Subgroups — #182599

Order 512.

1638 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 404 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×#532	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20463	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#1502	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₄²×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#8218	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#8014	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂×C₄×#41	—	2	1	no	—
9	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
10	C₄×C₄⋊Q₈	C₄	1	2	yes	complemented
11	C₄×#127	C₄	1	2	yes	complemented
12	C₄×#124	—	2	2	no	—
13	C₄×#121	—	2	2	no	—
14	C₄×#121	C₂²	1	4	yes	—
15	#2297	—	2	1	no	—
16	#2293	—	2	1	no	—
17	#2293	C₄	1	2	yes	complemented
18	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₄²×D₄	—	2	1	no	—
20	C₄²×D₄	C₄	1	2	yes	complemented
21	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
22	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄³	—	2	1	no	—
24	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1767	—	2	2	no	—
26	#1749	C₂²	1	4	yes	—
27	#1744	—	2	1	no	—
28	C₄×#97	—	2	1	no	—
29	#1502	C₄	1	16	yes	complemented
30	C₂×#327	C₂²	1	8	yes	—
31	C₄×#95	—	2	1	no	—
32	C₄×#95	C₂²	1	4	yes	—
33	#1294	C₂²	1	8	yes	—
34	C₂²×#41	—	2	1	no	—
35	#532	—	2	4	no	—
36	#532	C₂×C₄	1	8	yes	—
37	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#124	—	2	1	no	—
40	C₂×#121	—	2	1	no	—
41	C₂×#121	C₂³	1	2	yes	—
42	C₄×#41	—	4	8	no	—
43	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
45	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
48	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂×#117	—	2	1	no	—
51	C₂×#117	—	2	2	no	—
52	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
53	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
54	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
55	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
56	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	#431	—	2	4	no	—
62	#431	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
63	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂×#97	—	2	4	no	—
66	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
67	#391	—	2	2	no	—
68	#390	—	2	2	no	—
69	#390	—	2	2	no	—
70	#390	C₂×C₄	1	4	yes	—
71	#389	—	2	2	no	—
72	#389	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	#388	—	2	4	no	—
74	#388	—	2	4	no	—
75	#386	—	2	4	no	—
76	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	#382	—	2	1	no	—
78	#380	—	2	1	no	—
79	#380	C₂³	1	2	yes	—
80	C₄×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
81	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
82	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
83	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
84	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
85	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
87	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
88	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
89	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
90	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
91	C₂×#95	—	2	4	no	—
92	C₂×#95	C₂³	1	4	yes	—
93	C₄³	—	4	4	no	—
94	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
96	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
97	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₄³	D₄	1	2	yes	—
100	#336	—	2	4	no	—
101	#327	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
102	C₂×#41	—	2	8	no	—
103	C₂×#41	—	4	4	no	—
104	C₂×#41	—	4	2	no	—
105	C₂×#41	—	4	2	no	—
106	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
110	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
111	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
112	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
113	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
114	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
115	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
116	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
120	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
121	C₄⋊Q₈	C₄²	1	4	yes	complemented
122	#127	—	2	2	no	—
123	#127	C₄²	1	4	yes	complemented
124	#124	—	2	8	no	—
125	#121	—	2	8	no	—
126	#121	—	2	4	no	—
127	#121	C₂²×C₄	1	8	yes	—
128	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
129	C₄×D₄	—	2	4	no	—
130	C₄×D₄	—	2	8	no	—
131	C₄×D₄	—	4	8	no	—
132	C₄×D₄	—	4	8	no	—
133	C₄×D₄	—	4	16	no	—
134	C₄×D₄	—	4	8	no	—
135	C₄×D₄	C₄²	1	8	yes	complemented
136	#117	—	4	8	no	—
137	#117	—	4	4	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
145	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
158	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
160	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
161	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
162	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
163	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
164	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
165	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
166	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
167	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
186	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
187	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
188	C₂²⋊C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
189	#97	—	4	8	no	—
190	C₄×C₈	—	2	8	no	—
191	#95	—	2	16	no	—
192	#95	—	2	4	no	—
193	#95	—	2	2	no	—
194	#95	—	2	4	no	—
195	#95	—	2	2	no	—
196	#95	—	2	4	no	—
197	#95	C₂²×C₄	1	8	yes	—
198	C₂⁴	—	2	2	no	—
199	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
200	#41	—	4	16	no	—
201	#41	—	4	16	no	—
202	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
203	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
204	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
205	C₂×D₄	—	2	8	no	—
206	C₂×D₄	—	2	2	no	—
207	C₂×D₄	—	2	4	no	—
208	C₂×D₄	—	2	4	no	—
209	C₂×D₄	—	4	4	no	—
210	C₂×D₄	—	4	4	no	—
211	C₂×D₄	—	4	2	no	—
212	C₂×D₄	—	4	2	no	—
213	C₂×D₄	—	4	2	no	—
214	C₂×D₄	—	4	2	no	—
215	C₂×D₄	—	4	4	no	—
216	C₂×D₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
239	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
248	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
249	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
251	C₂²×C₄	#137	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
256	C₂×C₈	—	2	8	no	—
257	C₂×C₈	—	4	8	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
265	C₄⋊C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
266	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
272	C₄²	—	2	4	no	—
273	C₄²	—	2	4	no	—
274	C₄²	—	2	2	no	—
275	C₄²	—	2	2	no	—
276	C₄²	—	2	4	no	—
277	C₄²	—	2	2	no	—
278	C₄²	—	2	2	no	—
279	C₄²	—	2	4	no	—
280	C₄²	—	2	4	no	—
281	C₄²	—	2	4	no	—
282	C₄²	—	2	4	no	—
283	C₄²	—	4	2	no	—
284	C₄²	—	4	2	no	—
285	C₄²	—	4	32	no	—
286	C₄²	—	4	8	no	—
287	C₄²	—	4	4	no	—
288	C₄²	—	4	16	no	—
289	C₄²	#104	1	8	yes	—
290	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
291	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
292	C₄²	#117	1	2	yes	—
293	C₄²	#117	1	2	yes	—
294	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
295	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
296	C₂³	—	2	2	no	—
297	C₂³	—	2	2	no	—
298	C₂³	—	2	4	no	—
299	C₂³	—	4	4	no	—
300	C₂³	—	4	2	no	—
301	C₂³	—	4	2	no	—
302	C₂³	—	4	4	no	—
303	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
304	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
305	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
306	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
307	C₂³	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
308	Q₈	—	4	8	no	—
309	D₄	—	4	4	no	—
310	D₄	—	4	4	no	—
311	D₄	—	4	8	no	—
312	D₄	—	4	8	no	—
313	D₄	—	4	8	no	—
314	D₄	—	4	8	no	—
315	C₂×C₄	—	2	8	no	—
316	C₂×C₄	—	2	8	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	8	no	—
327	C₂×C₄	—	2	16	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	2	no	—
331	C₂×C₄	—	2	4	no	—
332	C₂×C₄	—	4	2	no	—
333	C₂×C₄	—	4	2	no	—
334	C₂×C₄	—	4	8	no	—
335	C₂×C₄	—	4	16	no	—
336	C₂×C₄	—	4	16	no	—
337	C₂×C₄	—	4	8	no	—
338	C₂×C₄	—	4	2	no	—
339	C₂×C₄	—	4	2	no	—
340	C₂×C₄	—	4	8	no	—
341	C₂×C₄	—	4	16	no	—
342	C₂×C₄	—	4	4	no	—
343	C₂×C₄	—	4	4	no	—
344	C₂×C₄	—	4	4	no	—
345	C₂×C₄	—	8	16	no	—
346	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	#410	1	4	yes	—
351	C₂×C₄	#417	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	#417	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	#418	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	#418	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	C₂×#104	1	4	yes	—
356	C₂×C₄	C₂×#104	1	4	yes	—
357	C₂×C₄	C₂×#104	1	4	yes	—
358	C₂×C₄	#440	1	8	yes	—
359	C₂×C₄	#442	1	8	yes	—
360	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
363	C₈	—	4	8	no	—
364	C₂²	—	2	4	no	—
365	C₂²	—	2	2	no	—
366	C₂²	—	2	2	no	—
367	C₂²	—	2	2	no	—
368	C₂²	—	2	2	no	—
369	C₂²	—	4	4	no	—
370	C₂²	—	4	4	no	—
371	C₂²	—	4	4	no	—
372	C₂²	—	8	4	no	—
373	C₂²	—	8	4	no	—
374	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
375	C₂²	C₂×#410	1	2	yes	—
376	C₂²	C₂×#418	1	1	yes	characteristic
377	C₂²	C₂×#417	1	1	yes	characteristic
378	C₂²	C₂²×#104	1	2	yes	—
379	C₂²	C₂×#440	1	2	yes	—
380	C₂²	C₂×#442	1	2	yes	—
381	C₄	—	2	4	no	—
382	C₄	—	2	4	no	—
383	C₄	—	2	4	no	—
384	C₄	—	2	2	no	—
385	C₄	—	2	1	no	—
386	C₄	—	2	1	no	—
387	C₄	—	2	2	no	—
388	C₄	—	4	16	no	—
389	C₄	—	4	2	no	—
390	C₄	—	4	4	no	—
391	C₄	—	8	4	no	—
392	C₄	C₄×#104	1	4	yes	—
393	C₄	#1762	1	4	yes	—
394	C₄	#1762	1	4	yes	—
395	C₂	—	2	2	no	—
396	C₂	—	2	2	no	—
397	C₂	—	8	4	no	—
398	C₂	#17544	1	2	yes	—
399	C₂	#17546	1	2	yes	—
400	C₂	C₄×#410	1	1	yes	characteristic
401	C₂	C₂×C₄×#104	1	1	yes	characteristic
402	C₂	C₂×#1762	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20463	C₂	semidirect
4. C₄²×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
5. #8218	C₂	semidirect
6. #8014	C₂	semidirect
10. C₄×C₄⋊Q₈	C₄	semidirect
11. C₄×#127	C₄	semidirect
17. #2293	C₄	semidirect
20. C₄²×D₄	C₄	semidirect
29. #1502	C₄	semidirect
62. #431	C₂×C₄	semidirect
86. C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
101. #327	C₂×C₄	semidirect
121. C₄⋊Q₈	C₄²	semidirect
123. #127	C₄²	semidirect
135. C₄×D₄	C₄²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×#532	2
#20463	2
C₂×#1502	2
C₄²×C₄⋊C₄	2
#8218	2
#8014	2