Subgroups — #182154

Order 512.

1372 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 352 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#34026	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20463	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×C₄²×C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1476	C₂	1	2	yes	maximal
5	#8177	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8176	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#7890	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×C₄×C₈	—	2	2	no	—
11	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
12	#2298	—	2	2	no	—
13	#2297	C₄	1	2	yes	—
14	#2296	C₄	1	2	yes	—
15	#2295	C₄	1	2	yes	—
16	#2295	C₂²	1	2	yes	—
17	#2293	C₄	1	2	yes	—
18	#2293	C₂²	1	2	yes	—
19	#2290	—	2	2	no	—
20	#2290	—	2	2	no	—
21	C₄×#117	—	2	1	no	—
22	C₄×#117	—	2	1	no	—
23	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1767	C₂²	1	4	yes	—
26	#1749	—	2	2	no	—
27	#1744	—	2	1	no	—
28	C₄×#97	—	2	1	no	—
29	C₄²×C₈	—	2	2	no	—
30	C₄²×C₈	C₂²	1	4	yes	—
31	#1476	C₄	1	16	yes	complemented
32	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
34	#1279	C₂²	1	8	yes	—
35	C₂²×#41	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
37	C₄×#41	—	2	4	no	—
38	C₄×#41	C₂×C₄	1	8	yes	—
39	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
42	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
43	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂×#117	—	2	2	no	—
46	C₂×#117	—	2	1	no	—
47	C₂×#117	—	2	2	no	—
48	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
51	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	#431	—	2	4	no	—
56	#431	C₂×C₄	1	8	yes	—
57	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
59	C₂×#97	—	2	4	no	—
60	C₂×C₄×C₈	—	2	16	no	—
61	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
62	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
66	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
67	#391	C₂×C₄	1	4	yes	—
68	#390	C₂×C₄	1	4	yes	—
69	#389	C₂×C₄	1	4	yes	—
70	#389	C₂×C₄	1	4	yes	—
71	#388	—	2	4	no	—
72	#388	—	2	4	no	—
73	#387	—	2	4	no	—
74	#387	—	2	4	no	—
75	#386	—	2	4	no	—
76	#385	—	2	4	no	—
77	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
78	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
79	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
80	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
81	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
83	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
84	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
85	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
86	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
87	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
88	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
89	#376	—	2	2	no	—
90	#376	—	2	2	no	—
91	#376	—	2	1	no	—
92	C₄³	—	2	1	no	—
93	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	C₄³	D₄	1	2	yes	—
95	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
98	#336	—	2	4	no	—
99	Q₈⋊C₈	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
100	D₄⋊C₈	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
101	C₂×#41	—	2	2	no	—
102	C₂×#41	—	2	8	no	—
103	C₂×#41	C₄²	1	4	yes	—
104	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
106	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
108	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
109	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
110	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
111	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
118	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
119	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
120	C₄×Q₈	C₄²	1	4	yes	—
121	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
122	C₄×D₄	—	2	8	no	—
123	C₄×D₄	—	2	8	no	—
124	C₄×D₄	—	2	2	no	—
125	C₄×D₄	—	2	2	no	—
126	C₄×D₄	C₄²	1	4	yes	—
127	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
128	#117	—	2	2	no	—
129	#117	—	2	8	no	—
130	#117	—	2	8	no	—
131	#117	—	4	8	no	—
132	#117	—	4	8	no	—
133	#117	C₄²	1	4	yes	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
139	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
167	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
172	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
173	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
174	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
175	#97	—	4	8	no	—
176	C₄×C₈	—	2	32	no	—
177	C₄×C₈	—	2	8	no	—
178	C₄×C₈	—	2	8	no	—
179	C₄×C₈	—	2	4	no	—
180	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
181	#95	—	2	4	no	—
182	#95	—	2	4	no	—
183	#95	—	2	4	no	—
184	#95	—	2	4	no	—
185	#95	—	2	2	no	—
186	#95	—	2	2	no	—
187	C₂⁴	—	2	1	no	—
188	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
189	#41	—	2	16	no	—
190	#41	—	4	8	no	—
191	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
192	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
193	C₂×Q₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
194	C₂×D₄	—	2	4	no	—
195	C₂×D₄	—	2	1	no	—
196	C₂×D₄	—	2	4	no	—
197	C₂×D₄	—	4	4	no	—
198	C₂×D₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
214	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	#131	1	8	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂×C₈	—	2	16	no	—
228	C₂×C₈	—	2	32	no	—
229	C₂×C₈	—	2	8	no	—
230	C₂×C₈	—	2	8	no	—
231	C₂×C₈	—	4	8	no	—
232	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
237	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
238	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
239	C₄⋊C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
240	C₄⋊C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
241	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
247	C₄²	—	2	4	no	—
248	C₄²	—	2	8	no	—
249	C₄²	—	2	4	no	—
250	C₄²	—	2	4	no	—
251	C₄²	—	2	4	no	—
252	C₄²	—	2	4	no	—
253	C₄²	—	2	4	no	—
254	C₄²	—	2	8	no	—
255	C₄²	—	2	8	no	—
256	C₄²	—	2	4	no	—
257	C₄²	—	4	4	no	—
258	C₄²	—	4	4	no	—
259	C₄²	—	4	4	no	—
260	C₄²	#104	1	8	yes	—
261	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
262	C₄²	#117	1	2	yes	—
263	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
264	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
265	C₄²	#135	1	8	yes	—
266	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
267	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
268	C₂³	—	2	2	no	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	—	2	2	no	—
271	C₂³	—	4	2	no	—
272	C₂³	—	4	2	no	—
273	C₂³	—	4	2	no	—
274	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
275	C₂³	#408	1	4	yes	—
276	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
277	Q₈	—	2	4	no	—
278	Q₈	—	4	2	no	—
279	D₄	—	2	4	no	—
280	D₄	—	4	8	no	—
281	D₄	—	4	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	32	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	8	no	—
290	C₂×C₄	—	2	8	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	4	2	no	—
295	C₂×C₄	—	4	2	no	—
296	C₂×C₄	—	4	2	no	—
297	C₂×C₄	—	4	8	no	—
298	C₂×C₄	—	4	8	no	—
299	C₂×C₄	—	4	8	no	—
300	C₂×C₄	—	4	4	no	—
301	C₂×C₄	—	4	4	no	—
302	C₂×C₄	—	4	4	no	—
303	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	#405	1	8	yes	—
307	C₂×C₄	#408	1	4	yes	—
308	C₂×C₄	#416	1	8	yes	—
309	C₂×C₄	C₂×#104	1	8	yes	—
310	C₂×C₄	C₂×#104	1	4	yes	—
311	C₂×C₄	#433	1	8	yes	—
312	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	C₂×#131	1	4	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
318	C₈	—	2	16	no	—
319	C₈	—	4	8	no	—
320	C₂²	—	2	8	no	—
321	C₂²	—	2	2	no	—
322	C₂²	—	2	2	no	—
323	C₂²	—	4	2	no	—
324	C₂²	—	4	2	no	—
325	C₂²	—	4	2	no	—
326	C₂²	—	8	4	no	—
327	C₂²	#1750	1	4	yes	—
328	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	C₂×#408	1	2	yes	—
330	C₂²	C₂×#416	1	2	yes	—
331	C₂²	C₂²×#104	1	2	yes	—
332	C₄	—	2	8	no	—
333	C₄	—	2	8	no	—
334	C₄	—	2	2	no	—
335	C₄	—	2	2	no	—
336	C₄	—	4	2	no	—
337	C₄	—	4	2	no	—
338	C₄	—	4	2	no	—
339	C₄	—	8	4	no	—
340	C₄	#1750	1	4	yes	—
341	C₄	C₄×#104	1	4	yes	—
342	C₄	C₂×#405	1	2	yes	—
343	C₄	C₂×#433	1	2	yes	—
344	C₄	C₄×#135	1	4	yes	—
345	C₂	—	2	4	no	—
346	C₂	—	8	2	no	—
347	C₂	#17473	1	4	yes	—
348	C₂	C₂×#1750	1	1	yes	characteristic
349	C₂	C₂×C₄×#104	1	1	yes	characteristic
350	C₂	C₄×#416	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄²	C₂×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂²×#41	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄² ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20463	C₂	semidirect
3. C₂×C₄²×C₈	C₂	semidirect
5. #8177	C₂	semidirect
6. #8176	C₂	semidirect
7. #7890	C₂	semidirect
31. #1476	C₄	semidirect
99. Q₈⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
100. D₄⋊C₈	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#34026	2
#20463	2
C₂×C₄²×C₈	2
C₂×#1476	2
#8177	2
#8176	2
#7890	2