Subgroups — #182580

Order 512.

1052 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 406 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2962	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21385	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₄⋊C₄×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1493	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1451	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#8213	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#8209	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#8205	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8201	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂×#1279	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	#7877	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#2962	—	2	4	no	—
14	#2962	C₄	1	8	yes	complemented
15	C₂×#446	—	2	2	no	—
16	C₂×#446	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#424	—	2	1	no	—
20	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#405	—	2	1	no	—
23	C₂×C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
24	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1987	C₄	1	2	yes	—
28	#1981	C₄	1	2	yes	—
29	#1872	C₄	1	4	yes	—
30	#1771	—	2	2	no	—
31	#1770	C₂²	1	2	yes	—
32	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
33	C₄×#103	C₂²	1	2	yes	—
34	C₄×#103	C₂²	1	2	yes	—
35	#1728	—	2	1	no	—
36	#1493	C₄	1	8	yes	complemented
37	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
39	#1451	—	2	4	no	—
40	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
42	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1277	C₂²	1	2	yes	—
47	#1277	C₂²	1	2	yes	—
48	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
49	C₂²×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
52	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
53	#533	—	2	2	no	—
54	#533	—	2	2	no	—
55	#533	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	#533	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×#125	—	2	1	no	—
60	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
61	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
63	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×#117	—	2	1	no	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
67	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	#446	—	2	16	no	—
69	#446	—	2	4	no	—
70	#446	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
71	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
72	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
73	#431	—	2	2	no	—
74	#431	—	2	2	no	—
75	#424	—	2	8	no	—
76	#423	—	2	2	no	—
77	#423	C₂×C₄	1	4	yes	—
78	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
79	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
81	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
83	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
85	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×#103	C₂×C₄	1	4	yes	—
89	C₂×#103	C₂×C₄	1	4	yes	—
90	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
91	#405	—	2	8	no	—
92	C₄×M₁₆	—	4	4	no	—
93	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
94	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
95	C₂×#97	—	2	2	no	—
96	C₂×#97	—	2	2	no	—
97	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
98	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
99	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
100	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
101	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
102	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
103	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
107	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
108	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
109	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
110	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	C₂×#95	—	2	1	no	—
113	#340	C₂×C₄	1	4	yes	—
114	#340	C₂×C₄	1	4	yes	—
115	#336	—	2	2	no	—
116	#336	—	2	2	no	—
117	Q₈⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
118	Q₈⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
119	#322	—	2	4	no	—
120	#322	—	2	4	no	—
121	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
122	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
123	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
124	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
132	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
134	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
135	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
136	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
143	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
144	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
145	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
146	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
147	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
151	C₄⋊Q₈	C₄²	1	4	yes	—
152	C₄⋊Q₈	C₄²	1	4	yes	—
153	#125	—	2	4	no	—
154	#125	—	2	4	no	—
155	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
156	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
157	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
158	C₂²⋊Q₈	C₄²	1	8	yes	—
159	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
160	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
161	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
162	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
163	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
164	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
165	#117	—	2	4	no	—
166	#117	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
183	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
184	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
185	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
192	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
193	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
194	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
195	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
196	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
197	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
198	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
199	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
200	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
201	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
202	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
203	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
204	#103	—	2	8	no	—
205	#103	—	4	4	no	—
206	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
207	#97	—	2	8	no	—
208	#97	—	4	4	no	—
209	#97	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
210	C₄×C₈	—	2	8	no	—
211	C₄×C₈	—	2	4	no	—
212	C₄×C₈	—	2	1	no	—
213	C₄×C₈	—	2	1	no	—
214	C₄×C₈	—	2	2	no	—
215	C₄×C₈	—	2	2	no	—
216	C₄×C₈	—	4	4	no	—
217	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
218	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
219	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
220	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
221	#95	—	2	2	no	—
222	#95	—	2	1	no	—
223	#95	—	2	1	no	—
224	C₂⁴	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
226	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
227	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
228	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
229	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
230	C₂×Q₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
231	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
241	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	#137	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	#137	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	#137	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
257	M₁₆	—	2	8	no	—
258	M₁₆	—	2	8	no	—
259	M₁₆	—	4	8	no	—
260	C₂×C₈	—	2	4	no	—
261	C₂×C₈	—	2	2	no	—
262	C₂×C₈	—	2	2	no	—
263	C₂×C₈	—	2	2	no	—
264	C₂×C₈	—	2	2	no	—
265	C₂×C₈	—	2	2	no	—
266	C₂×C₈	—	2	2	no	—
267	C₂×C₈	—	2	2	no	—
268	C₂×C₈	—	2	2	no	—
269	C₂×C₈	—	2	4	no	—
270	C₂×C₈	—	2	4	no	—
271	C₂×C₈	—	2	4	no	—
272	C₂×C₈	—	2	4	no	—
273	C₂×C₈	—	4	8	no	—
274	C₂×C₈	—	4	2	no	—
275	C₂×C₈	—	4	2	no	—
276	C₂×C₈	—	4	1	no	—
277	C₂×C₈	—	4	1	no	—
278	C₂×C₈	—	4	1	no	—
279	C₂×C₈	—	4	1	no	—
280	C₂×C₈	—	4	2	no	—
281	C₂×C₈	—	4	8	no	—
282	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
283	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
284	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
295	C₄⋊C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
296	C₄⋊C₄	#131	1	4	yes	—
297	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
298	C₄²	—	2	4	no	—
299	C₄²	—	2	4	no	—
300	C₄²	—	4	1	no	—
301	C₄²	—	4	1	no	—
302	C₄²	—	4	1	no	—
303	C₄²	—	4	1	no	—
304	C₄²	—	4	4	no	—
305	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
306	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
307	C₄²	#117	1	2	yes	—
308	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
309	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
310	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
311	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
312	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
313	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
314	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
315	C₂³	—	2	2	no	—
316	C₂³	—	2	2	no	—
317	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
318	C₂³	#440	1	2	yes	—
319	C₂³	#441	1	2	yes	—
320	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
321	Q₈	—	2	4	no	—
322	Q₈	—	2	4	no	—
323	Q₈	—	4	4	no	—
324	Q₈	—	8	4	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	4	no	—
331	C₂×C₄	—	2	4	no	—
332	C₂×C₄	—	2	4	no	—
333	C₂×C₄	—	2	4	no	—
334	C₂×C₄	—	4	2	no	—
335	C₂×C₄	—	4	2	no	—
336	C₂×C₄	—	4	4	no	—
337	C₂×C₄	—	4	2	no	—
338	C₂×C₄	—	4	2	no	—
339	C₂×C₄	—	4	4	no	—
340	C₂×C₄	—	4	2	no	—
341	C₂×C₄	—	4	2	no	—
342	C₂×C₄	—	4	2	no	—
343	C₂×C₄	—	8	8	no	—
344	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	#417	1	4	yes	—
348	C₂×C₄	#419	1	4	yes	—
349	C₂×C₄	#440	1	4	yes	—
350	C₂×C₄	#440	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	#441	1	4	yes	—
352	C₂×C₄	#441	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
365	C₈	—	2	4	no	—
366	C₈	—	2	4	no	—
367	C₈	—	2	4	no	—
368	C₈	—	4	2	no	—
369	C₈	—	4	2	no	—
370	C₈	—	4	2	no	—
371	C₈	—	4	4	no	—
372	C₈	—	4	4	no	—
373	C₂²	—	2	4	no	—
374	C₂²	—	2	4	no	—
375	C₂²	—	2	2	no	—
376	C₂²	—	2	2	no	—
377	C₂²	#1763	1	4	yes	—
378	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
379	C₂²	#2933	1	2	yes	—
380	C₂²	C₂×#440	1	1	yes	characteristic
381	C₂²	C₂×#441	1	1	yes	characteristic
382	C₂²	#2956	1	2	yes	—
383	C₄	—	2	2	no	—
384	C₄	—	2	1	no	—
385	C₄	—	2	1	no	—
386	C₄	—	2	2	no	—
387	C₄	—	4	4	no	—
388	C₄	—	4	4	no	—
389	C₄	—	4	4	no	—
390	C₄	—	8	2	no	—
391	C₄	#1763	1	4	yes	—
392	C₄	C₄×#131	1	1	yes	characteristic
393	C₄	#2875	1	1	yes	characteristic
394	C₄	C₂×#419	1	1	yes	characteristic
395	C₄	C₂×#417	1	1	yes	characteristic
396	C₄	#2935	1	2	yes	—
397	C₄	C₂×#440	1	1	yes	characteristic
398	C₄	C₂×#441	1	1	yes	characteristic
399	C₂	—	2	4	no	—
400	C₂	#18000	1	2	yes	—
401	C₂	#18003	1	2	yes	—
402	C₂	#20387	1	1	yes	characteristic
403	C₂	C₂×#1763	1	1	yes	characteristic
404	C₂	#20421	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂⁴	C₄×D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄×M₁₆ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
6. #8213	C₂	semidirect
7. #8209	C₂	semidirect
8. #8205	C₂	semidirect
9. #8201	C₂	semidirect
14. #2962	C₄	semidirect
36. #1493	C₄	semidirect
70. #446	C₂×C₄	semidirect
72. C₈×Q₈	C₂×C₄	semidirect
117. Q₈⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
118. Q₈⋊C₈	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2962	2
#21385	2
C₄⋊C₄×M₁₆	2
C₂×#1493	2
C₂×#1451	2
#8213	2
#8209	2
#8205	2
#8201	2
C₂×#1279	2
#7877	2