Subgroups — #181848

Order 512.

966 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 225 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×#431	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1744	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₄²×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#8133	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#8132	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#7848	C₂	1	4	yes	maximal
7	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂×C₄×M₁₆	C₄	1	2	yes	—
9	C₂×C₄×M₁₆	C₄	1	2	yes	—
10	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₄×C₄⋊C₈	C₄	1	4	yes	—
14	C₄×C₂²⋊C₈	C₄	1	4	yes	—
15	#1744	C₄	1	4	yes	—
16	#1744	C₂²	1	2	yes	—
17	#1744	C₂²	1	2	yes	—
18	#1744	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#336	C₄	1	4	yes	—
20	C₄×#97	C₄	1	2	yes	—
21	C₄×#97	C₄	1	2	yes	—
22	C₄×#97	C₂²	1	2	yes	—
23	C₄²×C₈	C₂²	1	2	yes	—
24	C₄²×C₈	C₂²	1	2	yes	—
25	#1273	C₂²	1	16	yes	—
26	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
27	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
28	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
29	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
30	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	#431	—	2	8	no	—
34	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
35	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
36	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
37	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
38	C₄×M₁₆	C₈	1	16	yes	complemented
39	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
42	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
43	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
46	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
50	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	#336	C₂×C₄	1	8	yes	—
57	#336	C₂×C₄	1	8	yes	—
58	#336	C₂×C₄	1	8	yes	—
59	C₂³×C₄	C₄²	1	2	yes	—
60	C₂³×C₄	C₄²	1	2	yes	—
61	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
65	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
66	C₂×M₁₆	C₂×C₈	1	16	yes	—
67	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
68	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
69	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
70	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
71	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
72	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
73	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
74	C₂×C₄²	C₄²	1	2	yes	—
75	C₂×C₄²	C₄²	1	2	yes	—
76	C₂×C₄²	C₄²	1	2	yes	—
77	C₂×C₄²	C₄²	1	2	yes	—
78	C₂×C₄²	C₄²	1	2	yes	—
79	C₂×C₄²	C₄²	1	2	yes	—
80	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	8	yes	—
81	C₂×C₄²	M₁₆	1	8	yes	—
82	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
83	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
84	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
85	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
86	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₄²	#41	1	8	yes	—
94	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
95	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
96	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
97	#97	—	2	8	no	—
98	#97	—	2	8	no	—
99	#97	C₂×C₈	1	16	yes	complemented
100	C₄×C₈	—	2	8	no	—
101	C₄×C₈	—	2	8	no	—
102	C₄×C₈	—	2	8	no	—
103	C₄×C₈	—	2	8	no	—
104	C₄×C₈	—	2	8	no	—
105	C₄×C₈	—	4	8	no	—
106	C₄×C₈	C₂×C₈	1	16	yes	complemented
107	C₂⁴	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
108	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
109	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
110	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
111	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
112	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
113	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
114	C₂²×C₄	C₄×C₈	1	8	yes	—
115	C₂²×C₄	#97	1	8	yes	—
116	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
119	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
120	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
121	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
122	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
124	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
125	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
126	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
127	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
128	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
131	M₁₆	—	2	32	no	—
132	C₂×C₈	—	2	8	no	—
133	C₂×C₈	—	2	8	no	—
134	C₂×C₈	—	2	8	no	—
135	C₂×C₈	—	2	8	no	—
136	C₂×C₈	—	2	16	no	—
137	C₂×C₈	—	2	16	no	—
138	C₂×C₈	—	4	16	no	—
139	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	16	yes	—
140	C₄²	—	2	4	no	—
141	C₄²	—	2	4	no	—
142	C₄²	—	2	4	no	—
143	C₄²	—	2	4	no	—
144	C₄²	—	4	2	no	—
145	C₄²	—	4	2	no	—
146	C₄²	—	4	2	no	—
147	C₄²	—	4	2	no	—
148	C₄²	C₄×C₈	1	8	yes	—
149	C₄²	#97	1	8	yes	—
150	C₄²	#117	1	4	yes	—
151	C₄²	#117	1	4	yes	—
152	C₄²	#117	1	4	yes	—
153	C₄²	C₂²×C₈	1	4	yes	—
154	C₄²	C₂²×C₈	1	4	yes	—
155	C₄²	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
156	C₄²	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
157	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
158	C₂³	—	2	2	no	—
159	C₂³	—	2	2	no	—
160	C₂³	#376	1	2	yes	—
161	C₂³	C₂×C₄×C₈	1	2	yes	—
162	C₂³	C₂×#97	1	2	yes	—
163	C₂³	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄	—	2	8	no	—
175	C₂×C₄	—	2	8	no	—
176	C₂×C₄	—	4	8	no	—
177	C₂×C₄	—	4	8	no	—
178	C₂×C₄	#376	1	2	yes	—
179	C₂×C₄	#376	1	2	yes	—
180	C₂×C₄	#376	1	2	yes	—
181	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈	1	4	yes	—
182	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈	1	4	yes	—
183	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈	1	2	yes	—
184	C₂×C₄	C₂×#97	1	4	yes	—
185	C₂×C₄	C₂×#97	1	4	yes	—
186	C₂×C₄	C₂×#97	1	2	yes	—
187	C₂×C₄	#431	1	16	yes	—
188	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
189	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
190	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
191	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	2	yes	—
192	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
193	C₂×C₄	#568	1	4	yes	—
194	C₂×C₄	#568	1	4	yes	—
195	C₈	—	2	16	no	—
196	C₈	—	4	8	no	—
197	C₈	—	4	8	no	—
198	C₂²	—	2	2	no	—
199	C₂²	—	2	2	no	—
200	C₂²	—	2	4	no	—
201	C₂²	—	2	4	no	—
202	C₂²	#1744	1	4	yes	—
203	C₂²	C₂×#376	1	1	yes	characteristic
204	C₂²	C₂²×C₄×C₈	1	1	yes	characteristic
205	C₂²	C₂²×#97	1	1	yes	characteristic
206	C₂²	#2873	1	2	yes	—
207	C₂²	#2873	1	2	yes	—
208	C₄	—	2	2	no	—
209	C₄	—	2	2	no	—
210	C₄	—	2	4	no	—
211	C₄	—	2	4	no	—
212	C₄	—	2	4	no	—
213	C₄	—	2	4	no	—
214	C₄	#1744	1	4	yes	—
215	C₄	C₂×#431	1	4	yes	—
216	C₄	#2921	1	4	yes	—
217	C₄	#2923	1	4	yes	—
218	C₂	—	2	4	no	—
219	C₂	#17314	1	2	yes	—
220	C₂	#17319	1	2	yes	—
221	C₂	C₂×#1744	1	1	yes	characteristic
222	C₂	#20365	1	1	yes	characteristic
223	C₂	#20367	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂²×C₄×C₈
socle	C₂³	C₂²×C₄²
prime radical	C₂⁴	C₂×C₄²
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #8133	C₂	semidirect
5. #8132	C₂	semidirect
38. C₄×M₁₆	C₈	semidirect
99. #97	C₂×C₈	semidirect
106. C₄×C₈	C₂×C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×#431	2
C₂×#1744	2
C₄²×M₁₆	2
#8133	2
#8132	2
#7848	2