Subgroups — #182264

Order 512.

1220 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 348 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×#533	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20463	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₄²×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1485	C₂	1	2	yes	maximal
5	#8176	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8173	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#7896	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
11	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
12	C₄×C₄⋊Q₈	C₄	1	2	yes	—
13	C₄×C₄⋊Q₈	C₄	1	2	yes	—
14	C₄×#125	—	2	2	no	—
15	C₄×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
16	C₄×C₂²⋊Q₈	C₄	1	4	yes	—
17	#2296	—	2	1	no	—
18	#2295	—	2	1	no	—
19	#2295	C₂²	1	2	yes	—
20	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₄²×Q₈	—	2	1	no	—
22	C₄²×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
23	C₄×#117	—	2	1	no	—
24	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1767	C₂²	1	2	yes	—
26	#1767	C₂²	1	2	yes	—
27	#1749	—	2	1	no	—
28	#1749	—	2	1	no	—
29	#1744	—	2	1	no	—
30	C₄×#97	—	2	2	no	—
31	C₄×#97	—	2	1	no	—
32	C₄×#97	C₂²	1	2	yes	—
33	C₄²×C₈	C₂²	1	2	yes	—
34	#1485	C₄	1	16	yes	complemented
35	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	8	yes	—
36	#1279	C₂²	1	8	yes	—
37	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
38	#533	—	2	4	no	—
39	#533	C₂×C₄	1	8	yes	—
40	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#125	—	2	1	no	—
43	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
44	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
47	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×#117	—	2	1	no	—
50	C₂×#117	—	2	1	no	—
51	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	#431	—	2	4	no	—
57	#431	C₂×C₄	1	8	yes	—
58	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
60	C₄×M₁₆	—	2	16	no	—
61	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
62	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
63	C₂×#97	—	2	4	no	—
64	C₂×#97	—	2	2	no	—
65	C₂×#97	—	2	2	no	—
66	C₂×#97	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
68	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
70	#391	—	2	2	no	—
71	#391	C₂×C₄	1	4	yes	—
72	#389	—	2	2	no	—
73	#389	—	2	2	no	—
74	#389	—	2	2	no	—
75	#389	C₂×C₄	1	4	yes	—
76	#387	—	2	4	no	—
77	#387	—	2	4	no	—
78	#385	—	2	4	no	—
79	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	#382	—	2	1	no	—
81	#380	—	2	1	no	—
82	#380	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
84	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
85	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
86	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
87	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
88	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
89	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
90	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
91	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
92	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
94	#376	—	2	2	no	—
95	C₄³	—	2	2	no	—
96	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
97	C₄³	D₄	1	2	yes	—
98	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
100	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	#336	—	2	2	no	—
103	#336	—	2	2	no	—
104	Q₈⋊C₈	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
105	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
106	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
108	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
116	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
117	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
118	C₄⋊Q₈	C₄²	1	4	yes	—
119	C₄⋊Q₈	C₄²	1	4	yes	—
120	#125	—	2	8	no	—
121	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
122	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
123	C₂²⋊Q₈	C₄²	1	8	yes	—
124	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
125	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
126	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
127	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
128	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
129	#117	—	2	8	no	—
130	#117	—	4	4	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
151	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
152	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
172	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
173	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
174	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
175	#97	—	2	16	no	—
176	#97	—	2	8	no	—
177	#97	—	4	4	no	—
178	#97	—	4	4	no	—
179	C₄×C₈	—	2	16	no	—
180	C₄×C₈	—	2	8	no	—
181	C₄×C₈	—	2	4	no	—
182	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
183	#95	—	2	4	no	—
184	#95	—	2	4	no	—
185	#95	—	2	2	no	—
186	#95	—	2	4	no	—
187	#95	—	2	4	no	—
188	#95	—	2	2	no	—
189	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
191	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
192	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
193	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
194	C₂×Q₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
195	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
218	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
222	M₁₆	—	2	32	no	—
223	C₂×C₈	—	2	16	no	—
224	C₂×C₈	—	2	8	no	—
225	C₂×C₈	—	2	8	no	—
226	C₂×C₈	—	4	4	no	—
227	C₂×C₈	—	4	4	no	—
228	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
229	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
230	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
232	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
235	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
237	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
238	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
239	C₄⋊C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
240	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
242	C₄²	—	2	8	no	—
243	C₄²	—	2	4	no	—
244	C₄²	—	2	4	no	—
245	C₄²	—	2	2	no	—
246	C₄²	—	2	2	no	—
247	C₄²	—	2	2	no	—
248	C₄²	—	2	4	no	—
249	C₄²	—	2	4	no	—
250	C₄²	—	2	4	no	—
251	C₄²	—	2	4	no	—
252	C₄²	—	4	2	no	—
253	C₄²	—	4	2	no	—
254	C₄²	—	4	2	no	—
255	C₄²	—	4	8	no	—
256	C₄²	—	4	4	no	—
257	C₄²	—	4	8	no	—
258	C₄²	#104	1	8	yes	—
259	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
260	C₄²	#117	1	2	yes	—
261	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
262	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
263	C₄²	#137	1	4	yes	—
264	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
265	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
266	C₂³	—	2	2	no	—
267	C₂³	—	2	1	no	—
268	C₂³	—	2	1	no	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
271	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
272	Q₈	—	2	8	no	—
273	Q₈	—	4	4	no	—
274	Q₈	—	4	8	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	1	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	1	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	8	no	—
288	C₂×C₄	—	2	8	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂×C₄	—	2	4	no	—
294	C₂×C₄	—	4	8	no	—
295	C₂×C₄	—	4	8	no	—
296	C₂×C₄	—	4	4	no	—
297	C₂×C₄	—	4	4	no	—
298	C₂×C₄	—	4	4	no	—
299	C₂×C₄	—	4	4	no	—
300	C₂×C₄	—	4	4	no	—
301	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	#419	1	4	yes	—
305	C₂×C₄	C₂×#104	1	4	yes	—
306	C₂×C₄	C₂×#104	1	4	yes	—
307	C₂×C₄	C₂×#104	1	4	yes	—
308	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	#568	1	4	yes	—
313	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
315	C₈	—	2	16	no	—
316	C₈	—	4	8	no	—
317	C₂²	—	2	2	no	—
318	C₂²	—	2	2	no	—
319	C₂²	—	2	2	no	—
320	C₂²	—	4	2	no	—
321	C₂²	—	4	2	no	—
322	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	#2879	1	2	yes	—
324	C₂²	C₂×#419	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	#2896	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	C₂²×#104	1	2	yes	—
327	C₄	—	2	4	no	—
328	C₄	—	2	4	no	—
329	C₄	—	2	4	no	—
330	C₄	—	2	2	no	—
331	C₄	—	2	2	no	—
332	C₄	—	2	2	no	—
333	C₄	—	4	2	no	—
334	C₄	—	4	4	no	—
335	C₄	—	4	4	no	—
336	C₄	—	8	4	no	—
337	C₄	C₄×#104	1	4	yes	—
338	C₄	#2875	1	2	yes	—
339	C₄	#2923	1	2	yes	—
340	C₄	C₄×#137	1	4	yes	—
341	C₂	—	4	2	no	—
342	C₂	#17501	1	2	yes	—
343	C₂	#17503	1	2	yes	—
344	C₂	#20375	1	1	yes	characteristic
345	C₂	C₂×C₄×#104	1	1	yes	characteristic
346	C₂	C₄×#419	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #8176	C₂	semidirect
6. #8173	C₂	semidirect
34. #1485	C₄	semidirect
104. Q₈⋊C₈	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×#533	2
#20463	2
C₄²×M₁₆	2
C₂×#1485	2
#8176	2
#8173	2
#7896	2