Subgroups — #182157

Order 512.

1220 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 350 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#34026	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20463	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#1744	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1476	C₂	1	2	yes	maximal
5	#8179	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8178	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#7890	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
11	#2298	—	2	2	no	—
12	#2297	C₄	1	2	yes	—
13	#2296	C₄	1	2	yes	—
14	#2295	C₄	1	2	yes	—
15	#2295	C₂²	1	2	yes	—
16	#2293	C₄	1	2	yes	—
17	#2293	C₂²	1	2	yes	—
18	#2290	—	2	2	no	—
19	#2290	—	2	2	no	—
20	C₄×#117	—	2	1	no	—
21	C₄×#117	—	2	1	no	—
22	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1767	C₂²	1	4	yes	—
25	#1749	—	2	2	no	—
26	#1744	—	2	2	no	—
27	#1744	—	2	1	no	—
28	#1744	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×#336	—	2	2	no	—
30	C₄×#97	—	2	1	no	—
31	#1476	C₄	1	16	yes	complemented
32	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
34	#1279	C₂²	1	8	yes	—
35	C₂²×#41	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
37	C₄×#41	—	2	4	no	—
38	C₄×#41	C₂×C₄	1	8	yes	—
39	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
42	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
43	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂×#117	—	2	2	no	—
46	C₂×#117	—	2	1	no	—
47	C₂×#117	—	2	2	no	—
48	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
51	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	#431	—	2	4	no	—
56	#431	C₂×C₄	1	8	yes	—
57	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
59	C₂×#97	—	2	4	no	—
60	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
63	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
64	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
65	#391	C₂×C₄	1	4	yes	—
66	#390	C₂×C₄	1	4	yes	—
67	#389	C₂×C₄	1	4	yes	—
68	#389	C₂×C₄	1	4	yes	—
69	#388	—	2	4	no	—
70	#388	—	2	4	no	—
71	#387	—	2	4	no	—
72	#387	—	2	4	no	—
73	#386	—	2	4	no	—
74	#385	—	2	4	no	—
75	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
76	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
77	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
78	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
79	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
81	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
82	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
83	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
84	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
85	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
86	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
87	#376	—	2	2	no	—
88	#376	—	2	2	no	—
89	#376	—	2	1	no	—
90	C₄³	—	2	1	no	—
91	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	C₄³	D₄	1	2	yes	—
93	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
96	#336	—	2	8	no	—
97	#336	—	2	4	no	—
98	Q₈⋊C₈	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
99	D₄⋊C₈	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
100	C₂×#41	—	2	2	no	—
101	C₂×#41	—	2	8	no	—
102	C₂×#41	C₄²	1	4	yes	—
103	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
105	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
107	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
108	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
109	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
110	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
116	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
117	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
118	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
119	C₄×Q₈	C₄²	1	4	yes	—
120	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
121	C₄×D₄	—	2	8	no	—
122	C₄×D₄	—	2	8	no	—
123	C₄×D₄	—	2	2	no	—
124	C₄×D₄	—	2	2	no	—
125	C₄×D₄	C₄²	1	4	yes	—
126	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
127	#117	—	2	2	no	—
128	#117	—	2	8	no	—
129	#117	—	2	8	no	—
130	#117	—	4	8	no	—
131	#117	—	4	8	no	—
132	#117	C₄²	1	4	yes	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
138	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
155	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
156	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
167	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
171	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
172	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
173	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
174	#97	—	4	8	no	—
175	C₄×C₈	—	2	8	no	—
176	C₄×C₈	—	2	8	no	—
177	C₄×C₈	—	2	4	no	—
178	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
179	#95	—	2	4	no	—
180	#95	—	2	4	no	—
181	#95	—	2	4	no	—
182	#95	—	2	4	no	—
183	#95	—	2	2	no	—
184	#95	—	2	2	no	—
185	C₂⁴	—	2	1	no	—
186	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
187	#41	—	2	16	no	—
188	#41	—	4	8	no	—
189	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
190	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
191	C₂×Q₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
192	C₂×D₄	—	2	4	no	—
193	C₂×D₄	—	2	1	no	—
194	C₂×D₄	—	2	4	no	—
195	C₂×D₄	—	4	4	no	—
196	C₂×D₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
212	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
220	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	#131	1	8	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂×C₈	—	2	8	no	—
226	C₂×C₈	—	2	8	no	—
227	C₂×C₈	—	4	8	no	—
228	C₂×C₈	—	4	16	no	—
229	C₂×C₈	—	4	8	no	—
230	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
232	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
235	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
237	C₄⋊C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
238	C₄⋊C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
239	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
245	C₄²	—	2	4	no	—
246	C₄²	—	2	8	no	—
247	C₄²	—	2	4	no	—
248	C₄²	—	2	4	no	—
249	C₄²	—	2	4	no	—
250	C₄²	—	2	4	no	—
251	C₄²	—	2	4	no	—
252	C₄²	—	2	4	no	—
253	C₄²	—	2	4	no	—
254	C₄²	—	2	4	no	—
255	C₄²	—	4	4	no	—
256	C₄²	—	4	4	no	—
257	C₄²	—	4	4	no	—
258	C₄²	—	4	4	no	—
259	C₄²	—	4	4	no	—
260	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
261	C₄²	#117	1	2	yes	—
262	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
263	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
264	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
265	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
266	C₂³	—	2	2	no	—
267	C₂³	—	2	2	no	—
268	C₂³	—	2	2	no	—
269	C₂³	—	4	2	no	—
270	C₂³	—	4	2	no	—
271	C₂³	—	4	2	no	—
272	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
273	C₂³	#408	1	4	yes	—
274	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
275	Q₈	—	2	4	no	—
276	Q₈	—	4	2	no	—
277	D₄	—	2	4	no	—
278	D₄	—	4	8	no	—
279	D₄	—	4	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	8	no	—
283	C₂×C₄	—	2	8	no	—
284	C₂×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	4	16	no	—
294	C₂×C₄	—	4	2	no	—
295	C₂×C₄	—	4	2	no	—
296	C₂×C₄	—	4	2	no	—
297	C₂×C₄	—	4	8	no	—
298	C₂×C₄	—	4	8	no	—
299	C₂×C₄	—	4	8	no	—
300	C₂×C₄	—	4	4	no	—
301	C₂×C₄	—	4	4	no	—
302	C₂×C₄	—	4	4	no	—
303	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	#405	1	8	yes	—
307	C₂×C₄	#408	1	4	yes	—
308	C₂×C₄	#421	1	4	yes	—
309	C₂×C₄	#433	1	8	yes	—
310	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	C₂×#131	1	4	yes	—
315	C₂×C₄	#575	1	4	yes	—
316	C₈	—	4	8	no	—
317	C₈	—	4	8	no	—
318	C₂²	—	2	8	no	—
319	C₂²	—	2	2	no	—
320	C₂²	—	2	2	no	—
321	C₂²	—	4	2	no	—
322	C₂²	—	4	2	no	—
323	C₂²	—	4	2	no	—
324	C₂²	—	8	4	no	—
325	C₂²	#1750	1	4	yes	—
326	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	C₂×#408	1	2	yes	—
328	C₂²	#2896	1	2	yes	—
329	C₂²	C₂×#421	1	2	yes	—
330	C₄	—	2	2	no	—
331	C₄	—	2	2	no	—
332	C₄	—	4	4	no	—
333	C₄	—	4	4	no	—
334	C₄	—	4	2	no	—
335	C₄	—	4	2	no	—
336	C₄	—	4	2	no	—
337	C₄	—	8	4	no	—
338	C₄	#1750	1	4	yes	—
339	C₄	#1759	1	4	yes	—
340	C₄	C₂×#405	1	2	yes	—
341	C₄	C₂×#433	1	2	yes	—
342	C₄	#2943	1	4	yes	—
343	C₂	—	2	4	no	—
344	C₂	—	8	2	no	—
345	C₂	#17477	1	4	yes	—
346	C₂	C₂×#1750	1	1	yes	characteristic
347	C₂	C₂×#1759	1	1	yes	characteristic
348	C₂	#20411	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄²	C₂×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂²×#41	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄² ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20463	C₂	semidirect
3. C₂×#1744	C₂	semidirect
5. #8179	C₂	semidirect
6. #8178	C₂	semidirect
7. #7890	C₂	semidirect
31. #1476	C₄	semidirect
98. Q₈⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
99. D₄⋊C₈	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#34026	2
#20463	2
C₂×#1744	2
C₂×#1476	2
#8179	2
#8178	2
#7890	2