Subgroups — #182107

Order 512.

1103 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 357 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2988	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₄×#413	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#17349	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#17319	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#8165	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8164	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂×#1283	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	#2988	—	2	4	no	—
10	#2988	—	2	4	no	—
11	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×C₈×D₄	C₄	1	4	yes	—
13	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#431	C₄	1	2	yes	—
15	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₄⋊C₈	C₄	1	2	yes	—
18	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#413	C₄	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
21	C₄×#101	C₄	1	2	yes	—
22	C₄×#101	C₂²	1	2	yes	—
23	C₄×#100	C₄	1	2	yes	—
24	C₄×#100	C₂²	1	2	yes	—
25	#1742	C₄	1	2	yes	—
26	#1461	C₂²	1	2	yes	—
27	#1460	C₂²	1	2	yes	—
28	#1459	C₄	1	4	yes	—
29	#1458	C₄	1	4	yes	—
30	#1452	—	2	4	no	—
31	#1451	—	2	4	no	—
32	#1451	C₂²	1	8	yes	—
33	#1283	C₂²	1	8	yes	—
34	C₂²×#41	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
36	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
37	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₄×#41	—	2	2	no	—
39	C₄×#41	—	2	2	no	—
40	C₄×#41	—	2	2	no	—
41	C₄×#41	—	2	2	no	—
42	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
53	C₈×D₄	—	2	16	no	—
54	C₈×D₄	—	2	8	no	—
55	#431	—	2	2	no	—
56	#431	—	2	2	no	—
57	#431	—	2	4	no	—
58	#431	—	2	4	no	—
59	#431	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	#431	D₄	1	4	yes	—
61	#431	D₄	1	4	yes	—
62	#431	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
67	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
68	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
70	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
73	#413	—	2	8	no	—
74	C₂×#101	C₂×C₄	1	4	yes	—
75	C₂×#100	C₂×C₄	1	4	yes	—
76	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
77	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
78	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
80	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
81	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
82	C₄×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂×#97	—	2	2	no	—
84	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
85	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
86	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
87	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
88	#343	C₂×C₄	1	4	yes	—
89	#343	C₂×C₄	1	4	yes	—
90	#324	C₂×C₄	1	8	yes	—
91	#323	C₂×C₄	1	8	yes	—
92	#322	—	2	16	no	—
93	C₂×#41	—	2	2	no	—
94	C₂×#41	—	2	2	no	—
95	C₂×#41	—	2	4	no	—
96	C₂×#41	M₁₆	1	8	yes	—
97	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×D₄	C₄²	1	2	yes	—
99	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	C₄²	1	2	yes	—
101	C₂³×C₄	C₄²	1	2	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
107	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
108	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
109	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
110	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
114	C₂²×C₈	—	8	4	no	—
115	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
116	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
117	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
118	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
120	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
121	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
122	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
123	C₄×D₄	—	2	4	no	—
124	C₄×D₄	—	2	4	no	—
125	C₄×D₄	—	2	4	no	—
126	C₄×D₄	—	2	4	no	—
127	C₄×D₄	—	2	2	no	—
128	C₄×D₄	—	2	2	no	—
129	C₄×D₄	—	2	2	no	—
130	C₄×D₄	—	2	2	no	—
131	#117	—	2	2	no	—
132	#117	—	2	2	no	—
133	#117	—	2	4	no	—
134	#117	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	C₄²	1	2	yes	—
136	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₂²⋊C₄	C₄²	1	2	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	C₄²	1	2	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄²	C₄²	1	2	yes	—
147	C₂×C₄²	C₄²	1	2	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
157	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
158	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
159	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
160	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
161	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
162	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
163	C₄⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
164	C₄⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
165	C₄⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
166	C₄⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
167	#101	—	2	8	no	—
168	#100	—	2	8	no	—
169	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
170	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
171	C₂²⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
172	C₂²⋊C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
173	#97	—	2	4	no	—
174	#97	—	2	4	no	—
175	C₄×C₈	—	2	8	no	—
176	C₄×C₈	—	2	4	no	—
177	C₄×C₈	—	2	4	no	—
178	C₄×C₈	—	2	4	no	—
179	C₄×C₈	—	2	4	no	—
180	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
181	C₂⁴	C₂×C₄²	1	2	yes	—
182	C₂⁴	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
183	#41	—	2	16	no	—
184	#41	—	2	16	no	—
185	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
186	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
187	C₂×Q₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
188	C₂×D₄	—	2	4	no	—
189	C₂×D₄	—	2	4	no	—
190	C₂×D₄	—	2	2	no	—
191	C₂×D₄	—	2	2	no	—
192	C₂×D₄	#97	1	8	yes	—
193	C₂×D₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
206	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
207	C₂²×C₄	#97	1	8	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	#131	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
225	M₁₆	—	2	8	no	—
226	M₁₆	—	2	8	no	—
227	M₁₆	—	4	8	no	—
228	C₂×C₈	—	2	4	no	—
229	C₂×C₈	—	2	8	no	—
230	C₂×C₈	—	2	8	no	—
231	C₂×C₈	—	4	2	no	—
232	C₂×C₈	—	4	2	no	—
233	C₂×C₈	—	4	8	no	—
234	C₂×C₈	—	4	4	no	—
235	C₂×C₈	—	8	8	no	—
236	C₂×C₈	—	8	4	no	—
237	C₂×C₈	—	8	4	no	—
238	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
239	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
240	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
247	C₄²	—	2	2	no	—
248	C₄²	—	2	2	no	—
249	C₄²	—	2	2	no	—
250	C₄²	—	2	2	no	—
251	C₄²	—	2	2	no	—
252	C₄²	—	2	2	no	—
253	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
254	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
255	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
256	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
257	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
258	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
259	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
260	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
261	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
262	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
263	C₂³	—	2	2	no	—
264	C₂³	—	2	2	no	—
265	C₂³	—	4	1	no	—
266	C₂³	—	4	1	no	—
267	C₂³	—	4	2	no	—
268	C₂³	—	4	2	no	—
269	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
270	C₂³	C₂×#97	1	4	yes	—
271	C₂³	C₂×#97	1	2	yes	—
272	C₂³	#405	1	2	yes	—
273	C₂³	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
274	Q₈	—	2	8	no	—
275	D₄	—	2	16	no	—
276	D₄	—	2	8	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	1	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	1	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	8	no	—
284	C₂×C₄	—	2	8	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	4	2	no	—
288	C₂×C₄	—	4	1	no	—
289	C₂×C₄	—	4	2	no	—
290	C₂×C₄	—	4	1	no	—
291	C₂×C₄	—	4	2	no	—
292	C₂×C₄	—	4	1	no	—
293	C₂×C₄	—	4	4	no	—
294	C₂×C₄	—	4	2	no	—
295	C₂×C₄	—	4	2	no	—
296	C₂×C₄	—	4	2	no	—
297	C₂×C₄	—	4	2	no	—
298	C₂×C₄	—	8	2	no	—
299	C₂×C₄	—	8	2	no	—
300	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	C₂×#97	1	4	yes	—
306	C₂×C₄	C₂×#97	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	#405	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	#435	1	8	yes	—
309	C₂×C₄	#435	1	8	yes	—
310	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
316	C₈	—	2	4	no	—
317	C₈	—	2	4	no	—
318	C₈	—	4	8	no	—
319	C₈	—	4	4	no	—
320	C₈	—	4	8	no	—
321	C₂²	—	2	1	no	—
322	C₂²	—	2	2	no	—
323	C₂²	—	2	1	no	—
324	C₂²	—	2	2	no	—
325	C₂²	—	2	4	no	—
326	C₂²	—	4	2	no	—
327	C₂²	—	4	2	no	—
328	C₂²	—	4	4	no	—
329	C₂²	—	4	4	no	—
330	C₂²	—	4	2	no	—
331	C₂²	—	4	2	no	—
332	C₂²	#1752	1	4	yes	—
333	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	C₂²×#97	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	C₂×#405	1	1	yes	characteristic
336	C₄	—	2	4	no	—
337	C₄	—	2	1	no	—
338	C₄	—	2	2	no	—
339	C₄	—	2	2	no	—
340	C₄	—	2	1	no	—
341	C₄	—	2	1	no	—
342	C₄	—	4	2	no	—
343	C₄	—	4	2	no	—
344	C₄	#1752	1	2	yes	—
345	C₄	#1752	1	2	yes	—
346	C₄	#2888	1	1	yes	characteristic
347	C₄	#2889	1	1	yes	characteristic
348	C₄	C₂×#435	1	4	yes	—
349	C₂	—	2	1	no	—
350	C₂	—	2	1	no	—
351	C₂	—	2	4	no	—
352	C₂	—	4	4	no	—
353	C₂	C₂×#1752	1	1	yes	characteristic
354	C₂	#20397	1	1	yes	characteristic
355	C₂	#20401	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂²×#41	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×#431 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #17319	C₂	semidirect
5. #8165	C₂	semidirect
6. #8164	C₂	semidirect
7. C₂×#1283	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2988	2
C₄×#413	2
#17349	2
#17319	2
#8165	2
#8164	2
C₂×#1283	2