
102	C₄×Q₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
103	C₄×D₄	—	4	24	no	—
104	C₄×D₄	C₄²	1	12	yes	—
105	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
106	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	12	yes	—
107	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	12	yes	—
108	#117	—	4	6	no	—
109	#117	—	4	6	no	—
110	#117	C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
111	#117	C₄⋊C₄	1	12	yes	—
112	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
122	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
123	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
124	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
125	C₂×C₄²	—	4	6	no	—
126	C₂×C₄²	—	4	6	no	—
127	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
128	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
129	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
130	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
131	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
132	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
133	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	6	yes	—
134	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
135	C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
136	C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
137	C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
138	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
139	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
140	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
141	C₂²⋊C₈	—	2	12	no	—
142	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
143	C₄×C₈	—	2	12	no	—
144	C₄×C₈	—	2	4	no	—
145	#95	—	2	6	no	—
146	#95	—	2	6	no	—
147	#95	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	#95	C₂²×C₄	1	6	yes	—
149	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
150	#41	#102	1	16	yes	—
151	#41	#103	1	16	yes	—
152	#41	#106	1	16	yes	—
153	#41	#107	1	16	yes	—
154	C₂×Q₈	#95	1	4	yes	—
155	C₂×Q₈	#102	1	4	yes	—
156	C₂×Q₈	#103	1	4	yes	—
157	C₂×D₄	#95	1	12	yes	—
158	C₂×D₄	#102	1	12	yes	—
159	C₂×D₄	#103	1	12	yes	—
160	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
162	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
163	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
164	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
165	C₂²×C₄	—	8	3	no	—
166	C₂²×C₄	—	8	6	no	—
167	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	6	yes	—
168	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
169	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
170	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
172	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
173	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	6	yes	—
177	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	6	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	6	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	6	yes	—
180	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
183	M₁₆	—	4	4	no	—
184	M₁₆	—	4	4	no	—
185	M₁₆	—	4	24	no	—
186	C₂×C₈	—	2	8	no	—
187	C₂×C₈	—	2	8	no	—
188	C₂×C₈	—	4	24	no	—
189	C₂×C₈	—	8	12	no	—
190	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
191	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
192	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
193	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
194	C₄⋊C₄	—	8	6	no	—
195	C₄⋊C₄	#95	1	12	yes	—
196	C₄⋊C₄	#95	1	12	yes	—
197	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
198	C₂²⋊C₄	#95	1	24	yes	—
199	C₄²	—	4	1	no	—
200	C₄²	—	4	3	no	—
201	C₄²	—	4	1	no	—
202	C₄²	—	4	3	no	—
203	C₄²	—	4	12	no	—
204	C₄²	C₂×C₄²	1	6	yes	—
205	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
206	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
207	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
208	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
209	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
210	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
211	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
212	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
213	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
214	C₂³	—	4	3	no	—
215	C₂³	—	4	3	no	—
216	C₂³	C₂×#95	1	6	yes	—
217	C₂³	C₂×#102	1	6	yes	—
218	C₂³	C₂×#103	1	6	yes	—
219	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
220	Q₈	#340	1	16	yes	—
221	D₄	#340	1	48	yes	—
222	C₂×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂×C₄	—	2	12	no	—
224	C₂×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂×C₄	—	4	3	no	—
226	C₂×C₄	—	4	3	no	—
227	C₂×C₄	—	4	6	no	—
228	C₂×C₄	—	4	1	no	—
229	C₂×C₄	—	4	6	no	—
230	C₂×C₄	—	4	6	no	—
231	C₂×C₄	—	4	2	no	—
232	C₂×C₄	—	4	2	no	—
233	C₂×C₄	—	4	6	no	—
234	C₂×C₄	—	4	6	no	—
235	C₂×C₄	—	4	6	no	—
236	C₂×C₄	—	8	24	no	—
237	C₂×C₄	C₂×#95	1	6	yes	—
238	C₂×C₄	C₂×#95	1	6	yes	—
239	C₂×C₄	C₂×#95	1	6	yes	—
240	C₂×C₄	C₂×#102	1	12	yes	—
241	C₂×C₄	C₂×#102	1	6	yes	—
242	C₂×C₄	C₂×#103	1	12	yes	—
243	C₂×C₄	C₂×#103	1	6	yes	—
244	C₂×C₄	C₂×#106	1	12	yes	—
245	C₂×C₄	C₂×#107	1	12	yes	—
246	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
247	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
253	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
254	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
255	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
256	C₈	—	4	8	no	—
257	C₈	—	4	8	no	—
258	C₂²	—	2	1	no	—
259	C₂²	—	2	6	no	—
260	C₂²	—	2	1	no	—
261	C₂²	—	2	6	no	—
262	C₂²	—	4	6	no	—
263	C₂²	—	4	6	no	—
264	C₂²	C₂×#340	1	12	yes	—
265	C₂²	C₂²×#95	1	1	yes	characteristic
266	C₂²	C₂²×#102	1	1	yes	characteristic
267	C₂²	C₂²×#103	1	1	yes	characteristic
268	C₄	—	2	1	no	—
269	C₄	—	2	6	no	—
270	C₄	—	2	1	no	—
271	C₄	—	2	1	no	—
272	C₄	—	2	6	no	—
273	C₄	—	4	4	no	—
274	C₄	—	8	6	no	—
275	C₄	C₂×#340	1	12	yes	—
276	C₄	C₂²×#102	1	1	yes	characteristic
277	C₄	C₂²×#103	1	1	yes	characteristic
278	C₄	#2901	1	2	yes	—
279	C₄	C₂²×#106	1	1	yes	characteristic
280	C₄	C₂²×#107	1	1	yes	characteristic
281	C₂	—	2	1	no	—
282	C₂	—	2	1	no	—
283	C₂	—	2	12	no	—
284	C₂	#20343	1	1	yes	characteristic
285	C₂	C₂²×#340	1	1	yes	characteristic
286	C₂	#20360	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	C₂²×#95
prime radical	C₂²×#41	D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #8095	C₂	semidirect
5. C₂×#1303	C₂	semidirect
9. #2988	C₄	semidirect
15. #2906	C₄	semidirect
53. #431	C₂×C₄	semidirect
58. #423	C₂×C₄	semidirect
61. C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
62. C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60276	2
#60099	2
C₄⋊C₄×#41	2
#8095	2
C₂×#1303	2