Subgroups — #182193

Order 512.

1194 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 358 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×#533	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₄×#423	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1744	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1493	C₂	1	2	yes	maximal
5	#8178	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8171	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#7897	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
11	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
12	C₄×C₄⋊Q₈	C₄	1	2	yes	—
13	C₄×C₄⋊Q₈	C₄	1	2	yes	—
14	C₄×#125	—	2	2	no	—
15	C₄×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
16	C₄×C₂²⋊Q₈	C₄	1	4	yes	—
17	#2296	—	2	1	no	—
18	#2295	—	2	1	no	—
19	#2295	C₂²	1	2	yes	—
20	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₄²×Q₈	—	2	1	no	—
22	C₄²×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
23	C₄×#117	—	2	1	no	—
24	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1767	—	2	1	no	—
26	#1767	C₂²	1	2	yes	—
27	C₄×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
28	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
29	#1744	—	2	2	no	—
30	#1744	C₂²	1	2	yes	—
31	#1744	C₂²	1	2	yes	—
32	#1728	—	2	1	no	—
33	C₂×#336	—	2	2	no	—
34	#1493	C₄	1	16	yes	complemented
35	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	8	yes	—
36	#1279	C₂²	1	8	yes	—
37	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
38	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
39	#533	—	2	4	no	—
40	#533	C₂×C₄	1	8	yes	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#125	—	2	1	no	—
44	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
45	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
48	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×#117	—	2	1	no	—
51	C₂×#117	—	2	1	no	—
52	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	#423	—	2	4	no	—
58	#423	C₂×C₄	1	8	yes	—
59	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
61	C₄×M₁₆	—	4	4	no	—
62	C₂×#97	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
67	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
68	#391	—	2	2	no	—
69	#391	C₂×C₄	1	4	yes	—
70	#389	—	2	2	no	—
71	#389	—	2	2	no	—
72	#389	—	2	2	no	—
73	#389	C₂×C₄	1	4	yes	—
74	#387	—	2	4	no	—
75	#387	—	2	4	no	—
76	#385	—	2	4	no	—
77	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	#382	—	2	1	no	—
79	#380	—	2	1	no	—
80	#380	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
82	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
83	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
84	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
85	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
86	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
87	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
88	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
89	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
90	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
91	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
92	#376	—	2	2	no	—
93	C₄³	—	2	2	no	—
94	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	C₄³	D₄	1	2	yes	—
96	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	#336	—	2	4	no	—
101	#336	—	2	4	no	—
102	#336	—	2	2	no	—
103	#336	—	2	2	no	—
104	Q₈⋊C₈	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
105	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
106	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
108	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
113	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
114	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
118	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
119	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
120	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
121	C₄⋊Q₈	C₄²	1	4	yes	—
122	C₄⋊Q₈	C₄²	1	4	yes	—
123	#125	—	2	8	no	—
124	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
125	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
126	C₂²⋊Q₈	C₄²	1	8	yes	—
127	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
128	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
129	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
130	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
131	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
132	#117	—	2	8	no	—
133	#117	—	4	2	no	—
134	#117	—	4	2	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
145	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
157	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
167	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
177	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
178	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
179	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
180	#97	—	4	4	no	—
181	C₄×C₈	—	2	8	no	—
182	C₄×C₈	—	2	4	no	—
183	C₄×C₈	—	4	4	no	—
184	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
185	#95	—	2	4	no	—
186	#95	—	2	4	no	—
187	#95	—	2	2	no	—
188	#95	—	2	4	no	—
189	#95	—	2	4	no	—
190	#95	—	2	2	no	—
191	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
193	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
194	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
195	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
196	C₂×Q₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
218	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	#137	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	#137	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
225	M₁₆	—	4	16	no	—
226	C₂×C₈	—	2	8	no	—
227	C₂×C₈	—	2	8	no	—
228	C₂×C₈	—	4	8	no	—
229	C₂×C₈	—	4	16	no	—
230	C₂×C₈	—	4	4	no	—
231	C₂×C₈	—	4	4	no	—
232	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
243	C₄⋊C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
244	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
246	C₄²	—	2	8	no	—
247	C₄²	—	2	4	no	—
248	C₄²	—	2	1	no	—
249	C₄²	—	2	1	no	—
250	C₄²	—	2	2	no	—
251	C₄²	—	2	1	no	—
252	C₄²	—	2	2	no	—
253	C₄²	—	2	1	no	—
254	C₄²	—	2	4	no	—
255	C₄²	—	2	4	no	—
256	C₄²	—	2	4	no	—
257	C₄²	—	2	4	no	—
258	C₄²	—	2	4	no	—
259	C₄²	—	2	4	no	—
260	C₄²	—	4	2	no	—
261	C₄²	—	4	2	no	—
262	C₄²	—	4	8	no	—
263	C₄²	—	4	2	no	—
264	C₄²	—	4	2	no	—
265	C₄²	—	4	8	no	—
266	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
267	C₄²	#117	1	2	yes	—
268	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
269	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
270	C₄²	#131	1	8	yes	—
271	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
272	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
273	C₂³	—	2	2	no	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
276	C₂³	#417	1	2	yes	—
277	C₂³	#419	1	2	yes	—
278	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
279	Q₈	—	2	8	no	—
280	Q₈	—	4	4	no	—
281	Q₈	—	4	8	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	8	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	4	no	—
299	C₂×C₄	—	4	8	no	—
300	C₂×C₄	—	4	8	no	—
301	C₂×C₄	—	4	4	no	—
302	C₂×C₄	—	4	4	no	—
303	C₂×C₄	—	4	4	no	—
304	C₂×C₄	—	4	4	no	—
305	C₂×C₄	—	4	4	no	—
306	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	#408	1	4	yes	—
310	C₂×C₄	#408	1	4	yes	—
311	C₂×C₄	#417	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	#419	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	#421	1	4	yes	—
314	C₂×C₄	#440	1	8	yes	—
315	C₂×C₄	#441	1	8	yes	—
316	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	C₂×#131	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
324	C₈	—	4	8	no	—
325	C₈	—	4	8	no	—
326	C₂²	—	2	4	no	—
327	C₂²	—	2	4	no	—
328	C₂²	—	2	2	no	—
329	C₂²	—	2	2	no	—
330	C₂²	#1763	1	4	yes	—
331	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	C₂×#408	1	2	yes	—
333	C₂²	C₂×#419	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	C₂×#417	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	C₂×#421	1	2	yes	—
336	C₄	—	2	4	no	—
337	C₄	—	2	4	no	—
338	C₄	—	2	2	no	—
339	C₄	—	2	2	no	—
340	C₄	—	4	2	no	—
341	C₄	—	4	2	no	—
342	C₄	—	4	4	no	—
343	C₄	—	4	4	no	—
344	C₄	—	8	4	no	—
345	C₄	#1759	1	4	yes	—
346	C₄	#1763	1	4	yes	—
347	C₄	C₄×#131	1	2	yes	—
348	C₄	#2922	1	2	yes	—
349	C₄	C₂×#440	1	2	yes	—
350	C₄	C₂×#441	1	2	yes	—
351	C₂	—	2	4	no	—
352	C₂	#17479	1	2	yes	—
353	C₂	#17481	1	2	yes	—
354	C₂	C₄×#408	1	1	yes	characteristic
355	C₂	C₂×#1759	1	1	yes	characteristic
356	C₂	C₂×#1763	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #8178	C₂	semidirect
6. #8171	C₂	semidirect
34. #1493	C₄	semidirect
104. Q₈⋊C₈	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×#533	2
C₄×#423	2
C₂×#1744	2
C₂×#1493	2
#8178	2
#8171	2
#7897	2