Subgroups — #182292

Order 512.

1344 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 395 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#131	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#17437	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1450	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1450	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#8185	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8184	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#7882	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#131	C₄	1	2	yes	—
9	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
12	C₄×#131	—	2	2	no	—
13	C₄×#131	—	2	1	no	—
14	C₄×#131	—	2	1	no	—
15	C₄×#131	C₄	1	4	yes	—
16	C₄×#131	C₂²	1	2	yes	—
17	C₄×#131	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#405	—	2	2	no	—
19	C₂×#405	C₄	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
21	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×C₄×C₈	—	2	1	no	—
23	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1479	C₄	1	4	yes	—
25	#1478	C₄	1	4	yes	—
26	#1477	C₄	1	8	yes	—
27	#1476	C₂²	1	8	yes	—
28	#1450	—	2	1	no	—
29	#1450	—	2	2	no	—
30	#1450	—	2	2	no	—
31	#1450	—	2	1	no	—
32	#1450	C₂²	1	2	yes	complemented
33	#1450	C₂²	1	2	yes	complemented
34	C₂×#322	—	2	1	no	—
35	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	complemented
36	C₂×C₈²	—	2	1	no	—
37	C₂×C₈²	C₂²	1	2	yes	complemented
38	#1278	C₂²	1	8	yes	complemented
39	C₂²×#41	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#131	—	2	2	no	—
41	C₂×#131	—	2	2	no	—
42	C₂×#131	—	2	8	no	—
43	C₂×#131	C₈	1	16	yes	complemented
44	C₂×#131	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₂×#131	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
47	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
49	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₄×#41	—	2	1	no	—
51	C₄×#41	—	2	1	no	—
52	C₄×#41	—	2	2	no	—
53	C₄×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₄×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₄×#41	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂×#117	—	2	1	no	—
60	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
62	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	#431	—	2	2	no	—
64	#431	—	2	2	no	—
65	#431	—	2	2	no	—
66	#431	—	2	2	no	—
67	#431	C₂×C₄	1	4	yes	—
68	#431	C₂×C₄	1	4	yes	—
69	#431	C₂×C₄	1	4	yes	—
70	#431	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
74	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
75	#405	—	2	2	no	—
76	#405	—	2	2	no	—
77	#405	—	2	4	no	—
78	#405	—	2	4	no	—
79	#405	—	2	4	no	—
80	#405	—	2	4	no	—
81	#405	C₂×C₄	1	4	yes	—
82	#405	C₂×C₄	1	4	yes	—
83	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
84	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
85	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
86	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
87	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
88	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	C₄×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂×#97	—	2	2	no	—
91	C₂×#97	—	2	1	no	—
92	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
93	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
94	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
95	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
96	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
97	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
98	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
99	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
101	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
103	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	Q₈⋊C₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
109	D₄⋊C₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
110	#322	—	2	2	no	—
111	#322	—	2	2	no	—
112	#322	—	2	4	no	—
113	C₈²	—	2	2	no	—
114	C₈²	—	2	4	no	—
115	C₈²	—	2	2	no	—
116	C₂×#41	—	2	1	no	—
117	C₂×#41	—	2	1	no	—
118	C₂×#41	—	2	4	no	—
119	C₂×#41	C₄²	1	2	yes	—
120	C₂×#41	C₂×C₈	1	8	yes	—
121	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
122	C₂²×Q₈	C₄²	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
124	C₂²×D₄	C₄²	1	1	yes	characteristic
125	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
126	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
127	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
129	#131	—	2	16	no	—
130	#131	—	2	16	no	—
131	#131	—	2	8	no	—
132	#131	—	2	8	no	—
133	#131	C₂×C₈	1	16	yes	complemented
134	#131	C₂×C₈	1	16	yes	complemented
135	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
140	C₂×M₁₆	C₂×C₈	1	8	yes	—
141	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
142	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
148	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
149	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
150	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
151	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
152	C₂²×C₈	C₂×C₈	1	8	yes	—
153	C₂²×C₈	M₁₆	1	8	yes	—
154	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
155	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
156	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
157	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
158	C₄×Q₈	C₄²	1	4	yes	—
159	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
160	C₄×D₄	—	2	4	no	—
161	C₄×D₄	—	2	4	no	—
162	C₄×D₄	—	2	4	no	—
163	C₄×D₄	—	2	4	no	—
164	C₄×D₄	—	2	2	no	—
165	C₄×D₄	—	2	2	no	—
166	C₄×D₄	C₄²	1	4	yes	—
167	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
168	#117	—	2	1	no	—
169	#117	—	2	1	no	—
170	#117	—	2	2	no	—
171	#117	—	2	4	no	—
172	#117	—	2	2	no	—
173	#117	C₄²	1	2	yes	—
174	#117	C₂²×C₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	C₄²	1	2	yes	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
192	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
193	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
194	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
195	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
196	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
197	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
198	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
199	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
200	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
201	#97	—	2	4	no	—
202	#97	—	2	4	no	—
203	#97	—	2	2	no	—
204	#97	—	2	2	no	—
205	C₄×C₈	—	2	4	no	—
206	C₄×C₈	—	2	4	no	—
207	C₄×C₈	—	2	2	no	—
208	C₄×C₈	—	2	4	no	—
209	C₄×C₈	—	2	4	no	—
210	C₄×C₈	—	2	4	no	—
211	C₄×C₈	—	2	2	no	—
212	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
213	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
214	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
215	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
216	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
217	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
218	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
219	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
220	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
221	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
222	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂⁴	—	2	1	no	—
224	C₂⁴	#117	1	1	yes	characteristic
225	#41	—	2	4	no	—
226	#41	—	2	4	no	—
227	#41	—	2	8	no	—
228	#41	—	2	8	no	—
229	#41	C₄×C₈	1	8	yes	—
230	#41	C₂²×C₈	1	8	yes	—
231	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
232	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
233	C₂×Q₈	C₄×C₈	1	4	yes	—
234	C₂×Q₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
235	C₂×D₄	—	2	2	no	—
236	C₂×D₄	—	2	2	no	—
237	C₂×D₄	—	2	8	no	—
238	C₂×D₄	—	2	1	no	—
239	C₂×D₄	—	2	2	no	—
240	C₂×D₄	C₄×C₈	1	4	yes	—
241	C₂×D₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
251	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
265	M₁₆	—	2	4	no	—
266	M₁₆	—	2	8	no	—
267	M₁₆	—	2	16	no	—
268	M₁₆	—	2	16	no	—
269	M₁₆	C₂²×C₈	1	8	yes	—
270	C₂×C₈	—	2	4	no	—
271	C₂×C₈	—	2	8	no	—
272	C₂×C₈	—	2	16	no	—
273	C₂×C₈	—	2	16	no	—
274	C₂×C₈	—	2	8	no	—
275	C₂×C₈	—	2	8	no	—
276	C₂×C₈	—	4	8	no	—
277	C₂×C₈	—	4	8	no	—
278	C₂×C₈	C₂²⋊C₈	1	8	yes	—
279	C₂×C₈	C₂²⋊C₈	1	8	yes	—
280	C₂×C₈	C₂²⋊C₈	1	8	yes	—
281	C₂×C₈	C₂²⋊C₈	1	8	yes	—
282	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
283	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
284	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
285	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
286	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	4	yes	—
287	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	4	yes	—
288	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
289	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
290	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
293	C₄⋊C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
294	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
298	C₄²	—	2	2	no	—
299	C₄²	—	2	4	no	—
300	C₄²	—	2	2	no	—
301	C₄²	—	2	4	no	—
302	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
303	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
304	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
305	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
306	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
307	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
308	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
309	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
310	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
311	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
312	C₂³	—	2	4	no	—
313	C₂³	—	2	2	no	—
314	C₂³	—	4	2	no	—
315	C₂³	—	4	4	no	—
316	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
317	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
318	C₂³	#431	1	4	yes	—
319	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
320	Q₈	—	2	2	no	—
321	Q₈	—	2	4	no	—
322	Q₈	C₂×C₄×C₈	1	4	yes	—
323	D₄	—	2	8	no	—
324	D₄	—	2	8	no	—
325	D₄	—	2	2	no	—
326	D₄	—	2	4	no	—
327	D₄	C₂×C₄×C₈	1	4	yes	—
328	C₂×C₄	—	2	4	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	8	no	—
331	C₂×C₄	—	2	4	no	—
332	C₂×C₄	—	2	4	no	—
333	C₂×C₄	—	2	4	no	—
334	C₂×C₄	—	2	8	no	—
335	C₂×C₄	—	2	4	no	—
336	C₂×C₄	—	4	2	no	—
337	C₂×C₄	—	4	2	no	—
338	C₂×C₄	—	4	2	no	—
339	C₂×C₄	—	4	8	no	—
340	C₂×C₄	—	4	4	no	—
341	C₂×C₄	—	4	8	no	—
342	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	C₄×M₁₆	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	C₄×M₁₆	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
351	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
352	C₂×C₄	#431	1	4	yes	—
353	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
359	C₈	—	2	8	no	—
360	C₈	—	4	8	no	—
361	C₈	—	4	8	no	—
362	C₈	C₂×C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
363	C₈	C₂×C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
364	C₈	C₂×C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
365	C₈	C₂×C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
366	C₂²	—	2	2	no	—
367	C₂²	—	2	2	no	—
368	C₂²	—	2	2	no	—
369	C₂²	—	2	4	no	—
370	C₂²	—	4	4	no	—
371	C₂²	—	4	8	no	—
372	C₂²	—	4	4	no	—
373	C₂²	C₄×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
374	C₂²	C₄×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
375	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
376	C₂²	C₂×#431	1	2	yes	—
377	C₄	—	2	4	no	—
378	C₄	—	2	2	no	—
379	C₄	—	2	2	no	—
380	C₄	—	2	2	no	—
381	C₄	—	4	4	no	—
382	C₄	C₄×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
383	C₄	C₄×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
384	C₄	C₂²×C₄×C₈	1	1	yes	characteristic
385	C₄	C₂×C₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
386	C₄	C₂²×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
387	C₄	#2955	1	4	yes	—
388	C₂	—	2	2	no	—
389	C₂	—	2	2	no	—
390	C₂	—	2	2	no	—
391	C₂	—	4	4	no	—
392	C₂	C₂×C₄×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
393	C₂	#20420	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₄×C₈	C₂×D₄
commutator	C₄	C₂²×C₄×C₈
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂²×#41	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₄×C₈ ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1450	C₂	semidirect
4. C₂×#1450	C₂	semidirect
5. #8185	C₂	semidirect
6. #8184	C₂	semidirect
7. #7882	C₂	semidirect
32. #1450	C₂²	semidirect
33. #1450	C₂²	semidirect
35. C₂×#322	C₂²	semidirect
37. C₂×C₈²	C₂²	semidirect
38. #1278	C₂²	semidirect
43. C₂×#131	C₈	semidirect
133. #131	C₂×C₈	semidirect
134. #131	C₂×C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#131	2
#17437	2
C₂×#1450	2
#8185	2
#8184	2
#7882	2