Subgroups — #182174

Order 512.

1554 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 396 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×#518	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20547	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20473	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1478	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂²×D₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#8174	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#8172	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#7891	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#7890	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#518	C₄	1	2	yes	—
11	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#2275	—	2	2	no	—
17	#2275	C₄	1	4	yes	—
18	#2274	C₄	1	2	yes	—
19	#2273	—	2	2	no	—
20	C₄²×D₄	—	2	2	no	—
21	C₄²×D₄	C₂²	1	4	yes	—
22	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
25	#1770	—	2	2	no	—
26	#1770	—	2	2	no	—
27	#1767	C₂²	1	4	yes	complemented
28	#1752	—	2	2	no	—
29	#1752	—	2	2	no	—
30	#1744	C₂²	1	2	yes	complemented
31	C₄×#97	C₂²	1	2	yes	complemented
32	#1478	C₄	1	8	yes	complemented
33	C₂×D₄⋊C₈	C₄	1	8	yes	complemented
34	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
37	#1279	C₂²	1	2	yes	complemented
38	#1279	C₂²	1	2	yes	complemented
39	#1279	C₂²	1	4	yes	complemented
40	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂⁴×C₄	—	2	1	no	—
42	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
43	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
44	#518	—	2	8	no	—
45	#518	—	2	8	no	—
46	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
47	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
48	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
49	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
54	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
60	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
61	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
62	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	#431	—	2	2	no	—
64	#431	—	2	2	no	—
65	#431	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
66	#431	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
67	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
68	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
69	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
71	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
74	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
75	C₂×#97	—	2	4	no	—
76	C₂×#97	—	2	4	no	—
77	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
78	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
79	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
81	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
84	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
85	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
87	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
88	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
89	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
90	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
91	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
92	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
93	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
94	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
95	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
96	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
97	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
98	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
99	#376	—	2	1	no	—
100	#376	C₂×C₄	1	2	yes	—
101	C₂×#95	—	2	4	no	—
102	C₄³	—	2	1	no	—
103	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
104	#336	—	2	4	no	—
105	#336	—	2	4	no	—
106	D₄⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
107	D₄⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
108	D₄⋊C₈	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
109	C₂⁵	—	2	1	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
113	C₂²×D₄	C₄²	1	4	yes	—
114	C₂²×D₄	M₁₆	1	8	yes	—
115	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
116	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
117	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
118	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
119	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
120	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
121	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
122	C₂³×C₄	—	8	2	no	—
123	C₂³×C₄	—	8	2	no	—
124	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
134	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
135	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
136	C₄×D₄	—	2	32	no	—
137	C₄×D₄	—	2	16	no	—
138	C₄×D₄	—	2	16	no	—
139	C₄×D₄	—	2	4	no	—
140	C₄×D₄	—	2	4	no	—
141	C₄×D₄	—	2	4	no	—
142	C₄×D₄	—	2	4	no	—
143	C₄×D₄	—	2	4	no	—
144	C₄×D₄	—	2	2	no	—
145	C₄×D₄	—	2	2	no	—
146	C₄×D₄	C₄²	1	8	yes	—
147	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
148	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
149	#117	—	2	4	no	—
150	#117	—	2	4	no	—
151	#117	—	2	4	no	—
152	#117	M₁₆	1	8	yes	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	C₄²	1	4	yes	—
156	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
157	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
167	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
171	C₂×C₄²	—	8	4	no	—
172	C₂×C₄²	—	8	4	no	—
173	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
182	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
183	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
184	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
185	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
186	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
187	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
188	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
189	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
190	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
191	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
192	#97	—	4	8	no	—
193	#97	—	8	4	no	—
194	C₄×C₈	—	2	4	no	—
195	C₄×C₈	—	2	4	no	—
196	C₄×C₈	—	2	1	no	—
197	C₄×C₈	—	2	1	no	—
198	C₄×C₈	—	2	2	no	—
199	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
200	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
201	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
202	#95	—	2	2	no	—
203	#95	—	2	8	no	—
204	#95	—	2	2	no	—
205	#95	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
206	#95	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
207	C₂⁴	—	2	2	no	—
208	C₂⁴	—	2	4	no	—
209	C₂⁴	—	2	8	no	—
210	C₂⁴	—	8	2	no	—
211	C₂⁴	—	8	2	no	—
212	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂×D₄	—	2	2	no	—
214	C₂×D₄	—	2	4	no	—
215	C₂×D₄	—	2	4	no	—
216	C₂×D₄	—	2	8	no	—
217	C₂×D₄	—	2	8	no	—
218	C₂×D₄	—	2	16	no	—
219	C₂×D₄	#97	1	16	yes	complemented
220	C₂×D₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
221	C₂×D₄	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
222	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
235	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
238	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
239	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
241	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₈	—	2	4	no	—
257	C₂×C₈	—	2	2	no	—
258	C₂×C₈	—	2	2	no	—
259	C₂×C₈	—	2	4	no	—
260	C₂×C₈	—	2	4	no	—
261	C₂×C₈	—	2	4	no	—
262	C₂×C₈	—	4	8	no	—
263	C₂×C₈	—	4	4	no	—
264	C₂×C₈	—	4	2	no	—
265	C₂×C₈	—	4	2	no	—
266	C₂×C₈	—	4	4	no	—
267	C₂×C₈	—	4	2	no	—
268	C₂×C₈	—	8	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
273	C₄⋊C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
274	C₄⋊C₄	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
275	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
281	C₄²	—	2	4	no	—
282	C₄²	—	2	4	no	—
283	C₄²	—	2	4	no	—
284	C₄²	—	2	4	no	—
285	C₄²	—	2	8	no	—
286	C₄²	—	4	4	no	—
287	C₄²	—	4	2	no	—
288	C₄²	—	4	2	no	—
289	C₄²	—	8	2	no	—
290	C₄²	—	8	8	no	—
291	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
292	C₄²	#117	1	2	yes	—
293	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
294	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
295	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
296	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
297	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
298	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
299	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
300	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
301	C₂³	—	2	2	no	—
302	C₂³	—	2	2	no	—
303	C₂³	—	2	8	no	—
304	C₂³	—	2	4	no	—
305	C₂³	—	2	16	no	—
306	C₂³	—	4	4	no	—
307	C₂³	—	4	4	no	—
308	C₂³	—	8	4	no	—
309	C₂³	—	8	16	no	—
310	C₂³	—	8	4	no	—
311	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
312	C₂³	#407	1	4	yes	—
313	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
314	D₄	—	2	4	no	—
315	D₄	—	2	8	no	—
316	D₄	—	2	16	no	—
317	D₄	C₂×#97	1	8	yes	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	2	4	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	8	no	—
325	C₂×C₄	—	2	8	no	—
326	C₂×C₄	—	2	8	no	—
327	C₂×C₄	—	2	8	no	—
328	C₂×C₄	—	2	4	no	—
329	C₂×C₄	—	4	2	no	—
330	C₂×C₄	—	4	2	no	—
331	C₂×C₄	—	4	4	no	—
332	C₂×C₄	—	4	4	no	—
333	C₂×C₄	—	4	4	no	—
334	C₂×C₄	—	4	8	no	—
335	C₂×C₄	—	4	4	no	—
336	C₂×C₄	—	4	4	no	—
337	C₂×C₄	—	8	8	no	—
338	C₂×C₄	—	8	4	no	—
339	C₂×C₄	—	8	32	no	—
340	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	C₂×#97	1	4	yes	—
344	C₂×C₄	C₄×M₁₆	1	4	yes	—
345	C₂×C₄	#407	1	4	yes	—
346	C₂×C₄	#432	1	8	yes	—
347	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
357	C₈	—	2	4	no	—
358	C₈	—	4	4	no	—
359	C₈	—	4	2	no	—
360	C₈	—	4	4	no	—
361	C₈	—	4	4	no	—
362	C₂²	—	2	8	no	—
363	C₂²	—	2	2	no	—
364	C₂²	—	2	2	no	—
365	C₂²	—	2	8	no	—
366	C₂²	—	4	16	no	—
367	C₂²	—	4	4	no	—
368	C₂²	—	4	4	no	—
369	C₂²	—	8	16	no	—
370	C₂²	#1749	1	4	yes	—
371	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
372	C₂²	C₂×#407	1	2	yes	—
373	C₂²	#2897	1	2	yes	—
374	C₂²	#2901	1	2	yes	—
375	C₄	—	2	1	no	—
376	C₄	—	2	1	no	—
377	C₄	—	2	2	no	—
378	C₄	—	2	2	no	—
379	C₄	—	4	8	no	—
380	C₄	—	4	8	no	—
381	C₄	—	4	4	no	—
382	C₄	#1749	1	4	yes	—
383	C₄	C₂²×#97	1	1	yes	characteristic
384	C₄	C₂×C₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
385	C₄	C₂×#432	1	2	yes	—
386	C₄	#2946	1	2	yes	—
387	C₄	#2948	1	1	yes	characteristic
388	C₄	#2949	1	1	yes	characteristic
389	C₂	—	2	4	no	—
390	C₂	—	4	8	no	—
391	C₂	#17453	1	4	yes	—
392	C₂	C₂×#1749	1	1	yes	characteristic
393	C₂	#20405	1	1	yes	characteristic
394	C₂	#20416	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂³×D₄	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20547	C₂	semidirect
3. #20473	C₂	semidirect
6. #8174	C₂	semidirect
7. #8172	C₂	semidirect
8. #7891	C₂	semidirect
9. #7890	C₂	semidirect
27. #1767	C₂²	semidirect
30. #1744	C₂²	semidirect
31. C₄×#97	C₂²	semidirect
32. #1478	C₄	semidirect
33. C₂×D₄⋊C₈	C₄	semidirect
37. #1279	C₂²	semidirect
38. #1279	C₂²	semidirect
39. #1279	C₂²	semidirect
65. #431	C₂×C₄	semidirect
66. #431	C₂×C₄	semidirect
70. C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
80. C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	semidirect
106. D₄⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
107. D₄⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
108. D₄⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
219. C₂×D₄	#97	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×#518	2
#20547	2
#20473	2
C₂×#1478	2
C₂²×D₄⋊C₈	2
#8174	2
#8172	2
#7891	2
#7890	2