Subgroups — #182728

Order 512.

1242 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 352 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#34208	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20479	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1530	C₂	1	2	yes	maximal
4	#8226	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#8224	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₄×#329	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#8030	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×#1295	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#520	C₄	1	2	yes	—
11	C₂×#432	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
13	#2364	—	2	2	no	—
14	#2364	—	2	2	no	—
15	#2352	—	2	4	no	—
16	#2328	C₄	1	2	yes	—
17	#2327	C₄	1	2	yes	—
18	#2311	C₄	1	2	yes	—
19	C₄×#124	C₂²	1	2	yes	—
20	C₄×#124	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1771	—	2	4	no	—
24	#1752	—	2	2	no	—
25	C₈×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
26	#1745	C₂²	1	4	yes	—
27	C₄×#97	C₂²	1	4	yes	—
28	#1530	C₄	1	16	yes	complemented
29	C₂×#329	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#329	C₂²	1	4	yes	—
31	#1295	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1295	C₂²	1	2	yes	—
33	#1295	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1295	C₂²	1	2	yes	—
35	#1295	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂²×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
38	#532	—	2	2	no	—
39	#532	—	2	2	no	—
40	#532	C₂×C₄	1	8	yes	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#124	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂×#121	—	2	2	no	—
45	#520	—	4	8	no	—
46	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×#117	—	2	2	no	—
54	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
57	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	#432	—	2	4	no	—
60	#432	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
61	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
62	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
63	C₂×#97	—	2	2	no	—
64	C₂×#97	—	2	4	no	—
65	C₂×#97	—	2	4	no	—
66	C₂×#97	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
67	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
71	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	#388	—	2	4	no	—
76	#388	—	2	4	no	—
77	#387	—	2	4	no	—
78	#387	—	2	4	no	—
79	#386	—	2	4	no	—
80	#386	—	2	4	no	—
81	#386	—	2	4	no	—
82	#382	—	2	2	no	—
83	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	#382	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	#382	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	#380	—	2	4	no	—
87	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
88	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
89	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
90	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
91	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
92	#376	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	C₂×#95	—	2	2	no	—
94	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
95	#336	—	2	4	no	—
96	#336	—	2	4	no	—
97	#329	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
98	#329	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
99	C₂×#41	—	2	4	no	—
100	C₂×#41	—	4	4	no	—
101	C₂×#41	—	4	4	no	—
102	C₂×#41	C₄²	1	8	yes	—
103	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
104	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
106	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
108	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
109	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
110	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
111	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
113	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
117	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
118	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
119	C₄⋊Q₈	C₄²	1	4	yes	—
120	#127	—	2	2	no	—
121	#127	C₄²	1	4	yes	—
122	#124	—	2	2	no	—
123	#124	—	2	2	no	—
124	#124	C₂²×C₄	1	8	yes	—
125	#121	—	2	8	no	—
126	#121	—	2	8	no	—
127	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
128	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
129	C₄×D₄	—	2	8	no	—
130	C₄×D₄	—	2	8	no	—
131	C₄×D₄	—	4	4	no	—
132	C₄×D₄	—	4	4	no	—
133	C₄×D₄	—	4	8	no	—
134	C₄×D₄	—	4	8	no	—
135	#117	—	2	4	no	—
136	#117	—	4	2	no	—
137	#117	—	4	8	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
145	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
146	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
147	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
166	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
167	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
168	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
169	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
170	#97	—	2	8	no	—
171	#97	—	2	2	no	—
172	#97	—	2	2	no	—
173	#97	—	2	4	no	—
174	#97	—	4	8	no	—
175	#97	C₂²×C₄	1	4	yes	—
176	#97	C₂²×C₄	1	4	yes	—
177	#97	C₂²×C₄	1	8	yes	—
178	C₄×C₈	—	4	8	no	—
179	#95	—	2	4	no	—
180	#95	—	2	4	no	—
181	#95	—	2	4	no	—
182	#95	—	2	2	no	—
183	#95	—	2	2	no	—
184	#95	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
185	#95	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
186	C₂⁴	—	2	2	no	—
187	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
188	#41	—	4	16	no	—
189	#41	—	4	16	no	—
190	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
191	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
192	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
193	C₂×Q₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
194	C₂×D₄	—	2	8	no	—
195	C₂×D₄	—	2	2	no	—
196	C₂×D₄	—	2	8	no	—
197	C₂×D₄	—	4	2	no	—
198	C₂×D₄	—	4	2	no	—
199	C₂×D₄	—	4	4	no	—
200	C₂×D₄	—	4	4	no	—
201	C₂×D₄	—	8	4	no	—
202	C₂×D₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
218	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
226	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
229	C₂×C₈	—	2	8	no	—
230	C₂×C₈	—	2	4	no	—
231	C₂×C₈	—	2	4	no	—
232	C₂×C₈	—	2	8	no	—
233	C₂×C₈	—	4	16	no	—
234	C₂×C₈	—	4	4	no	—
235	C₂×C₈	—	4	4	no	—
236	C₂×C₈	—	4	4	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
253	C₂²⋊C₄	#100	1	4	yes	—
254	C₄²	—	2	4	no	—
255	C₄²	—	4	4	no	—
256	C₄²	—	4	4	no	—
257	C₄²	—	4	2	no	—
258	C₄²	—	4	4	no	—
259	C₄²	—	4	4	no	—
260	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
261	C₄²	#117	1	2	yes	—
262	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
263	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
264	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
265	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
266	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
267	C₂³	—	2	4	no	—
268	C₂³	—	2	4	no	—
269	C₂³	—	4	2	no	—
270	C₂³	—	4	2	no	—
271	C₂³	—	4	4	no	—
272	C₂³	—	4	4	no	—
273	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
274	C₂³	C₂×#100	1	2	yes	—
275	C₂³	#413	1	2	yes	—
276	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
277	Q₈	—	4	4	no	—
278	Q₈	—	4	4	no	—
279	D₄	—	4	4	no	—
280	D₄	—	4	4	no	—
281	D₄	—	4	16	no	—
282	D₄	—	8	8	no	—
283	C₂×C₄	—	2	1	no	—
284	C₂×C₄	—	2	1	no	—
285	C₂×C₄	—	2	1	no	—
286	C₂×C₄	—	2	1	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	4	no	—
294	C₂×C₄	—	2	4	no	—
295	C₂×C₄	—	2	4	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	4	4	no	—
299	C₂×C₄	—	4	4	no	—
300	C₂×C₄	—	4	16	no	—
301	C₂×C₄	—	4	2	no	—
302	C₂×C₄	—	4	2	no	—
303	C₂×C₄	—	4	2	no	—
304	C₂×C₄	—	4	2	no	—
305	C₂×C₄	—	4	4	no	—
306	C₂×C₄	—	4	4	no	—
307	C₂×C₄	—	16	4	no	—
308	C₂×C₄	—	16	4	no	—
309	C₂×C₄	—	16	4	no	—
310	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
311	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	C₂×#100	1	4	yes	—
313	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
317	C₈	—	2	8	no	—
318	C₈	—	4	8	no	—
319	C₈	—	4	4	no	—
320	C₂²	—	2	4	no	—
321	C₂²	—	2	4	no	—
322	C₂²	—	2	4	no	—
323	C₂²	—	4	4	no	—
324	C₂²	—	4	8	no	—
325	C₂²	—	8	2	no	—
326	C₂²	—	8	2	no	—
327	C₂²	—	8	4	no	—
328	C₂²	C₄×#100	1	4	yes	—
329	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	C₂²×#100	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	C₂×#413	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	#2901	1	4	yes	—
333	C₄	—	2	4	no	—
334	C₄	—	2	2	no	—
335	C₄	—	2	1	no	—
336	C₄	—	2	1	no	—
337	C₄	—	2	2	no	—
338	C₄	—	2	2	no	—
339	C₄	—	2	4	no	—
340	C₄	—	4	2	no	—
341	C₄	—	4	4	no	—
342	C₄	—	4	4	no	—
343	C₄	—	8	2	no	—
344	C₄	—	8	2	no	—
345	C₂	—	2	4	no	—
346	C₂	—	8	4	no	—
347	C₂	#17685	1	2	yes	—
348	C₂	#17690	1	2	yes	—
349	C₂	C₂×C₄×#100	1	1	yes	characteristic
350	C₂	#20405	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20479	C₂	semidirect
4. #8226	C₂	semidirect
5. #8224	C₂	semidirect
6. C₄×#329	C₂	semidirect
7. #8030	C₂	semidirect
8. C₂×#1295	C₂	semidirect
28. #1530	C₄	semidirect
60. #432	C₂×C₄	semidirect
66. C₂×#97	C₂×C₄	semidirect
97. #329	C₂×C₄	semidirect
98. #329	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#34208	2
#20479	2
C₂×#1530	2
#8226	2
#8224	2
C₄×#329	2
#8030	2
C₂×#1295	2