Subgroups — #181771

Order 512.

1864 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 298 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#423	C₂	1	2	yes	maximal
2	#34012	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#8045	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#8041	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	C₂³×M₁₆	—	2	2	no	—
6	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
7	C₂×#423	—	2	8	no	—
8	C₂×#423	—	2	2	no	—
9	C₂×#423	—	2	2	no	—
10	C₂×#423	C₄	1	16	yes	complemented
11	C₂×#423	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×#423	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂²×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
14	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
15	#2285	C₂²	1	4	yes	—
16	#2285	C₂²	1	2	yes	—
17	#2283	—	2	2	no	—
18	#2283	—	2	2	no	—
19	#2283	C₄	1	4	yes	—
20	#2280	—	2	2	no	—
21	#2280	C₄	1	2	yes	—
22	C₄×#117	—	2	2	no	—
23	C₄×#117	C₄	1	2	yes	—
24	#1296	C₂²	1	16	yes	complemented
25	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
26	C₂⁴×C₄	D₄	1	2	yes	—
27	C₂²×M₁₆	—	2	16	no	—
28	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
29	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
30	C₂²×M₁₆	—	4	16	no	—
31	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
32	C₂×#117	—	2	4	no	—
33	C₂×#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
34	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
36	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	—
37	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
38	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
39	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
40	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
41	C₂²×C₄²	Q₈	1	4	yes	—
42	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	#423	—	2	16	no	—
45	#423	—	2	16	no	—
46	#423	—	2	8	no	—
47	#423	—	2	8	no	—
48	#423	C₂×C₄	1	16	yes	—
49	#423	C₂×C₄	1	16	yes	—
50	C₂×C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
51	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
52	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
53	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
55	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
56	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
57	#384	C₂³	1	4	yes	—
58	#383	—	2	4	no	—
59	#382	—	2	4	no	—
60	#382	C₂×C₄	1	4	yes	—
61	#381	—	2	4	no	—
62	#381	—	2	2	no	—
63	#380	—	2	4	no	—
64	#380	—	2	4	no	—
65	#380	C₂×C₄	1	8	yes	—
66	#379	—	2	2	no	—
67	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
68	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
69	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
70	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
71	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
72	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
73	#376	—	2	4	no	—
74	#376	—	2	2	no	—
75	C₄³	—	2	2	no	—
76	C₂⁵	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
78	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
79	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
80	C₂³×C₄	C₄²	1	4	yes	—
81	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
82	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
83	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
84	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
85	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
86	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
88	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
94	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
95	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
96	C₂×M₁₆	—	4	64	no	—
97	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
98	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
99	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
100	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
101	C₂²×C₈	—	4	16	no	—
102	#117	—	4	8	no	—
103	#117	—	4	8	no	—
104	#117	—	4	8	no	—
105	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
106	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
107	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
108	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
109	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
110	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
111	C₂×C₄²	C₄²	1	4	yes	—
112	C₂×C₄²	C₄²	1	8	yes	—
113	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
116	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
117	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
118	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
119	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
120	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
121	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
122	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
123	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
124	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
125	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
126	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
128	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
129	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
130	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
134	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
136	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
137	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
138	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
139	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
140	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
141	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
142	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
143	#95	—	2	8	no	—
144	#95	—	2	8	no	—
145	#95	—	2	8	no	—
146	C₂⁴	—	2	8	no	—
147	C₂⁴	—	4	2	no	—
148	C₂⁴	#95	1	4	yes	—
149	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
151	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
164	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
165	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
166	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
167	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
168	C₂²×C₄	#95	1	8	yes	—
169	C₂²×C₄	#95	1	8	yes	—
170	C₂²×C₄	#95	1	8	yes	—
171	C₂²×C₄	#95	1	8	yes	—
172	C₂²×C₄	#95	1	4	yes	—
173	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
177	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
180	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
188	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
189	C₂²×C₄	#137	1	8	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
192	M₁₆	—	4	32	no	—
193	M₁₆	—	4	32	no	—
194	C₂×C₈	—	2	16	no	—
195	C₂×C₈	—	4	32	no	—
196	C₂×C₈	—	4	16	no	—
197	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
198	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
199	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
200	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
201	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
202	C₄²	—	4	8	no	—
203	C₄²	—	4	16	no	—
204	C₄²	#95	1	8	yes	—
205	C₄²	#95	1	4	yes	—
206	C₄²	#95	1	8	yes	—
207	C₄²	#95	1	4	yes	—
208	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
209	C₄²	C₂×C₄²	1	4	yes	—
210	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
211	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
212	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
213	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
214	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
215	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
216	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
217	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
218	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
219	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
220	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
221	C₂³	—	2	4	no	—
222	C₂³	—	2	4	no	—
223	C₂³	—	2	2	no	—
224	C₂³	—	2	4	no	—
225	C₂³	—	2	16	no	—
226	C₂³	—	4	4	no	—
227	C₂³	—	4	16	no	—
228	C₂³	C₂×#95	1	2	yes	—
229	C₂³	C₂×#95	1	4	yes	—
230	C₂³	#417	1	8	yes	—
231	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂×C₄	—	2	16	no	—
237	C₂×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂×C₄	—	2	8	no	—
242	C₂×C₄	—	2	8	no	—
243	C₂×C₄	—	2	16	no	—
244	C₂×C₄	—	2	16	no	—
245	C₂×C₄	—	2	16	no	—
246	C₂×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂×C₄	—	4	4	no	—
249	C₂×C₄	—	4	4	no	—
250	C₂×C₄	—	4	4	no	—
251	C₂×C₄	—	4	8	no	—
252	C₂×C₄	—	4	16	no	—
253	C₂×C₄	C₂×#95	1	4	yes	—
254	C₂×C₄	C₂×#95	1	4	yes	—
255	C₂×C₄	C₂×#95	1	4	yes	—
256	C₂×C₄	C₂×#95	1	4	yes	—
257	C₂×C₄	C₂×#95	1	2	yes	—
258	C₂×C₄	#413	1	4	yes	—
259	C₂×C₄	#417	1	8	yes	—
260	C₂×C₄	#418	1	8	yes	—
261	C₂×C₄	#419	1	8	yes	—
262	C₂×C₄	#428	1	16	yes	—
263	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
265	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
266	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
267	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
268	C₂×C₄	C₂×#137	1	4	yes	—
269	C₈	—	4	16	no	—
270	C₂²	—	2	16	no	—
271	C₂²	—	2	4	no	—
272	C₂²	—	2	4	no	—
273	C₂²	—	2	4	no	—
274	C₂²	—	2	2	no	—
275	C₂²	—	4	16	no	—
276	C₂²	—	4	4	no	—
277	C₂²	#1736	1	8	yes	—
278	C₂²	C₂²×#95	1	1	yes	characteristic
279	C₂²	C₂×#413	1	2	yes	—
280	C₂²	C₂×#417	1	4	yes	—
281	C₄	—	2	4	no	—
282	C₄	—	2	4	no	—
283	C₄	—	2	1	no	—
284	C₄	—	2	4	no	—
285	C₄	—	2	1	no	—
286	C₄	—	8	8	no	—
287	C₄	#1736	1	8	yes	—
288	C₄	#1742	1	4	yes	—
289	C₄	C₂×#418	1	2	yes	—
290	C₄	C₂×#419	1	2	yes	—
291	C₄	C₂×#428	1	4	yes	—
292	C₂	—	2	8	no	—
293	C₂	—	4	2	no	—
294	C₂	#17752	1	4	yes	—
295	C₂	C₂×#1736	1	2	yes	—
296	C₂	C₂×#1742	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂⁵	C₂²⋊C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #8045	C₂	semidirect
4. #8041	C₂	semidirect
10. C₂×#423	C₄	semidirect
24. #1296	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#423	2
#34012	2
#8045	2
#8041	2