Subgroups — #182723

Order 512.

1382 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 366 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#124	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₄×#432	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1533	C₂	1	2	yes	maximal
4	#8226	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#8030	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂²×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
7	C₂²×C₄×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×C₄×D₄	C₄	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#432	C₂²	1	4	yes	—
10	C₄×#124	—	2	2	no	—
11	C₄×#124	—	2	2	no	—
12	C₄×#124	C₄	1	4	yes	—
13	C₄×#124	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×#391	C₄	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#390	C₄	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#388	—	2	2	no	—
17	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
19	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#1767	—	2	2	no	—
21	C₄×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
22	#1749	—	2	2	no	—
23	C₄×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
24	#1745	C₂²	1	4	yes	complemented
25	C₄×#97	C₂²	1	4	yes	complemented
26	#1533	C₄	1	16	yes	complemented
27	C₂×#329	C₂²	1	8	yes	—
28	#1295	C₂²	1	8	yes	complemented
29	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
30	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
31	C₂⁴×C₄	—	2	1	no	—
32	C₂×#124	—	2	2	no	—
33	C₂×#124	—	2	4	no	—
34	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
35	C₂×#124	C₂×C₄	1	8	yes	—
36	C₂×#124	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
38	C₂×C₄×Q₈	—	4	4	no	—
39	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
41	C₂×C₄×D₄	—	4	4	no	—
42	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
44	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
47	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
48	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
49	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
50	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	#432	—	2	8	no	—
56	#432	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
57	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
58	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
59	C₂×#97	—	2	4	no	—
60	C₂×#97	C₂³	1	8	yes	—
61	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
62	#391	—	2	1	no	—
63	#391	—	2	1	no	—
64	#391	C₂×C₄	1	4	yes	—
65	#390	—	2	1	no	—
66	#390	—	2	1	no	—
67	#390	C₂×C₄	1	4	yes	—
68	#388	—	2	4	no	—
69	#388	—	2	4	no	—
70	#388	—	2	4	no	—
71	#388	—	2	4	no	—
72	#382	—	2	2	no	—
73	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	#382	C₂³	1	2	yes	—
75	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
76	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
77	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
78	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
79	C₂×#95	—	2	2	no	—
80	C₂×#95	—	2	2	no	—
81	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	C₄³	D₄	1	2	yes	—
83	C₄³	D₄	1	2	yes	—
84	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
85	#336	—	2	4	no	—
86	#336	—	2	4	no	—
87	#329	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
88	C₂⁵	—	2	1	no	—
89	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
90	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
91	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
92	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
93	C₂²×Q₈	C₄²	1	4	yes	—
94	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
95	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
96	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
97	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
98	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
99	C₂²×D₄	C₄²	1	4	yes	—
100	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
101	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
102	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
103	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
104	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
105	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
106	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
107	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
112	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
113	#124	—	2	4	no	—
114	#124	—	2	16	no	—
115	#124	—	2	4	no	—
116	#124	C₄²	1	8	yes	—
117	#124	C₂²×C₄	1	8	yes	—
118	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
119	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
120	C₄×D₄	—	4	8	no	—
121	C₄×D₄	—	4	8	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
138	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
141	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
142	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
143	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
144	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
146	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
147	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
162	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
163	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
164	#97	—	2	8	no	—
165	#97	—	4	8	no	—
166	#97	C₂²×C₄	1	16	yes	complemented
167	C₄×C₈	—	4	8	no	—
168	#95	—	2	4	no	—
169	#95	—	2	4	no	—
170	#95	—	2	4	no	—
171	#95	—	2	4	no	—
172	C₂⁴	—	2	2	no	—
173	C₂⁴	—	2	4	no	—
174	C₂⁴	—	4	4	no	—
175	C₂⁴	—	4	4	no	—
176	C₂⁴	—	4	2	no	—
177	C₂⁴	—	4	2	no	—
178	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
180	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
181	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
182	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
183	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
184	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
185	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
186	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
187	C₂×Q₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
188	C₂×D₄	—	2	2	no	—
189	C₂×D₄	—	2	4	no	—
190	C₂×D₄	—	4	2	no	—
191	C₂×D₄	—	4	8	no	—
192	C₂×D₄	—	4	2	no	—
193	C₂×D₄	—	4	2	no	—
194	C₂×D₄	—	4	2	no	—
195	C₂×D₄	—	4	8	no	—
196	C₂×D₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
220	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
221	C₂²×C₄	#100	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
233	C₂×C₈	—	2	16	no	—
234	C₂×C₈	—	4	8	no	—
235	C₂×C₈	—	4	8	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
237	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
238	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
246	C₄²	—	2	4	no	—
247	C₄²	—	2	4	no	—
248	C₄²	—	2	4	no	—
249	C₄²	—	2	4	no	—
250	C₄²	—	2	4	no	—
251	C₄²	—	2	4	no	—
252	C₄²	—	4	1	no	—
253	C₄²	—	4	1	no	—
254	C₄²	—	4	2	no	—
255	C₄²	—	4	2	no	—
256	C₄²	—	4	2	no	—
257	C₄²	—	4	2	no	—
258	C₄²	—	4	2	no	—
259	C₄²	—	4	8	no	—
260	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
261	C₄²	#117	1	2	yes	—
262	C₄²	C₄×D₄	1	8	yes	—
263	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
264	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
265	C₂³	—	2	2	no	—
266	C₂³	—	2	2	no	—
267	C₂³	—	2	4	no	—
268	C₂³	—	4	16	no	—
269	C₂³	—	4	2	no	—
270	C₂³	—	4	2	no	—
271	C₂³	—	4	4	no	—
272	C₂³	—	4	4	no	—
273	C₂³	—	4	8	no	—
274	C₂³	—	8	4	no	—
275	C₂³	—	8	8	no	—
276	C₂³	—	8	4	no	—
277	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
278	C₂³	C₂×#100	1	2	yes	—
279	C₂³	#413	1	2	yes	—
280	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
281	Q₈	—	4	4	no	—
282	Q₈	—	4	4	no	—
283	Q₈	—	4	8	no	—
284	D₄	—	4	4	no	—
285	D₄	—	4	4	no	—
286	D₄	—	4	8	no	—
287	C₂×C₄	—	2	8	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	1	no	—
290	C₂×C₄	—	2	1	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	1	no	—
293	C₂×C₄	—	2	1	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	4	4	no	—
309	C₂×C₄	—	4	8	no	—
310	C₂×C₄	—	4	8	no	—
311	C₂×C₄	—	4	2	no	—
312	C₂×C₄	—	4	2	no	—
313	C₂×C₄	—	4	8	no	—
314	C₂×C₄	—	4	2	no	—
315	C₂×C₄	—	4	2	no	—
316	C₂×C₄	—	4	4	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	8	16	no	—
319	C₂×C₄	—	8	4	no	—
320	C₂×C₄	—	8	4	no	—
321	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
322	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×#100	1	4	yes	—
324	C₂×C₄	#421	1	4	yes	—
325	C₂×C₄	#421	1	4	yes	—
326	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
329	C₈	—	4	16	no	—
330	C₂²	—	2	2	no	—
331	C₂²	—	2	4	no	—
332	C₂²	—	2	2	no	—
333	C₂²	—	2	4	no	—
334	C₂²	—	4	4	no	—
335	C₂²	—	4	8	no	—
336	C₂²	—	8	16	no	—
337	C₂²	—	8	2	no	—
338	C₂²	—	8	4	no	—
339	C₂²	—	8	2	no	—
340	C₂²	C₄×#100	1	4	yes	—
341	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	C₂²×#100	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	C₂×#413	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	C₂×#421	1	2	yes	—
345	C₂²	C₂×#421	1	2	yes	—
346	C₄	—	2	4	no	—
347	C₄	—	2	4	no	—
348	C₄	—	2	4	no	—
349	C₄	—	2	1	no	—
350	C₄	—	2	2	no	—
351	C₄	—	2	1	no	—
352	C₄	—	2	4	no	—
353	C₄	—	2	4	no	—
354	C₄	—	4	2	no	—
355	C₄	—	4	4	no	—
356	C₄	—	8	2	no	—
357	C₄	—	8	2	no	—
358	C₂	—	2	4	no	—
359	C₂	—	8	4	no	—
360	C₂	#17666	1	1	yes	characteristic
361	C₂	#17669	1	2	yes	—
362	C₂	#17675	1	1	yes	characteristic
363	C₂	C₂×C₄×#100	1	1	yes	characteristic
364	C₂	C₄×#421	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₄	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₄×#432	C₂	semidirect
4. #8226	C₂	semidirect
5. #8030	C₂	semidirect
24. #1745	C₂²	semidirect
25. C₄×#97	C₂²	semidirect
26. #1533	C₄	semidirect
28. #1295	C₂²	semidirect
56. #432	C₂×C₄	semidirect
87. #329	C₂×C₄	semidirect
166. #97	C₂²×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#124	2
C₄×#432	2
C₂×#1533	2
#8226	2
#8030	2