Subgroups — #182201

Order 512.

1040 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 387 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#34085	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20549	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₈×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1497	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1493	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#8178	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#8176	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#8171	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₄×Q₈⋊C₈	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#7899	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	#7898	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#432	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#2336	—	2	2	no	—
18	#2332	—	2	2	no	—
19	#2331	C₄	1	2	yes	—
20	#2327	C₄	1	2	yes	—
21	#2323	C₄	1	4	yes	—
22	#2298	—	2	2	no	—
23	#2295	—	2	2	no	—
24	#2295	C₂²	1	2	yes	—
25	#2283	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₄²×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
27	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1771	—	2	2	no	—
29	C₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
30	#1767	C₂²	1	2	yes	—
31	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
32	#1753	—	2	2	no	—
33	C₈×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
34	#1744	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1744	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#1497	C₄	1	8	yes	complemented
39	#1493	C₄	1	8	yes	complemented
40	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
44	#1279	C₂²	1	2	yes	—
45	#1279	C₂²	1	2	yes	—
46	#1279	C₂²	1	2	yes	—
47	#1279	C₂²	1	2	yes	—
48	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
49	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
50	#533	—	2	2	no	—
51	#533	—	2	2	no	—
52	#533	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	#533	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂×#125	—	2	1	no	—
57	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
58	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
60	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
61	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×#117	—	2	1	no	—
63	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	#432	—	2	2	no	—
66	#432	C₂×C₄	1	4	yes	—
67	#431	—	2	2	no	—
68	#431	C₂×C₄	1	4	yes	—
69	#423	—	2	2	no	—
70	#423	C₂×C₄	1	4	yes	—
71	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
72	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
73	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
76	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
77	C₂×#97	—	2	1	no	—
78	C₂×#97	—	2	2	no	—
79	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
80	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
84	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
85	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	#391	—	2	4	no	—
90	#391	C₂×C₄	1	4	yes	—
91	#389	—	2	4	no	—
92	#389	C₂×C₄	1	4	yes	—
93	#388	—	2	4	no	—
94	#388	—	2	4	no	—
95	#387	—	2	4	no	—
96	#387	—	2	4	no	—
97	#387	—	2	4	no	—
98	#387	—	2	4	no	—
99	#387	—	2	4	no	—
100	#383	—	2	1	no	—
101	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
102	#381	—	2	1	no	—
103	#380	C₂×C₄	1	2	yes	—
104	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
105	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
106	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
107	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
108	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
109	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
110	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
111	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
112	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
113	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
114	#376	—	2	1	no	—
115	#376	—	2	2	no	—
116	#376	C₂×C₄	1	2	yes	—
117	C₄³	—	2	2	no	—
118	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
119	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
120	#336	—	2	2	no	—
121	#336	—	2	2	no	—
122	#336	—	2	2	no	—
123	#336	—	2	2	no	—
124	Q₈⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
125	Q₈⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
126	Q₈⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
127	Q₈⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
128	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
129	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
134	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
143	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
144	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
145	C₄⋊Q₈	C₄²	1	4	yes	—
146	C₄⋊Q₈	C₄²	1	4	yes	—
147	#125	—	2	4	no	—
148	#125	—	2	4	no	—
149	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
150	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
151	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
152	C₂²⋊Q₈	C₄²	1	8	yes	—
153	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
154	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
155	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
156	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
157	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
158	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
159	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
160	#117	—	2	4	no	—
161	#117	—	2	4	no	—
162	#117	—	2	8	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
171	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
172	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
176	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
178	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
180	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
183	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
184	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
192	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
193	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
194	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
195	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
196	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
197	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
198	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
199	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
200	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
201	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
202	#97	—	2	4	no	—
203	#97	—	8	2	no	—
204	C₄×C₈	—	2	4	no	—
205	C₄×C₈	—	2	1	no	—
206	C₄×C₈	—	2	1	no	—
207	C₄×C₈	—	2	1	no	—
208	C₄×C₈	—	2	1	no	—
209	C₄×C₈	—	4	4	no	—
210	C₄×C₈	—	4	4	no	—
211	C₄×C₈	—	8	2	no	—
212	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
213	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
214	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
215	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
216	#95	—	2	2	no	—
217	#95	—	2	2	no	—
218	#95	—	2	4	no	—
219	#95	—	2	4	no	—
220	#95	—	2	2	no	—
221	#95	—	2	4	no	—
222	#95	—	2	4	no	—
223	#95	—	2	2	no	—
224	#95	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
225	#95	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
226	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
228	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
230	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
231	C₂×Q₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
239	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
245	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
253	M₁₆	—	8	4	no	—
254	C₂×C₈	—	2	4	no	—
255	C₂×C₈	—	2	2	no	—
256	C₂×C₈	—	2	2	no	—
257	C₂×C₈	—	2	2	no	—
258	C₂×C₈	—	2	2	no	—
259	C₂×C₈	—	2	4	no	—
260	C₂×C₈	—	2	4	no	—
261	C₂×C₈	—	4	8	no	—
262	C₂×C₈	—	4	2	no	—
263	C₂×C₈	—	4	2	no	—
264	C₂×C₈	—	4	2	no	—
265	C₂×C₈	—	4	2	no	—
266	C₂×C₈	—	4	2	no	—
267	C₂×C₈	—	4	2	no	—
268	C₂×C₈	—	4	2	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
278	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
279	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
280	C₄⋊C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
281	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
284	C₄²	—	2	4	no	—
285	C₄²	—	2	4	no	—
286	C₄²	—	2	4	no	—
287	C₄²	—	2	2	no	—
288	C₄²	—	2	2	no	—
289	C₄²	—	2	2	no	—
290	C₄²	—	2	2	no	—
291	C₄²	—	4	2	no	—
292	C₄²	—	4	2	no	—
293	C₄²	—	4	2	no	—
294	C₄²	—	4	2	no	—
295	C₄²	—	4	8	no	—
296	C₄²	—	8	4	no	—
297	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
298	C₄²	#117	1	2	yes	—
299	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
300	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
301	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
302	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
303	C₄²	#131	1	8	yes	—
304	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
305	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
306	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
307	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
308	C₂³	—	2	2	no	—
309	C₂³	—	2	2	no	—
310	C₂³	—	2	2	no	—
311	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
312	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
313	Q₈	—	2	8	no	—
314	Q₈	—	4	4	no	—
315	Q₈	—	8	4	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	4	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	4	no	—
323	C₂×C₄	—	2	4	no	—
324	C₂×C₄	—	2	4	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	4	no	—
328	C₂×C₄	—	2	4	no	—
329	C₂×C₄	—	2	4	no	—
330	C₂×C₄	—	2	4	no	—
331	C₂×C₄	—	2	4	no	—
332	C₂×C₄	—	4	2	no	—
333	C₂×C₄	—	4	2	no	—
334	C₂×C₄	—	4	4	no	—
335	C₂×C₄	—	4	4	no	—
336	C₂×C₄	—	4	4	no	—
337	C₂×C₄	—	4	4	no	—
338	C₂×C₄	—	4	4	no	—
339	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	#408	1	8	yes	—
343	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	C₂×#131	1	4	yes	—
350	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
352	C₈	—	2	4	no	—
353	C₈	—	4	2	no	—
354	C₈	—	4	2	no	—
355	C₈	—	4	2	no	—
356	C₈	—	4	4	no	—
357	C₈	—	4	4	no	—
358	C₂²	—	2	2	no	—
359	C₂²	—	2	2	no	—
360	C₂²	—	2	2	no	—
361	C₂²	—	4	4	no	—
362	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	C₂×#408	1	2	yes	—
364	C₂²	#2898	1	2	yes	—
365	C₂²	#2901	1	2	yes	—
366	C₄	—	2	8	no	—
367	C₄	—	2	2	no	—
368	C₄	—	2	1	no	—
369	C₄	—	2	1	no	—
370	C₄	—	2	2	no	—
371	C₄	—	2	2	no	—
372	C₄	—	4	4	no	—
373	C₄	—	4	4	no	—
374	C₄	—	4	4	no	—
375	C₄	—	8	4	no	—
376	C₄	C₄×#131	1	2	yes	—
377	C₄	#2922	1	2	yes	—
378	C₄	#2947	1	2	yes	—
379	C₄	#2949	1	1	yes	characteristic
380	C₄	#2950	1	1	yes	characteristic
381	C₂	—	4	2	no	—
382	C₂	#17484	1	4	yes	—
383	C₂	C₄×#408	1	1	yes	characteristic
384	C₂	#20405	1	1	yes	characteristic
385	C₂	#20417	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
6. #8178	C₂	semidirect
7. #8176	C₂	semidirect
8. #8171	C₂	semidirect
9. C₄×Q₈⋊C₈	C₂	semidirect
38. #1497	C₄	semidirect
39. #1493	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#34085	2
#20549	2
C₈×#117	2
C₂×#1497	2
C₂×#1493	2
#8178	2
#8176	2
#8171	2
C₄×Q₈⋊C₈	2
#7899	2
#7898	2