Subgroups — #182213

Order 512.

1332 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 379 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×#532	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₄×#432	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20463	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1496	C₂	1	2	yes	maximal
5	#8181	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8174	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#7900	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×C₄×#41	—	2	1	no	—
10	C₂×#432	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
12	C₄×C₄⋊Q₈	C₄	1	2	yes	—
13	C₄×#127	C₄	1	2	yes	—
14	C₄×#124	—	2	2	no	—
15	C₄×#121	—	2	2	no	—
16	C₄×#121	C₄	1	4	yes	—
17	#2297	—	2	1	no	—
18	#2293	—	2	1	no	—
19	#2293	C₂²	1	2	yes	—
20	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₄²×D₄	—	2	1	no	—
22	C₄²×D₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1767	—	2	2	no	—
25	#1767	C₂²	1	2	yes	—
26	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
27	#1749	—	2	2	no	—
28	#1749	—	2	1	no	—
29	C₄×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
30	#1745	—	2	1	no	—
31	#1744	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄×#97	—	2	1	no	—
33	C₄×#97	C₂²	1	2	yes	—
34	#1496	C₄	1	16	yes	complemented
35	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	8	yes	—
36	#1279	C₂²	1	8	yes	—
37	C₂²×#41	—	2	1	no	—
38	#532	—	2	4	no	—
39	#532	C₂×C₄	1	8	yes	—
40	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#124	—	2	1	no	—
43	C₂×#121	—	2	1	no	—
44	C₂×#121	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₄×#41	—	4	8	no	—
46	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
48	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
51	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×#117	—	2	1	no	—
54	C₂×#117	—	2	2	no	—
55	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
56	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
60	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	#432	—	2	4	no	—
62	#432	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
63	#431	—	2	4	no	—
64	#431	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
65	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
68	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
69	C₂×#97	—	2	2	no	—
70	C₂×#97	—	2	2	no	—
71	C₂×#97	—	2	4	no	—
72	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
74	#391	—	2	2	no	—
75	#390	—	2	2	no	—
76	#390	—	2	2	no	—
77	#390	C₂×C₄	1	4	yes	—
78	#389	—	2	2	no	—
79	#389	C₂×C₄	1	4	yes	—
80	#388	—	2	4	no	—
81	#388	—	2	4	no	—
82	#386	—	2	4	no	—
83	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	#382	—	2	1	no	—
85	#380	—	2	1	no	—
86	#380	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
88	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
89	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
90	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
91	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
92	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
93	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
94	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
95	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
96	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₄³	D₄	1	2	yes	—
99	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	#336	—	2	4	no	—
102	#336	—	2	2	no	—
103	#336	—	2	2	no	—
104	D₄⋊C₈	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
105	C₂×#41	—	2	8	no	—
106	C₂×#41	—	4	4	no	—
107	C₂×#41	—	4	4	no	—
108	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
112	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
113	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
114	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
115	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
116	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
122	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
123	C₄⋊Q₈	C₄²	1	4	yes	—
124	#127	—	2	2	no	—
125	#127	C₄²	1	4	yes	—
126	#124	—	2	8	no	—
127	#121	—	2	4	no	—
128	#121	—	2	8	no	—
129	#121	C₄²	1	8	yes	—
130	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
131	C₄×D₄	—	2	8	no	—
132	C₄×D₄	—	2	4	no	—
133	C₄×D₄	—	4	8	no	—
134	C₄×D₄	—	4	8	no	—
135	C₄×D₄	—	4	8	no	—
136	C₄×D₄	—	4	16	no	—
137	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
138	#117	—	4	8	no	—
139	#117	—	4	4	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
145	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
156	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
157	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
158	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
159	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
167	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
179	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
180	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
181	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
182	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
183	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
184	#97	—	2	8	no	—
185	#97	—	4	8	no	—
186	#97	—	4	4	no	—
187	C₄×C₈	—	2	4	no	—
188	C₄×C₈	—	4	4	no	—
189	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
190	#95	—	2	2	no	—
191	#95	—	2	4	no	—
192	#95	—	2	4	no	—
193	#95	—	2	2	no	—
194	C₂⁴	—	2	2	no	—
195	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
196	#41	—	4	32	no	—
197	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
198	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
199	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
200	C₂×D₄	—	2	8	no	—
201	C₂×D₄	—	2	2	no	—
202	C₂×D₄	—	2	8	no	—
203	C₂×D₄	—	2	4	no	—
204	C₂×D₄	—	2	4	no	—
205	C₂×D₄	—	4	2	no	—
206	C₂×D₄	—	4	4	no	—
207	C₂×D₄	—	4	2	no	—
208	C₂×D₄	—	4	4	no	—
209	C₂×D₄	—	4	4	no	—
210	C₂×D₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
211	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
229	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
239	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂×C₈	—	2	8	no	—
244	C₂×C₈	—	2	8	no	—
245	C₂×C₈	—	4	8	no	—
246	C₂×C₈	—	4	4	no	—
247	C₂×C₈	—	4	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
254	C₄⋊C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
255	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
261	C₄²	—	2	4	no	—
262	C₄²	—	2	4	no	—
263	C₄²	—	2	2	no	—
264	C₄²	—	2	2	no	—
265	C₄²	—	2	2	no	—
266	C₄²	—	2	4	no	—
267	C₄²	—	2	4	no	—
268	C₄²	—	2	4	no	—
269	C₄²	—	4	2	no	—
270	C₄²	—	4	2	no	—
271	C₄²	—	4	2	no	—
272	C₄²	—	4	2	no	—
273	C₄²	—	4	2	no	—
274	C₄²	—	4	4	no	—
275	C₄²	—	4	8	no	—
276	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
277	C₄²	#117	1	2	yes	—
278	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
279	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
280	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
281	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
282	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
283	C₂³	—	2	2	no	—
284	C₂³	—	2	1	no	—
285	C₂³	—	2	1	no	—
286	C₂³	—	2	2	no	—
287	C₂³	—	2	4	no	—
288	C₂³	—	4	4	no	—
289	C₂³	—	4	2	no	—
290	C₂³	—	4	2	no	—
291	C₂³	—	4	4	no	—
292	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
293	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
294	Q₈	—	4	8	no	—
295	D₄	—	2	8	no	—
296	D₄	—	4	8	no	—
297	D₄	—	4	8	no	—
298	D₄	—	4	16	no	—
299	D₄	—	4	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	1	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	1	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	4	no	—
310	C₂×C₄	—	2	4	no	—
311	C₂×C₄	—	2	8	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	4	4	no	—
320	C₂×C₄	—	4	8	no	—
321	C₂×C₄	—	4	8	no	—
322	C₂×C₄	—	4	2	no	—
323	C₂×C₄	—	4	2	no	—
324	C₂×C₄	—	4	16	no	—
325	C₂×C₄	—	4	4	no	—
326	C₂×C₄	—	4	4	no	—
327	C₂×C₄	—	4	4	no	—
328	C₂×C₄	—	8	16	no	—
329	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	#418	1	4	yes	—
333	C₂×C₄	#421	1	4	yes	—
334	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#568	1	4	yes	—
339	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
341	C₈	—	4	8	no	—
342	C₈	—	4	8	no	—
343	C₂²	—	2	2	no	—
344	C₂²	—	2	2	no	—
345	C₂²	—	2	2	no	—
346	C₂²	—	4	2	no	—
347	C₂²	—	4	2	no	—
348	C₂²	—	4	4	no	—
349	C₂²	—	4	4	no	—
350	C₂²	—	4	4	no	—
351	C₂²	—	8	4	no	—
352	C₂²	—	8	4	no	—
353	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	#2879	1	2	yes	—
355	C₂²	C₂×#418	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	#2896	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	C₂×#421	1	2	yes	—
358	C₄	—	2	4	no	—
359	C₄	—	2	4	no	—
360	C₄	—	2	2	no	—
361	C₄	—	2	2	no	—
362	C₄	—	2	2	no	—
363	C₄	—	2	2	no	—
364	C₄	—	4	2	no	—
365	C₄	—	4	2	no	—
366	C₄	—	4	4	no	—
367	C₄	—	8	4	no	—
368	C₄	#2875	1	2	yes	—
369	C₄	#2923	1	2	yes	—
370	C₄	C₄×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
371	C₂	—	4	2	no	—
372	C₂	—	8	4	no	—
373	C₂	#17490	1	2	yes	—
374	C₂	#17494	1	2	yes	—
375	C₂	#20375	1	1	yes	characteristic
376	C₂	C₄×#421	1	1	yes	characteristic
377	C₂	C₄×#418	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₄×#432	C₂	semidirect
3. #20463	C₂	semidirect
5. #8181	C₂	semidirect
6. #8174	C₂	semidirect
7. #7900	C₂	semidirect
34. #1496	C₄	semidirect
62. #432	C₂×C₄	semidirect
64. #431	C₂×C₄	semidirect
104. D₄⋊C₈	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×#532	2
C₄×#432	2
#20463	2
C₂×#1496	2
#8181	2
#8174	2
#7900	2